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8. 已知二次函数 $y=x^2 +1$.
(1) 画出函数 $y=x^2 +1$ 的图象；
(2) 将抛物线 $y=x^2 +1$ 以 $x$ 轴为对称轴进行翻折，画出该抛物线；
(3) 求翻折后所得抛物线对应的函数表达式.
(1) 画出函数 $y=x^2 +1$ 的图象；
(2) 将抛物线 $y=x^2 +1$ 以 $x$ 轴为对称轴进行翻折，画出该抛物线；
(3) 求翻折后所得抛物线对应的函数表达式.
答案
解：
(1) ① 列表取点：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $5$ | $2$ | $1$ | $2$ | $5$ |
② 在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接，即可得到开口向上、顶点为$(0,1)$的抛物线$y=x^2+1$的图象。
(2) 根据关于$x$轴对称的点的坐标特征，得到原抛物线上各点翻折后的对应点坐标为$(-2,-5)$、$(-1,-2)$、$(0,-1)$、$(1,-2)$、$(2,-5)$，在同一坐标系中描出这些点，用平滑曲线顺次连接，即可得到翻折后开口向下、顶点为$(0,-1)$的抛物线。
(3) 平面内任意一点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$，将$-y$替换原函数$y=x^2+1$中的$y$，可得：
$-y = x^2 + 1$
整理得：
$y = -x^2 -1$
即翻折后所得抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2-1}$。
(1) ① 列表取点：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $5$ | $2$ | $1$ | $2$ | $5$ |
② 在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接，即可得到开口向上、顶点为$(0,1)$的抛物线$y=x^2+1$的图象。
(2) 根据关于$x$轴对称的点的坐标特征，得到原抛物线上各点翻折后的对应点坐标为$(-2,-5)$、$(-1,-2)$、$(0,-1)$、$(1,-2)$、$(2,-5)$，在同一坐标系中描出这些点，用平滑曲线顺次连接，即可得到翻折后开口向下、顶点为$(0,-1)$的抛物线。
(3) 平面内任意一点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$，将$-y$替换原函数$y=x^2+1$中的$y$，可得：
$-y = x^2 + 1$
整理得：
$y = -x^2 -1$
即翻折后所得抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2-1}$。
解析
【分析】
本题围绕二次函数的图象绘制与翻折变换展开，解题思路如下：
(1) 画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”三步，$y=x^2+1$的对称轴为y轴，取x为-2、-1、0、1、2这类关于y轴对称的点计算对应y值即可；
(2) 沿x轴翻折的本质是图象上所有点关于x轴对称，对应点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，将原抛物线上的点全部对称后描点连线，即可得到翻折后的图象；
(3) 求翻折后解析式可利用坐标对称规律：若点$(x,y)$在翻折后的抛物线上，则其关于x轴对称的点$(x,-y)$在原抛物线上，将$(x,-y)$代入原函数解析式整理即可得到结果。
【解析】
(1) 绘制函数$y=x^2+1$的图象：
① 列表取点，选取关于y轴对称的x值计算对应y值：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $5$ | $2$ | $1$ | $2$ | $5$ |
② 在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接，即可得到开口向上、顶点为$(0,1)$的抛物线$y=x^2+1$的图象。
(2) 绘制翻折后的抛物线：
根据关于x轴对称的点的坐标特征，原抛物线上各点翻折后的对应点坐标为$(-2,-5)$、$(-1,-2)$、$(0,-1)$、$(1,-2)$、$(2,-5)$，在同一坐标系中描出这些点，用平滑曲线顺次连接，即可得到翻折后开口向下、顶点为$(0,-1)$的抛物线。
(3) 求翻折后抛物线的函数表达式：
平面内任意一点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$，将$-y$替换原函数$y=x^2+1$中的$y$，可得：
$-y = x^2 + 1$
整理得：
$y = -x^2 -1$
【答案】
(1) 见解析中$y=x^2+1$图象的绘制步骤；
(2) 见解析中翻折后抛物线的绘制步骤；
(3) 翻折后所得抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2-1}$。
【知识点】
1. 二次函数图象的画法
2. 二次函数的翻折变换
3. 关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既覆盖了二次函数图象绘制的基本技能，又考查了轴对称变换在函数问题中的应用，熟练掌握翻折前后对应点的坐标变化规律，是解决此类函数变换问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数的图象绘制与翻折变换展开，解题思路如下：
(1) 画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”三步，$y=x^2+1$的对称轴为y轴，取x为-2、-1、0、1、2这类关于y轴对称的点计算对应y值即可；
(2) 沿x轴翻折的本质是图象上所有点关于x轴对称，对应点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，将原抛物线上的点全部对称后描点连线，即可得到翻折后的图象；
(3) 求翻折后解析式可利用坐标对称规律：若点$(x,y)$在翻折后的抛物线上，则其关于x轴对称的点$(x,-y)$在原抛物线上，将$(x,-y)$代入原函数解析式整理即可得到结果。
【解析】
(1) 绘制函数$y=x^2+1$的图象：
① 列表取点，选取关于y轴对称的x值计算对应y值：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y$ | $5$ | $2$ | $1$ | $2$ | $5$ |
② 在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接，即可得到开口向上、顶点为$(0,1)$的抛物线$y=x^2+1$的图象。
(2) 绘制翻折后的抛物线：
根据关于x轴对称的点的坐标特征，原抛物线上各点翻折后的对应点坐标为$(-2,-5)$、$(-1,-2)$、$(0,-1)$、$(1,-2)$、$(2,-5)$，在同一坐标系中描出这些点，用平滑曲线顺次连接，即可得到翻折后开口向下、顶点为$(0,-1)$的抛物线。
(3) 求翻折后抛物线的函数表达式：
平面内任意一点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$，将$-y$替换原函数$y=x^2+1$中的$y$，可得：
$-y = x^2 + 1$
整理得：
$y = -x^2 -1$
【答案】
(1) 见解析中$y=x^2+1$图象的绘制步骤；
(2) 见解析中翻折后抛物线的绘制步骤；
(3) 翻折后所得抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-x^2-1}$。
【知识点】
1. 二次函数图象的画法
2. 二次函数的翻折变换
3. 关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既覆盖了二次函数图象绘制的基本技能，又考查了轴对称变换在函数问题中的应用，熟练掌握翻折前后对应点的坐标变化规律，是解决此类函数变换问题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 二次函数 $y=-x^2+1$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$.求：
(1) 点 $C$ 的坐标；
(2) 线段 $AB$ 的长；
(3) $△ ABC$ 是怎样的三角形.
(1) 点 $C$ 的坐标；
(2) 线段 $AB$ 的长；
(3) $△ ABC$ 是怎样的三角形.
答案
解：
(1) 把$x=0$代入$y=-x^2+1$，得$y=1$，
∴点$C$的坐标为$(0,1)$。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+1=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-1$，
不妨设$A(-1,0)$，$B(1,0)$，
则$AB=|1-(-1)|=2$，
即线段$AB$的长为$2$。
(3) 由$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$得：
$AC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，
∴$AC=BC$，
又$AC^2+BC^2=2+2=4=AB^2$，
∴$∠ ACB=90°$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形。
(1) 把$x=0$代入$y=-x^2+1$，得$y=1$，
∴点$C$的坐标为$(0,1)$。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+1=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-1$，
不妨设$A(-1,0)$，$B(1,0)$，
则$AB=|1-(-1)|=2$，
即线段$AB$的长为$2$。
(3) 由$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$得：
$AC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，
∴$AC=BC$，
又$AC^2+BC^2=2+2=4=AB^2$，
∴$∠ ACB=90°$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形。
解析
【分析】
(1) 求二次函数与y轴交点C的坐标时，y轴上点的横坐标为0，因此将x=0代入函数解析式求出对应的y值，即可得到点C的坐标；
(2) 求线段AB的长时，A、B是二次函数与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，因此先令y=0，解一元二次方程得到A、B两点的横坐标，再计算两点横坐标差的绝对值，即可得到AB的长度；
(3) 判断△ABC的形状时，先根据A、B、C三点的坐标，用两点间距离公式分别求出AC、BC、AB的长度，先判断边的相等关系，再结合勾股定理的逆定理判断角的特征，即可确定三角形的类型。
【解析】
(1) 把$x=0$代入$y=-x^2+1$，得$y=1$，
∴点$C$的坐标为$(0,1)$。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+1=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-1$，
不妨设$A(-1,0)$，$B(1,0)$，
则$AB=|1-(-1)|=2$，
即线段$AB$的长为$2$。
(3) 由$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$得：
$AC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，
∴$AC=BC$，
又$AC^2+BC^2=2+2=4=AB^2$，
∴$∠ ACB=90°$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,1)}$
(2) $\boldsymbol{2}$
(3) $\boldsymbol{等腰直角三角形}$
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；两点间的距离；等腰直角三角形判定
【点评】
本题是二次函数的基础题型，将函数图象与平面几何知识结合，考查对基础概念的理解和常规解题方法的运用，解题时紧扣坐标轴上点的坐标特征、距离公式及三角形判定定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求二次函数与y轴交点C的坐标时，y轴上点的横坐标为0，因此将x=0代入函数解析式求出对应的y值，即可得到点C的坐标；
(2) 求线段AB的长时，A、B是二次函数与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，因此先令y=0，解一元二次方程得到A、B两点的横坐标，再计算两点横坐标差的绝对值，即可得到AB的长度；
(3) 判断△ABC的形状时，先根据A、B、C三点的坐标，用两点间距离公式分别求出AC、BC、AB的长度，先判断边的相等关系，再结合勾股定理的逆定理判断角的特征，即可确定三角形的类型。
【解析】
(1) 把$x=0$代入$y=-x^2+1$，得$y=1$，
∴点$C$的坐标为$(0,1)$。
(2) 令$y=0$，则$-x^2+1=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-1$，
不妨设$A(-1,0)$，$B(1,0)$，
则$AB=|1-(-1)|=2$，
即线段$AB$的长为$2$。
(3) 由$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$C(0,1)$得：
$AC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，
∴$AC=BC$，
又$AC^2+BC^2=2+2=4=AB^2$，
∴$∠ ACB=90°$，
∴$△ ABC$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,1)}$
(2) $\boldsymbol{2}$
(3) $\boldsymbol{等腰直角三角形}$
【知识点】
二次函数与坐标轴的交点；两点间的距离；等腰直角三角形判定
【点评】
本题是二次函数的基础题型，将函数图象与平面几何知识结合，考查对基础概念的理解和常规解题方法的运用，解题时紧扣坐标轴上点的坐标特征、距离公式及三角形判定定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
