登录
三、解答题
7. 抛物线$y=ax^2$经过点$(3,-1)$.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出该二次函数的图象；
（3）当$y$随$x$的增大而增大时，求$x$的取值范围.
7. 抛物线$y=ax^2$经过点$(3,-1)$.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出该二次函数的图象；
（3）当$y$随$x$的增大而增大时，求$x$的取值范围.
答案
解：
(1) 将点$(3,-1)$代入$y=ax^2$，得：
$-1 = a · 3^2$
即$9a=-1$，解得$a=-\frac{1}{9}$。
因此这个二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{9}x^2}$。
(2) ① 列表取点：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $-1$ | $-\frac{1}{9}$ | $0$ | $-\frac{1}{9}$ | $-1$ | $\dots$ |
② 在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向下、顶点在原点、关于$y$轴对称的抛物线，即为该二次函数的图象。
(3) 二次函数$y=-\frac{1}{9}x^2$中$a=-\frac{1}{9}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）。
因此当$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围是$\boldsymbol{x＜0}$。
(1) 将点$(3,-1)$代入$y=ax^2$，得：
$-1 = a · 3^2$
即$9a=-1$，解得$a=-\frac{1}{9}$。
因此这个二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{9}x^2}$。
(2) ① 列表取点：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $-1$ | $-\frac{1}{9}$ | $0$ | $-\frac{1}{9}$ | $-1$ | $\dots$ |
② 在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向下、顶点在原点、关于$y$轴对称的抛物线，即为该二次函数的图象。
(3) 二次函数$y=-\frac{1}{9}x^2$中$a=-\frac{1}{9}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）。
因此当$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围是$\boldsymbol{x＜0}$。
解析
【分析】
本题围绕$y=ax^2$型二次函数展开，可分三步求解：
1. 求解析式：使用待定系数法，将已知点的坐标代入函数表达式，解关于$a$的一元一次方程得到$a$的值，即可确定函数表达式。
2. 画函数图象：遵循“列表、描点、连线”的步骤绘制，该函数关于$y$轴对称，取点时可对称选取$x$的正负值，简化计算。
3. 求增减性对应的$x$范围：先根据$a$的正负判断抛物线开口方向，再结合$y=ax^2$的对称轴为$y$轴（直线$x=0$）分析增减性：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小，据此得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 求二次函数表达式：
将点$(3,-1)$代入$y=ax^2$，得：
$-1 = a · 3^2$
即$9a=-1$，解得$a=-\frac{1}{9}$。
因此这个二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{9}x^2$。
(2) 绘制二次函数图象：
① 列表取点：利用函数对称性选取对应$x$值，计算$y$值如下：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $-1$ | $-\frac{1}{9}$ | $0$ | $-\frac{1}{9}$ | $-1$ | $\dots$ |
② 在平面直角坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接各点，得到的开口向下、顶点在原点、关于$y$轴对称的抛物线，即为该二次函数的图象。
(3) 求$x$的取值范围：
二次函数$y=-\frac{1}{9}x^2$中$a=-\frac{1}{9}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）。
根据开口向下的抛物线增减性规律，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，因此当$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围是$x＜0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{9}x^2}$；
(2) 图象见解析绘制步骤；
(3) $\boldsymbol{x＜0}$。
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数图象画法、二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，侧重考查$y=ax^2$型二次函数的基本性质，熟练掌握待定系数法的应用，以及二次函数图象和增减性的对应关系，即可顺利解答本题。
【难度系数】
0.85
本题围绕$y=ax^2$型二次函数展开，可分三步求解：
1. 求解析式：使用待定系数法，将已知点的坐标代入函数表达式，解关于$a$的一元一次方程得到$a$的值，即可确定函数表达式。
2. 画函数图象：遵循“列表、描点、连线”的步骤绘制，该函数关于$y$轴对称，取点时可对称选取$x$的正负值，简化计算。
3. 求增减性对应的$x$范围：先根据$a$的正负判断抛物线开口方向，再结合$y=ax^2$的对称轴为$y$轴（直线$x=0$）分析增减性：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小，据此得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 求二次函数表达式：
将点$(3,-1)$代入$y=ax^2$，得：
$-1 = a · 3^2$
即$9a=-1$，解得$a=-\frac{1}{9}$。
因此这个二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{9}x^2$。
(2) 绘制二次函数图象：
① 列表取点：利用函数对称性选取对应$x$值，计算$y$值如下：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $-1$ | $-\frac{1}{9}$ | $0$ | $-\frac{1}{9}$ | $-1$ | $\dots$ |
② 在平面直角坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接各点，得到的开口向下、顶点在原点、关于$y$轴对称的抛物线，即为该二次函数的图象。
(3) 求$x$的取值范围：
二次函数$y=-\frac{1}{9}x^2$中$a=-\frac{1}{9}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即$y$轴）。
根据开口向下的抛物线增减性规律，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，因此当$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围是$x＜0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{9}x^2}$；
(2) 图象见解析绘制步骤；
(3) $\boldsymbol{x＜0}$。
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数图象画法、二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，侧重考查$y=ax^2$型二次函数的基本性质，熟练掌握待定系数法的应用，以及二次函数图象和增减性的对应关系，即可顺利解答本题。
【难度系数】
0.85
8. 已知$a＜-1$，点$(a-1,y_1)$，$(a,y_2)$，$(a+1,y_3)$都在函数$y=x^2$的图象上.试比较$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小.
答案
解：
函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
由$a＜-1$可得：
$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，
三个点的横坐标都在对称轴左侧的递减区间内，自变量越小，对应的函数值越大，
因此$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$。
函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
由$a＜-1$可得：
$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，
三个点的横坐标都在对称轴左侧的递减区间内，自变量越小，对应的函数值越大，
因此$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$。
解析
【分析】
要比较二次函数图象上几个点的函数值大小，首先需明确对应二次函数的图象性质：$y=x^2$开口向上，对称轴为直线$x=0$，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，右侧$y$随$x$的增大而增大。接下来判断三个点的横坐标的大小关系及所处区间：已知$a＜-1$，可推出三个横坐标$a-1$、$a$、$a+1$都小于0，均在对称轴左侧，此时利用左侧的增减性规律：横坐标越小，对应函数值越大，结合三个横坐标的大小关系即可得出$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小。
【解析】
函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
由$a＜-1$可得：
$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，
三个点的横坐标都在对称轴左侧的递减区间内，自变量越小，对应的函数值越大，
因此$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$。
【答案】
$y_1＞y_2＞y_3$
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题主要考查二次函数增减性的应用，解题关键是先判断各点横坐标所在的区间，再结合对应区间的增减性比较函数值大小，解题时需注意开口方向对函数增减性规律的影响。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上几个点的函数值大小，首先需明确对应二次函数的图象性质：$y=x^2$开口向上，对称轴为直线$x=0$，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，右侧$y$随$x$的增大而增大。接下来判断三个点的横坐标的大小关系及所处区间：已知$a＜-1$，可推出三个横坐标$a-1$、$a$、$a+1$都小于0，均在对称轴左侧，此时利用左侧的增减性规律：横坐标越小，对应函数值越大，结合三个横坐标的大小关系即可得出$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小。
【解析】
函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，
当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
由$a＜-1$可得：
$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，
三个点的横坐标都在对称轴左侧的递减区间内，自变量越小，对应的函数值越大，
因此$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$。
【答案】
$y_1＞y_2＞y_3$
【知识点】
二次函数$y=x^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题主要考查二次函数增减性的应用，解题关键是先判断各点横坐标所在的区间，再结合对应区间的增减性比较函数值大小，解题时需注意开口方向对函数增减性规律的影响。
【难度系数】
0.8
9. 如图，$AB=BC=CD=10\ \mathrm{cm}$，等腰直角三角形$ABC$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度沿直线$l$向正方形$CDEF$移动，直到$AB$与$DC$重合。设移动$x\ \mathrm{s}$时，三角形与正方形重叠部分的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$。
（1）写出$y$与$x$之间的函数表达式；
（2）当$x=2$和$3.5$时，$y$分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多少时间？
（1）写出$y$与$x$之间的函数表达式；
（2）当$x=2$和$3.5$时，$y$分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多少时间？
答案
解：
（1）等腰直角三角形的锐角为45°，移动$x\ \mathrm{s}$时，三角形沿直线$l$向右移动的距离为$2x\ \mathrm{cm}$，重叠部分是直角边长为$2x\ \mathrm{cm}$的等腰直角三角形，因此：
$y=\frac{1}{2}·(2x)^2=2x^2$
自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤5$。
（2）当$x=2$时，$y=2×2^2=8$；
当$x=3.5$时，$y=2×3.5^2=24.5$。
（3）正方形$CDEF$的面积为$10×10=100\ \mathrm{cm}^2$，它的一半为$50\ \mathrm{cm}^2$。
令$y=50$，得$2x^2=50$，
解得$x_1=5$，$x_2=-5$（不符合题意，舍去）。
答：三角形移动了$5\ \mathrm{s}$。
（1）等腰直角三角形的锐角为45°，移动$x\ \mathrm{s}$时，三角形沿直线$l$向右移动的距离为$2x\ \mathrm{cm}$，重叠部分是直角边长为$2x\ \mathrm{cm}$的等腰直角三角形，因此：
$y=\frac{1}{2}·(2x)^2=2x^2$
自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤5$。
（2）当$x=2$时，$y=2×2^2=8$；
当$x=3.5$时，$y=2×3.5^2=24.5$。
（3）正方形$CDEF$的面积为$10×10=100\ \mathrm{cm}^2$，它的一半为$50\ \mathrm{cm}^2$。
令$y=50$，得$2x^2=50$，
解得$x_1=5$，$x_2=-5$（不符合题意，舍去）。
答：三角形移动了$5\ \mathrm{s}$。
解析
【分析】
这是一道图形动态变化结合函数的应用题，解题思路如下：①先分析运动过程：等腰直角△ABC以2cm/s的速度向右移动，x秒移动的距离为2x cm，运动终止条件是AB与DC重合，总移动距离为BC的长度10cm，因此x的取值范围是0≤x≤5；②判断重叠部分形状：因为△ABC是等腰直角三角形，锐角为45°，所以移动过程中重叠部分始终是等腰直角三角形，直角边长等于移动的距离2x；③第一问根据等腰直角三角形面积公式即可列出y与x的函数关系式；④第二问直接将x的取值代入函数式计算即可；⑤第三问先求出正方形面积的一半，再代入函数式解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
（1）
∵△ABC是等腰直角三角形，其锐角为45°，移动x s时，三角形向右移动的距离为2x cm，此时重叠部分是直角边长为2x cm的等腰直角三角形，
∴$ y=\frac{1}{2} · (2x)^2=2x^2 $，
由运动终止条件得$ 2x≤10 $，即$ x≤5 $，结合x≥0，自变量取值范围为$ 0≤ x≤5 $。
（2）当$ x=2 $时，代入函数式得：$ y=2×2^2=8 $；
当$ x=3.5 $时，代入函数式得：$ y=2×3.5^2=24.5 $。
（3）正方形CDEF的面积为$ 10×10=100\ \mathrm{cm}^2 $，它的一半为$ 50\ \mathrm{cm}^2 $，
令$ y=50 $，得$ 2x^2=50 $，
解得$ x_1=5 $，$ x_2=-5 $（不符合题意，舍去），即三角形移动了5s。
【答案】
（1）$ y=2x^2\ (0≤ x≤5) $
（2）当x=2时，y=8；当x=3.5时，y=24.5
（3）5s
【知识点】
动态几何问题，二次函数应用，等腰直角三角形性质
【点评】
本题将图形运动与二次函数相结合，解题的关键是准确分析运动过程中重叠部分的形状，结合几何性质列出函数关系式，既考查了数形结合的思维能力，也考查了二次函数代入求值、一元二次方程求解的基础运算能力，整体难度不大，理清运动过程即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
这是一道图形动态变化结合函数的应用题，解题思路如下：①先分析运动过程：等腰直角△ABC以2cm/s的速度向右移动，x秒移动的距离为2x cm，运动终止条件是AB与DC重合，总移动距离为BC的长度10cm，因此x的取值范围是0≤x≤5；②判断重叠部分形状：因为△ABC是等腰直角三角形，锐角为45°，所以移动过程中重叠部分始终是等腰直角三角形，直角边长等于移动的距离2x；③第一问根据等腰直角三角形面积公式即可列出y与x的函数关系式；④第二问直接将x的取值代入函数式计算即可；⑤第三问先求出正方形面积的一半，再代入函数式解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
（1）
∵△ABC是等腰直角三角形，其锐角为45°，移动x s时，三角形向右移动的距离为2x cm，此时重叠部分是直角边长为2x cm的等腰直角三角形，
∴$ y=\frac{1}{2} · (2x)^2=2x^2 $，
由运动终止条件得$ 2x≤10 $，即$ x≤5 $，结合x≥0，自变量取值范围为$ 0≤ x≤5 $。
（2）当$ x=2 $时，代入函数式得：$ y=2×2^2=8 $；
当$ x=3.5 $时，代入函数式得：$ y=2×3.5^2=24.5 $。
（3）正方形CDEF的面积为$ 10×10=100\ \mathrm{cm}^2 $，它的一半为$ 50\ \mathrm{cm}^2 $，
令$ y=50 $，得$ 2x^2=50 $，
解得$ x_1=5 $，$ x_2=-5 $（不符合题意，舍去），即三角形移动了5s。
【答案】
（1）$ y=2x^2\ (0≤ x≤5) $
（2）当x=2时，y=8；当x=3.5时，y=24.5
（3）5s
【知识点】
动态几何问题，二次函数应用，等腰直角三角形性质
【点评】
本题将图形运动与二次函数相结合，解题的关键是准确分析运动过程中重叠部分的形状，结合几何性质列出函数关系式，既考查了数形结合的思维能力，也考查了二次函数代入求值、一元二次方程求解的基础运算能力，整体难度不大，理清运动过程即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
