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1. 下列说法正确的是().
A.二次函数 $y=x^2 -5$ 的图象与 $y=x^2 +5$ 的图象的形状不同
B.二次函数 $y=x^2 -5$ 的图象可以由 $y=x^2$ 的图象向下平移5个单位长度得到
C.抛物线 $y=-3x^2$ 可以由抛物线 $y=3x^2$ 通过平移得到
D.抛物线 $y=4x^2$ 与抛物线 $y=4x^2 +3$ 的形状、顶点坐标和对称轴完全相同
A.二次函数 $y=x^2 -5$ 的图象与 $y=x^2 +5$ 的图象的形状不同
B.二次函数 $y=x^2 -5$ 的图象可以由 $y=x^2$ 的图象向下平移5个单位长度得到
C.抛物线 $y=-3x^2$ 可以由抛物线 $y=3x^2$ 通过平移得到
D.抛物线 $y=4x^2$ 与抛物线 $y=4x^2 +3$ 的形状、顶点坐标和对称轴完全相同
答案
B
解析
【分析】
解决本题需要先明确两个核心判断依据：①二次函数的图象形状仅由二次项系数a的绝对值决定，|a|相同则抛物线形状相同，a的符号决定开口方向；②抛物线平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律，平移仅改变图象位置，不改变形状、开口方向和对称轴。接下来我们逐一分析每个选项即可得出正确结论。
【解析】
我们逐个判断选项正误：
A选项：二次函数$y=x^2 -5$与$y=x^2 +5$的二次项系数均为1，$|a|$相等，因此两个函数的图象形状完全相同，A错误；
B选项：根据平移“上加下减”的规律，将$y=x^2$的图象向下平移5个单位长度，常数项减5，即可得到$y=x^2 -5$的图象，B正确；
C选项：$y=-3x^2$与$y=3x^2$的二次项系数符号相反，开口方向相反，平移不会改变抛物线的开口方向，因此二者不能通过平移得到，C错误；
D选项：$y=4x^2$与$y=4x^2 +3$的a值相同，因此形状、对称轴（均为直线$x=0$）相同，但顶点坐标不同，前者顶点为$(0,0)$，后者顶点为$(0,3)$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的图象性质 2. 二次函数图象的平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点对二次项系数的作用、平移规律两个核心知识点进行辨析，熟练掌握基础概念就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先明确两个核心判断依据：①二次函数的图象形状仅由二次项系数a的绝对值决定，|a|相同则抛物线形状相同，a的符号决定开口方向；②抛物线平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律，平移仅改变图象位置，不改变形状、开口方向和对称轴。接下来我们逐一分析每个选项即可得出正确结论。
【解析】
我们逐个判断选项正误：
A选项：二次函数$y=x^2 -5$与$y=x^2 +5$的二次项系数均为1，$|a|$相等，因此两个函数的图象形状完全相同，A错误；
B选项：根据平移“上加下减”的规律，将$y=x^2$的图象向下平移5个单位长度，常数项减5，即可得到$y=x^2 -5$的图象，B正确；
C选项：$y=-3x^2$与$y=3x^2$的二次项系数符号相反，开口方向相反，平移不会改变抛物线的开口方向，因此二者不能通过平移得到，C错误；
D选项：$y=4x^2$与$y=4x^2 +3$的a值相同，因此形状、对称轴（均为直线$x=0$）相同，但顶点坐标不同，前者顶点为$(0,0)$，后者顶点为$(0,3)$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的图象性质 2. 二次函数图象的平移规律
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点对二次项系数的作用、平移规律两个核心知识点进行辨析，熟练掌握基础概念就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 在平面直角坐标系中，将二次函数$y=2x^2$的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为().
A.$y=2x^2 -2$
B.$y=2x^2 +2$
C.$y=2(x-2)^2$
D.$y=2(x+2)^2$
A.$y=2x^2 -2$
B.$y=2x^2 +2$
C.$y=2(x-2)^2$
D.$y=2(x+2)^2$
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移问题，解题时先回忆函数图象平移的核心规律：上下平移改变函数的常数项，遵循“上加下减”的原则，即向上平移n个单位，就在原函数表达式末尾加n，向下平移n个单位则减n；左右平移才是对自变量x进行“左加右减”的操作。本题是向上平移2个单位，属于上下平移，只需按照“上加”的规则对原函数表达式变形，再匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
解：根据二次函数图象上下平移的“上加下减”规律：
原二次函数为$y=2x^2$，将其图象向上平移2个单位长度，即在原函数表达式的基础上加上2，
可得平移后的函数表达式为$y=2x^2 + 2$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移，平移规律“上加下减”
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数的上下平移规则，只要熟练掌握平移口诀就能快速准确作答，是二次函数平移类问题的典型基础考法。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数图象的平移问题，解题时先回忆函数图象平移的核心规律：上下平移改变函数的常数项，遵循“上加下减”的原则，即向上平移n个单位，就在原函数表达式末尾加n，向下平移n个单位则减n；左右平移才是对自变量x进行“左加右减”的操作。本题是向上平移2个单位，属于上下平移，只需按照“上加”的规则对原函数表达式变形，再匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
解：根据二次函数图象上下平移的“上加下减”规律：
原二次函数为$y=2x^2$，将其图象向上平移2个单位长度，即在原函数表达式的基础上加上2，
可得平移后的函数表达式为$y=2x^2 + 2$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移，平移规律“上加下减”
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数的上下平移规则，只要熟练掌握平移口诀就能快速准确作答，是二次函数平移类问题的典型基础考法。
【难度系数】
0.9
3. 已知正比例函数 $ y=ax(a≠0) $，y随x的增大而减小，则函数 $ y=ax^2+a $ 的图象经过的象限是().
A.第三、四象限
B.第一、二象限
C.第二、三、四象限
D.第一、二、三象限
A.第三、四象限
B.第一、二象限
C.第二、三、四象限
D.第一、二、三象限
答案
A
解析
【分析】解题时先根据正比例函数的增减性确定a的符号，再结合二次函数的系数特征分析其开口方向、顶点位置，最终判断图象经过的象限。第一步：利用正比例函数性质，y随x增大而减小可推出a＜0；第二步：分析二次函数y=ax²+a的特征，该函数无一次项，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,a)，二次项系数决定开口方向，常数项决定与y轴交点位置；第三步：结合a＜0的条件，判断图象上所有点的纵坐标符号，即可确定所在象限。
【解析】
1. 由正比例函数$y=ax(a≠0)$的性质：y随x的增大而减小，可得$a＜0$。
2. 分析二次函数$y=ax^2+a$的图象特征：
二次项系数$a＜0$，因此抛物线开口向下；
函数无一次项，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,a)$，结合$a＜0$，可知顶点在y轴负半轴，即抛物线与y轴交于负半轴；
抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，顶点纵坐标$a＜0$，因此抛物线上所有点的纵坐标都小于0。
3. 当$x＞0$时，$y＜0$，对应第四象限；当$x＜0$时，$y＜0$，对应第三象限，因此函数图象经过第三、四象限。
【答案】A
【知识点】正比例函数的性质；二次函数的图象与性质
【点评】本题将正比例函数和二次函数的性质结合考查，解题核心是先通过正比例函数的增减性确定参数a的符号，再结合二次函数的开口、顶点位置判断图象的分布。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 由正比例函数$y=ax(a≠0)$的性质：y随x的增大而减小，可得$a＜0$。
2. 分析二次函数$y=ax^2+a$的图象特征：
二次项系数$a＜0$，因此抛物线开口向下；
函数无一次项，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,a)$，结合$a＜0$，可知顶点在y轴负半轴，即抛物线与y轴交于负半轴；
抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，顶点纵坐标$a＜0$，因此抛物线上所有点的纵坐标都小于0。
3. 当$x＞0$时，$y＜0$，对应第四象限；当$x＜0$时，$y＜0$，对应第三象限，因此函数图象经过第三、四象限。
【答案】A
【知识点】正比例函数的性质；二次函数的图象与性质
【点评】本题将正比例函数和二次函数的性质结合考查，解题核心是先通过正比例函数的增减性确定参数a的符号，再结合二次函数的开口、顶点位置判断图象的分布。
【难度系数】0.7
二、填空题
4. 已知点$(a,b)$在抛物线$y=2x^2 +1$上，则$4a^2 -2b +1=$。
4. 已知点$(a,b)$在抛物线$y=2x^2 +1$上，则$4a^2 -2b +1=$。
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
如果点在函数图象上，那么点的横纵坐标满足该函数的解析式，因此先将点$(a,b)$代入抛物线解析式，得到$a$和$b$的数量关系。观察待求代数式$4a^2 -2b +1$的结构，可对得到的$a$、$b$关系式变形后整体代入计算，无需单独求出$a$、$b$的具体值，简化运算步骤。
【解析】
$\because$ 点$(a,b)$在抛物线$y=2x^2 +1$上
$\therefore$ 将$x=a$，$y=b$代入抛物线解析式，可得：
$b=2a^2 +1$
对等式变形，两边同时乘2得：$2b=4a^2 +2$，移项得$4a^2=2b-2$
将$4a^2=2b-2$代入$4a^2 -2b +1$中计算：
$\begin{aligned}4a^2 -2b +1&=(2b-2)-2b +1\\&=2b-2-2b+1\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，解题关键是掌握函数图象上的点与函数解析式的对应关系，结合整体代入的思想求值，运算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
如果点在函数图象上，那么点的横纵坐标满足该函数的解析式，因此先将点$(a,b)$代入抛物线解析式，得到$a$和$b$的数量关系。观察待求代数式$4a^2 -2b +1$的结构，可对得到的$a$、$b$关系式变形后整体代入计算，无需单独求出$a$、$b$的具体值，简化运算步骤。
【解析】
$\because$ 点$(a,b)$在抛物线$y=2x^2 +1$上
$\therefore$ 将$x=a$，$y=b$代入抛物线解析式，可得：
$b=2a^2 +1$
对等式变形，两边同时乘2得：$2b=4a^2 +2$，移项得$4a^2=2b-2$
将$4a^2=2b-2$代入$4a^2 -2b +1$中计算：
$\begin{aligned}4a^2 -2b +1&=(2b-2)-2b +1\\&=2b-2-2b+1\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，解题关键是掌握函数图象上的点与函数解析式的对应关系，结合整体代入的思想求值，运算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
5. 已知点A(x₁，2020)，B(x₂，2020)是抛物线$y=x^2 -5$上相异两点.当$x=x_1 +x_2$时，二次函数$y=x^2 -5$的值为.
答案
$\boldsymbol{-5}$
解析
【分析】
解题时首先观察到A、B两点纵坐标相同，可知两点是抛物线上关于对称轴对称的点。第一步先求抛物线$y=x^2-5$的对称轴，该抛物线无一次项，对称轴为y轴（直线$x=0$）；第二步根据对称点的横坐标特征，关于$x=0$对称的两点横坐标互为相反数，即可得到$x_1+x_2=0$；第三步将$x=0$代入二次函数解析式计算即可得到结果。也可通过列一元二次方程求两根，直接得到$x_1+x_2$的值后代入计算。
【解析】
方法一：利用二次函数对称性求解
∵ 二次函数解析式为$y=x^2-5$，其中$a=1,b=0,c=-5$，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=0$，
∵ 点$A(x_1,2020)$、$B(x_2,2020)$纵坐标相等，
∴ A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴ $\frac{x_1+x_2}{2}=0$，即$x=x_1+x_2=0$，
将$x=0$代入$y=x^2-5$，得$y=0^2-5=-5$。
方法二：利用一元二次方程求解
将$y=2020$代入$y=x^2-5$，得：
$x^2-5=2020$，整理得$x^2=2025$，
∵ A、B为相异两点，
∴ $x_1、x_2$是方程$x^2=2025$的两个不同的根，即$x_1=45,x_2=-45$，
∴ $x=x_1+x_2=45+(-45)=0$，
将$x=0$代入$y=x^2-5$，得$y=-5$。
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题关键是抓住纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称的特征，快速求出横坐标之和，不需要求解具体的$x_1、x_2$的值即可简化计算，能够考查学生对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到A、B两点纵坐标相同，可知两点是抛物线上关于对称轴对称的点。第一步先求抛物线$y=x^2-5$的对称轴，该抛物线无一次项，对称轴为y轴（直线$x=0$）；第二步根据对称点的横坐标特征，关于$x=0$对称的两点横坐标互为相反数，即可得到$x_1+x_2=0$；第三步将$x=0$代入二次函数解析式计算即可得到结果。也可通过列一元二次方程求两根，直接得到$x_1+x_2$的值后代入计算。
【解析】
方法一：利用二次函数对称性求解
∵ 二次函数解析式为$y=x^2-5$，其中$a=1,b=0,c=-5$，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=0$，
∵ 点$A(x_1,2020)$、$B(x_2,2020)$纵坐标相等，
∴ A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴ $\frac{x_1+x_2}{2}=0$，即$x=x_1+x_2=0$，
将$x=0$代入$y=x^2-5$，得$y=0^2-5=-5$。
方法二：利用一元二次方程求解
将$y=2020$代入$y=x^2-5$，得：
$x^2-5=2020$，整理得$x^2=2025$，
∵ A、B为相异两点，
∴ $x_1、x_2$是方程$x^2=2025$的两个不同的根，即$x_1=45,x_2=-45$，
∴ $x=x_1+x_2=45+(-45)=0$，
将$x=0$代入$y=x^2-5$，得$y=-5$。
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题，解题关键是抓住纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称的特征，快速求出横坐标之和，不需要求解具体的$x_1、x_2$的值即可简化计算，能够考查学生对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
6. 如图，两条抛物线$y_1=-\frac{1}{2}x^2 + 1$，$y_2=-\frac{1}{2}x^2 -1$与分别经过点$(-2, 0)$，$(2, 0)$且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
【分析】
首先观察两条抛物线的解析式，它们的二次项系数完全相同，说明两条抛物线形状、开口方向均一致，仅沿y轴方向平移得到，因此同一横坐标处两条抛物线的竖直距离是固定值。要求的阴影部分位于平行于y轴的直线x=-2和x=2之间，我们可以利用割补法，将阴影部分转化为规则的矩形计算面积，不需要求解复杂的不规则图形面积。
【解析】
第一步：计算两条抛物线的竖直间距：
对任意x，$y_1 - y_2 = (-\frac{1}{2}x^2 +1) - (-\frac{1}{2}x^2 -1) = 2$，即两条抛物线的竖直距离恒为2。
第二步：计算两条平行于y轴的直线的水平间距：
两条直线为x=-2和x=2，间距为$2 - (-2) = 4$。
第三步：利用割补法，阴影部分可拼接为长为4、宽为2的矩形，因此面积为：
$S=4 × 2 = 8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数图像性质，割补法求面积，平移的性质
【点评】
本题主要考查不规则图形面积的求解，解题核心是发现两条抛物线的竖直间距为定值，通过转化思想将不规则阴影面积转化为规则矩形面积即可快速求解，避免了复杂的计算。
【难度系数】
0.7
首先观察两条抛物线的解析式，它们的二次项系数完全相同，说明两条抛物线形状、开口方向均一致，仅沿y轴方向平移得到，因此同一横坐标处两条抛物线的竖直距离是固定值。要求的阴影部分位于平行于y轴的直线x=-2和x=2之间，我们可以利用割补法，将阴影部分转化为规则的矩形计算面积，不需要求解复杂的不规则图形面积。
【解析】
第一步：计算两条抛物线的竖直间距：
对任意x，$y_1 - y_2 = (-\frac{1}{2}x^2 +1) - (-\frac{1}{2}x^2 -1) = 2$，即两条抛物线的竖直距离恒为2。
第二步：计算两条平行于y轴的直线的水平间距：
两条直线为x=-2和x=2，间距为$2 - (-2) = 4$。
第三步：利用割补法，阴影部分可拼接为长为4、宽为2的矩形，因此面积为：
$S=4 × 2 = 8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数图像性质，割补法求面积，平移的性质
【点评】
本题主要考查不规则图形面积的求解，解题核心是发现两条抛物线的竖直间距为定值，通过转化思想将不规则阴影面积转化为规则矩形面积即可快速求解，避免了复杂的计算。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7. 已知抛物线$y=ax^2$经过点$(2,-8)$.
（1）画出$y=ax^2$的图象；
（2）将上述抛物线向下平移3个单位长度，画出平移后的抛物线并求所得抛物线对应的函数表达式；
（3）若点$A$在抛物线$y=ax^2$上，直线$AB$垂直于$x$轴，线段$AB=5$，沿$y$轴平移抛物线$y=ax^2$使之过点$B$，求平移后所得抛物线对应的函数表达式.
7. 已知抛物线$y=ax^2$经过点$(2,-8)$.
（1）画出$y=ax^2$的图象；
（2）将上述抛物线向下平移3个单位长度，画出平移后的抛物线并求所得抛物线对应的函数表达式；
（3）若点$A$在抛物线$y=ax^2$上，直线$AB$垂直于$x$轴，线段$AB=5$，沿$y$轴平移抛物线$y=ax^2$使之过点$B$，求平移后所得抛物线对应的函数表达式.
答案
解：
将点$(2,-8)$代入$y=ax^2$，得：
$-8 = a· 2^2$，解得$a=-2$，因此原抛物线解析式为$y=-2x^2$。
（1）列表取对应点：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y=-2x^2$ | $-8$ | $-2$ | $0$ | $-2$ | $-8$ |
在平面直角坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到$y=-2x^2$的图象。
（2）根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=-2x^2$向下平移3个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为：
$y=-2x^2 - 3$
将$y=-2x^2$图象上所有点沿$y$轴向下平移3个单位长度，用平滑曲线顺次连接对应点，即可得到平移后的抛物线图象。
（3）由题意，$AB⊥ x$轴且$AB=5$，可知点$B$的纵坐标比点$A$的纵坐标大5或小5。
设点$A$坐标为$(x, -2x^2)$，则点$B$的坐标为$(x, -2x^2+5)$或$(x, -2x^2-5)$。
设沿$y$轴平移后所得抛物线的表达式为$y=-2x^2 + k$：
① 若点$B$在点$A$上方，将$B(x, -2x^2+5)$代入$y=-2x^2 +k$，得：
$-2x^2 +5 = -2x^2 +k$，解得$k=5$，对应函数表达式为$y=-2x^2+5$；
② 若点$B$在点$A$下方，将$B(x, -2x^2-5)$代入$y=-2x^2 +k$，得：
$-2x^2 -5 = -2x^2 +k$，解得$k=-5$，对应函数表达式为$y=-2x^2-5$。
综上，平移后所得抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x^2+5}$或$\boldsymbol{y=-2x^2-5}$。
将点$(2,-8)$代入$y=ax^2$，得：
$-8 = a· 2^2$，解得$a=-2$，因此原抛物线解析式为$y=-2x^2$。
（1）列表取对应点：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y=-2x^2$ | $-8$ | $-2$ | $0$ | $-2$ | $-8$ |
在平面直角坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到$y=-2x^2$的图象。
（2）根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=-2x^2$向下平移3个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为：
$y=-2x^2 - 3$
将$y=-2x^2$图象上所有点沿$y$轴向下平移3个单位长度，用平滑曲线顺次连接对应点，即可得到平移后的抛物线图象。
（3）由题意，$AB⊥ x$轴且$AB=5$，可知点$B$的纵坐标比点$A$的纵坐标大5或小5。
设点$A$坐标为$(x, -2x^2)$，则点$B$的坐标为$(x, -2x^2+5)$或$(x, -2x^2-5)$。
设沿$y$轴平移后所得抛物线的表达式为$y=-2x^2 + k$：
① 若点$B$在点$A$上方，将$B(x, -2x^2+5)$代入$y=-2x^2 +k$，得：
$-2x^2 +5 = -2x^2 +k$，解得$k=5$，对应函数表达式为$y=-2x^2+5$；
② 若点$B$在点$A$下方，将$B(x, -2x^2-5)$代入$y=-2x^2 +k$，得：
$-2x^2 -5 = -2x^2 +k$，解得$k=-5$，对应函数表达式为$y=-2x^2-5$。
综上，平移后所得抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x^2+5}$或$\boldsymbol{y=-2x^2-5}$。
解析
【分析】
解题时首先利用待定系数法，将已知点$(2,-8)$代入抛物线解析式求出$a$的值，确定原抛物线的解析式为$y=-2x^2$。针对三个小问分别思考：
（1）画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”的步骤，因为抛物线关于$y$轴对称，取$x$为对称的整数值计算对应$y$值即可描点画图；
（2）二次函数沿$y$轴平移遵循“上加下减”的规律，向下平移3个单位就在原解析式的常数项位置减3，平移图象只需将原图象的所有点向下平移3个单位再连线即可；
（3）$AB$垂直$x$轴说明$A$、$B$两点横坐标相同，$AB=5$说明两点纵坐标相差5，需分$B$在$A$上方、$B$在$A$下方两种情况讨论。设沿$y$轴平移后的解析式为$y=-2x^2+k$，将$B$点坐标代入即可求出$k$的值，得到平移后的解析式。
【解析】
首先将点$(2,-8)$代入$y=ax^2$，得：
$-8 = a×2^2$，解得$a=-2$，因此原抛物线解析式为$y=-2x^2$。
（1）列表取对称点：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y=-2x^2$ | $-8$ | $-2$ | $0$ | $-2$ | $-8$ |
在平面直角坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到$y=-2x^2$的图象。
（2）根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=-2x^2$向下平移3个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为：
$y=-2x^2 - 3$
画图方法：将$y=-2x^2$图象上所有点沿$y$轴向下平移3个单位长度，用平滑曲线顺次连接对应点，即可得到平移后的抛物线图象。
（3）由题意，$AB⊥ x$轴且$AB=5$，可知点$B$的纵坐标比点$A$的纵坐标大5或小5。
设点$A$坐标为$(x, -2x^2)$，则点$B$的坐标为$(x, -2x^2+5)$或$(x, -2x^2-5)$。
设沿$y$轴平移后所得抛物线的表达式为$y=-2x^2 + k$：
① 若点$B$在点$A$上方，将$B(x, -2x^2+5)$代入$y=-2x^2 +k$，得：
$-2x^2 +5 = -2x^2 +k$，解得$k=5$，对应函数表达式为$y=-2x^2+5$；
② 若点$B$在点$A$下方，将$B(x, -2x^2-5)$代入$y=-2x^2 +k$，得：
$-2x^2 -5 = -2x^2 +k$，解得$k=-5$，对应函数表达式为$y=-2x^2-5$。
【答案】
（1）按列表、描点、连线步骤画出$y=-2x^2$的图象（列表见解析）；
（2）平移后抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-2x^2-3}$，图象为原抛物线向下平移3个单位所得；
（3）平移后所得抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-2x^2+5}$或$\boldsymbol{y=-2x^2-5}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象平移规律，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题围绕二次函数的图象和性质设计，考查了二次函数解析式的求解、图象画法、平移规律的应用，第三问需要注意分类讨论B点的位置，避免漏解，是巩固二次函数基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用待定系数法，将已知点$(2,-8)$代入抛物线解析式求出$a$的值，确定原抛物线的解析式为$y=-2x^2$。针对三个小问分别思考：
（1）画二次函数图象遵循“列表、描点、连线”的步骤，因为抛物线关于$y$轴对称，取$x$为对称的整数值计算对应$y$值即可描点画图；
（2）二次函数沿$y$轴平移遵循“上加下减”的规律，向下平移3个单位就在原解析式的常数项位置减3，平移图象只需将原图象的所有点向下平移3个单位再连线即可；
（3）$AB$垂直$x$轴说明$A$、$B$两点横坐标相同，$AB=5$说明两点纵坐标相差5，需分$B$在$A$上方、$B$在$A$下方两种情况讨论。设沿$y$轴平移后的解析式为$y=-2x^2+k$，将$B$点坐标代入即可求出$k$的值，得到平移后的解析式。
【解析】
首先将点$(2,-8)$代入$y=ax^2$，得：
$-8 = a×2^2$，解得$a=-2$，因此原抛物线解析式为$y=-2x^2$。
（1）列表取对称点：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|-----|-----|-----|
| $y=-2x^2$ | $-8$ | $-2$ | $0$ | $-2$ | $-8$ |
在平面直角坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到$y=-2x^2$的图象。
（2）根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=-2x^2$向下平移3个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为：
$y=-2x^2 - 3$
画图方法：将$y=-2x^2$图象上所有点沿$y$轴向下平移3个单位长度，用平滑曲线顺次连接对应点，即可得到平移后的抛物线图象。
（3）由题意，$AB⊥ x$轴且$AB=5$，可知点$B$的纵坐标比点$A$的纵坐标大5或小5。
设点$A$坐标为$(x, -2x^2)$，则点$B$的坐标为$(x, -2x^2+5)$或$(x, -2x^2-5)$。
设沿$y$轴平移后所得抛物线的表达式为$y=-2x^2 + k$：
① 若点$B$在点$A$上方，将$B(x, -2x^2+5)$代入$y=-2x^2 +k$，得：
$-2x^2 +5 = -2x^2 +k$，解得$k=5$，对应函数表达式为$y=-2x^2+5$；
② 若点$B$在点$A$下方，将$B(x, -2x^2-5)$代入$y=-2x^2 +k$，得：
$-2x^2 -5 = -2x^2 +k$，解得$k=-5$，对应函数表达式为$y=-2x^2-5$。
【答案】
（1）按列表、描点、连线步骤画出$y=-2x^2$的图象（列表见解析）；
（2）平移后抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-2x^2-3}$，图象为原抛物线向下平移3个单位所得；
（3）平移后所得抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-2x^2+5}$或$\boldsymbol{y=-2x^2-5}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象平移规律，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题围绕二次函数的图象和性质设计，考查了二次函数解析式的求解、图象画法、平移规律的应用，第三问需要注意分类讨论B点的位置，避免漏解，是巩固二次函数基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7
