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1. ★ 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是 （
A.①
B.②
C.③
D.④
A
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1.A 解析:第①块出现一段完整的弧,可在这段弧上任作两条弦,分别作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即为圆心,从而可得到半径的长,可以配到与原来大小一样的圆形玻璃.故选A.
解析
【分析】
要配到和原来大小一样的圆形镜子，本质是要确定原来圆的圆心和半径。根据所学知识，一段完整的弧上任意取两条不平行的弦，作出这两条弦的垂直平分线，交点就是圆心，圆心到弧上任意点的距离就是半径，因此需要选择带有足够长度的完整弧的碎片。逐一观察四块碎片：只有第①块保留了一段较长的完整弧，其余碎片的弧都过短，无法通过作垂直平分线确定圆心。
【解析】
确定一个圆需要明确圆心和半径，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心。
观察四块碎片：
第①块有一段完整的较长的弧，我们可以在这段弧上任取两条不同的弦，分别作出两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，再测量圆心到弧上点的距离即可得到半径，就能确定原来的圆的大小。
第②、③、④块碎片的弧都很短，无法作出足够的弦来确定圆心，也就不能得到原圆的大小。
因此应该带第①块碎片。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关知识，需要学生将几何原理和实际问题结合起来，解题的关键是理解只有保留了足够长度的完整弧的碎片，才能确定原圆的圆心和半径。
【难度系数】
0.7
要配到和原来大小一样的圆形镜子，本质是要确定原来圆的圆心和半径。根据所学知识，一段完整的弧上任意取两条不平行的弦，作出这两条弦的垂直平分线，交点就是圆心，圆心到弧上任意点的距离就是半径，因此需要选择带有足够长度的完整弧的碎片。逐一观察四块碎片：只有第①块保留了一段较长的完整弧，其余碎片的弧都过短，无法通过作垂直平分线确定圆心。
【解析】
确定一个圆需要明确圆心和半径，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心。
观察四块碎片：
第①块有一段完整的较长的弧，我们可以在这段弧上任取两条不同的弦，分别作出两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，再测量圆心到弧上点的距离即可得到半径，就能确定原来的圆的大小。
第②、③、④块碎片的弧都很短，无法作出足够的弦来确定圆心，也就不能得到原圆的大小。
因此应该带第①块碎片。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关知识，需要学生将几何原理和实际问题结合起来，解题的关键是理解只有保留了足够长度的完整弧的碎片，才能确定原圆的圆心和半径。
【难度系数】
0.7
2. ★★（江西中考）如图，点A,B,C,D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
D
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
2.D 解析:不在同一直线上的三点确定一个圆.点P在直线l外,所以只需计算直线l上一共有多少条线段即可.AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6条线段,所以最多可画出圆的个数为6个.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆确定圆的条件：不在同一直线上的三个点才能确定一个圆。观察图形可知，A、B、C、D四个点都在直线l上，这四个点中任意三个点共线，无法确定圆，因此我们选的三个点必须包含直线外的点P，再从直线l上的4个点中选2个点，就能组成不共线的三个点确定一个圆。接下来只需要计算直线l上4个点一共能组成多少条线段（即多少种两点组合），就能得到最多可画圆的个数。
【解析】
根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的定理：
1. 由于点A、B、C、D都在直线l上，因此这四个点中任意三个点共线，无法确定一个圆，故能确定圆的三点组合必须包含点P，剩余两个点从A、B、C、D中选取。
2. 计算直线l上4个点可组成的线段数量：共有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条线段。
3. 每一条线段的两个端点与点P组合，都能得到一组不共线的三点，可确定1个圆，因此最多可画出6个圆。
【答案】
D
【知识点】
1. 三点确定圆的条件
2. 线段计数
【点评】
这道题的解题关键是准确理解确定圆的条件，先排除共线三点的无效组合，将问题转化为直线上线段的计数问题，考查了知识的灵活运用和转化思想。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆确定圆的条件：不在同一直线上的三个点才能确定一个圆。观察图形可知，A、B、C、D四个点都在直线l上，这四个点中任意三个点共线，无法确定圆，因此我们选的三个点必须包含直线外的点P，再从直线l上的4个点中选2个点，就能组成不共线的三个点确定一个圆。接下来只需要计算直线l上4个点一共能组成多少条线段（即多少种两点组合），就能得到最多可画圆的个数。
【解析】
根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的定理：
1. 由于点A、B、C、D都在直线l上，因此这四个点中任意三个点共线，无法确定一个圆，故能确定圆的三点组合必须包含点P，剩余两个点从A、B、C、D中选取。
2. 计算直线l上4个点可组成的线段数量：共有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条线段。
3. 每一条线段的两个端点与点P组合，都能得到一组不共线的三点，可确定1个圆，因此最多可画出6个圆。
【答案】
D
【知识点】
1. 三点确定圆的条件
2. 线段计数
【点评】
这道题的解题关键是准确理解确定圆的条件，先排除共线三点的无效组合，将问题转化为直线上线段的计数问题，考查了知识的灵活运用和转化思想。
【难度系数】
0.7
3. |新趋势·尺规作图 某地出土一个明代残破圆形瓷盘,为复制该瓷盘需确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心(不要求写作法、证明和讨论,但要保留作图痕迹).
答案
3. 作图结果如图所示
解析
【分析】
要确定残破圆形瓷盘的圆心，可利用圆的核心性质：圆心到圆上任意点的距离相等，而到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此圆心是圆上任意两条不平行弦的垂直平分线的交点。解题时先在完好的圆弧上选取3个不共线的点，连接得到两条弦，再分别作这两条弦的垂直平分线，交点即为所求圆心。
【解析】
①在残存的圆弧上任取三个不共线的点，两两连接得到两条弦；
②分别用尺规作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该圆形瓷盘的圆心，作图需保留垂直平分线的痕迹。
【答案】
作图结果如图所示
【知识点】
三点定圆、线段垂直平分线性质、尺规作图
【点评】
本题结合实际应用场景考查圆的相关性质的运用，将几何作图和生活实际相结合，需熟练掌握圆心的确定方法，能灵活运用所学知识解决实际问题。
【难度系数】
0.7
要确定残破圆形瓷盘的圆心，可利用圆的核心性质：圆心到圆上任意点的距离相等，而到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此圆心是圆上任意两条不平行弦的垂直平分线的交点。解题时先在完好的圆弧上选取3个不共线的点，连接得到两条弦，再分别作这两条弦的垂直平分线，交点即为所求圆心。
【解析】
①在残存的圆弧上任取三个不共线的点，两两连接得到两条弦；
②分别用尺规作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该圆形瓷盘的圆心，作图需保留垂直平分线的痕迹。
【答案】
作图结果如图所示
【知识点】
三点定圆、线段垂直平分线性质、尺规作图
【点评】
本题结合实际应用场景考查圆的相关性质的运用，将几何作图和生活实际相结合，需熟练掌握圆心的确定方法，能灵活运用所学知识解决实际问题。
【难度系数】
0.7
4. 下列关于三角形的外心的说法中，正确的是（
A.三角形的外心在三角形外
B.三角形的外心到三角形三边的距离相等
C.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
D.等腰三角形的外心在三角形内
C
）A.三角形的外心在三角形外
B.三角形的外心到三角形三边的距离相等
C.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
D.等腰三角形的外心在三角形内
答案
4.C 解析:三角形的外心可能在三角形内,也可能在三角形的外部,还可能在斜边上,
∴ 选项A错误;三角形的外心到三个顶点的距离相等,到三边的距离不一定相等,
∴ 选项B错误,选项C正确;等腰钝角三角形的外心在三角形外部,
∴ 选项D错误.故选C.
方法归纳 锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部,直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点,钝角三角形的外接圆的圆心在三角形外部.
∴ 选项A错误;三角形的外心到三个顶点的距离相等,到三边的距离不一定相等,
∴ 选项B错误,选项C正确;等腰钝角三角形的外心在三角形外部,
∴ 选项D错误.故选C.
方法归纳 锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部,直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点,钝角三角形的外接圆的圆心在三角形外部.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确三角形外心的定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。解题时先回忆外心的核心性质和不同类型三角形外心的位置，再逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：三角形的外心位置和三角形的形状有关，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部，因此外心不一定在三角形外，A错误。
2. 分析选项B：根据垂直平分线的性质，外心是三边垂直平分线的交点，因此外心到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心（角平分线的交点），因此B错误。
3. 分析选项C：由垂直平分线的性质可知，三角形的外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径，C正确。
4. 分析选项D：若等腰三角形是钝角等腰三角形，它的外心在三角形外部，因此等腰三角形的外心不一定在三角形内，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质；三角形外心的位置；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分三角形外心和内心的性质差异，同时要掌握不同形状的三角形外心的位置特点，避免混淆概念导致错选。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确三角形外心的定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。解题时先回忆外心的核心性质和不同类型三角形外心的位置，再逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：三角形的外心位置和三角形的形状有关，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部，因此外心不一定在三角形外，A错误。
2. 分析选项B：根据垂直平分线的性质，外心是三边垂直平分线的交点，因此外心到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心（角平分线的交点），因此B错误。
3. 分析选项C：由垂直平分线的性质可知，三角形的外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径，C正确。
4. 分析选项D：若等腰三角形是钝角等腰三角形，它的外心在三角形外部，因此等腰三角形的外心不一定在三角形内，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质；三角形外心的位置；垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分三角形外心和内心的性质差异，同时要掌握不同形状的三角形外心的位置特点，避免混淆概念导致错选。
【难度系数】
0.8
5. ★★ (2025·邯郸期中)如图,在正方形方格中,A,B,C,D,E,P均在格点处,则点P是下列哪个三角形的外心 (
A.$△ ACE$
B.$△ ABD$
C.$△ ACD$
D.$△ BCE$
D
)A.$△ ACE$
B.$△ ABD$
C.$△ ACD$
D.$△ BCE$
答案
5.D 解析:三角形的外心到三角形三顶点的距离相等,用勾股定理算出P点到其余各点之间的距离即可得解.P到B,C,E的距离相等,
∴ 点P是△BCE的外心.故选D.
∴ 点P是△BCE的外心.故选D.
解析
【分析】首先明确三角形外心的核心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，因此解题时只需验证点P到选项中各三角形三个顶点的距离是否全部相等即可。我们可以设每个小方格的边长为1，利用勾股定理分别计算点P到A、B、C、D、E各点的距离，再对比每组三角形三个顶点到P的距离是否一致。
【解析】设每个小正方形方格的边长为1，根据勾股定理计算点P到各顶点的距离：
$PC = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$
$PB = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
$PE = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
$PA = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$PD = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
观察可知，只有点B、C、E三个点到点P的距离相等，符合三角形外心的性质，因此点P是$△ BCE$的外心。
【答案】D
【知识点】三角形外心的性质；勾股定理的应用
【点评】本题将三角形外心的性质与网格勾股定理计算结合考查，解题关键是牢记外心到三角形三个顶点距离相等的性质，通过计算线段长度即可快速判断。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小正方形方格的边长为1，根据勾股定理计算点P到各顶点的距离：
$PC = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$
$PB = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
$PE = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
$PA = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$PD = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
观察可知，只有点B、C、E三个点到点P的距离相等，符合三角形外心的性质，因此点P是$△ BCE$的外心。
【答案】D
【知识点】三角形外心的性质；勾股定理的应用
【点评】本题将三角形外心的性质与网格勾股定理计算结合考查，解题关键是牢记外心到三角形三个顶点距离相等的性质，通过计算线段长度即可快速判断。
【难度系数】0.7
6. ★★★ (1)(2025·扬州月考)已知直角三角形两直角边长分别是3和4,则其外接圆的半径长是
(2)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是
2.5
.(2)如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是
$\sqrt{10}$
.答案
6.(1)2.5 解析:根据勾股定理得斜边为5,此时半径为2.5.
(2)$\sqrt{10}$ 解析:根据正方形的性质得到AB的中垂线ED,再找到BC的中垂线FH,交ED于点O,以点O为圆心,OC为半径的圆即为覆盖△ABC的最小圆面,如图
,则最小圆面的半径$OC=\sqrt{OF^2+FC^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$.故答案为$\sqrt{10}$.解析
【分析】
(1) 求解直角三角形外接圆半径时，先回忆直角三角形外接圆的特征：直角三角形的外接圆直径等于其斜边长度，因此先通过勾股定理计算斜边长度，再除以2即可得到外接圆半径。
(2) 能够完全覆盖三角形的最小圆是该三角形的外接圆，外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，因此先在网格中找到两条边的垂直平分线，交点即为外心，再利用勾股定理计算外心到三角形顶点的距离，就是最小圆的半径。
【解析】
(1) 已知直角三角形两直角边长为3和4，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$。
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边长，所以其外接圆半径为$\frac{5}{2}=2.5$。
(2) 能够完全覆盖$△ ABC$的最小圆面是$△ ABC$的外接圆，外接圆的圆心为三角形三边垂直平分线的交点：
作AB的中垂线ED，BC的中垂线FH，两条中垂线交于点O，点O即为外接圆圆心，连接OC，OC即为外接圆半径。
由网格可知，$OF=1$，$FC=3$，根据勾股定理得：$OC=\sqrt{OF^2+FC^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
参考图示：
【答案】
(1) $\boxed{2.5}$；(2) $\boxed{\sqrt{10}}$
【知识点】
直角三角形外接圆性质，三角形外心的定义，勾股定理
【点评】
本题围绕三角形外接圆的应用设题，第一问是基础的直角三角形外接圆半径计算，牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系即可快速解答；第二问结合网格考查外接圆圆心的确定方法，需要熟练掌握外心是三边垂直平分线交点的性质，再结合勾股定理计算半径，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 求解直角三角形外接圆半径时，先回忆直角三角形外接圆的特征：直角三角形的外接圆直径等于其斜边长度，因此先通过勾股定理计算斜边长度，再除以2即可得到外接圆半径。
(2) 能够完全覆盖三角形的最小圆是该三角形的外接圆，外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，因此先在网格中找到两条边的垂直平分线，交点即为外心，再利用勾股定理计算外心到三角形顶点的距离，就是最小圆的半径。
【解析】
(1) 已知直角三角形两直角边长为3和4，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$。
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边长，所以其外接圆半径为$\frac{5}{2}=2.5$。
(2) 能够完全覆盖$△ ABC$的最小圆面是$△ ABC$的外接圆，外接圆的圆心为三角形三边垂直平分线的交点：
作AB的中垂线ED，BC的中垂线FH，两条中垂线交于点O，点O即为外接圆圆心，连接OC，OC即为外接圆半径。
由网格可知，$OF=1$，$FC=3$，根据勾股定理得：$OC=\sqrt{OF^2+FC^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
参考图示：
【答案】
(1) $\boxed{2.5}$；(2) $\boxed{\sqrt{10}}$
【知识点】
直角三角形外接圆性质，三角形外心的定义，勾股定理
【点评】
本题围绕三角形外接圆的应用设题，第一问是基础的直角三角形外接圆半径计算，牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系即可快速解答；第二问结合网格考查外接圆圆心的确定方法，需要熟练掌握外心是三边垂直平分线交点的性质，再结合勾股定理计算半径，难度适中。
【难度系数】
0.7
7. |新趋势·过程性学习 阅读下列文字，回答问题.
题目:在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,若$∠ A≠45°$,求证:$AC≠ BC$.
证明:假设$AC=BC$,因为$∠ A≠45°,∠ C=90°$,所以$∠ A≠∠ B$.
所以$AC≠ BC$,这与假设矛盾,所以$AC≠ BC$.
上面的证明有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请予以纠正.
题目:在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,若$∠ A≠45°$,求证:$AC≠ BC$.
证明:假设$AC=BC$,因为$∠ A≠45°,∠ C=90°$,所以$∠ A≠∠ B$.
所以$AC≠ BC$,这与假设矛盾,所以$AC≠ BC$.
上面的证明有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请予以纠正.
答案
7. 有错误.
改正:
假设$AC=BC$,则$∠ A=∠ B$,又$∠ C=90°$,
所以$∠ B=∠ A=45°$,这与$∠ A≠45°$矛盾,所以$AC=BC$不成立,所以$AC≠ BC$.
改正:
假设$AC=BC$,则$∠ A=∠ B$,又$∠ C=90°$,
所以$∠ B=∠ A=45°$,这与$∠ A≠45°$矛盾,所以$AC=BC$不成立,所以$AC≠ BC$.
解析
【分析】
这道题考查反证法的正确运用，首先要明确反证法的核心逻辑：第一步假设结论不成立，第二步从假设出发推理论证得出矛盾，第三步根据矛盾判定假设不成立，从而肯定原结论。原证明的错误属于循环论证，没有从假设出发推导，反而间接用到了待证的结论相关逻辑，不符合反证法的要求。正确思路是从假设AC=BC出发，结合等腰三角形等边对等角的性质、直角三角形两锐角互余的性质，推出∠A=45°，和已知∠A≠45°的条件矛盾，即可证明原结论成立。
【解析】
原证明存在错误，犯了循环论证的逻辑问题，推导时未从假设出发，无效使用了待证结论的相关逻辑。
正确证明过程：
假设$AC=BC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠A=∠B$。
又因为$∠C=90°$，直角三角形两锐角和为$90°$，因此$∠A=∠B=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
该结论和已知条件$∠A≠45°$矛盾，因此假设$AC=BC$不成立，故$AC≠BC$。
【答案】
有错误。
改正:
假设$AC=BC$,则$∠ A=∠ B$,又$∠ C=90°$,
所以$∠ B=∠ A=45°$,这与$∠ A≠45°$矛盾,所以$AC=BC$不成立,所以$AC≠ BC$.
【知识点】
反证法，等边对等角，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题主要考查反证法的规范使用，使用反证法时要严格遵循逻辑步骤，必须从假设出发推导得出和已知条件、定理公理等相矛盾的结论，避免出现循环论证的逻辑错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查反证法的正确运用，首先要明确反证法的核心逻辑：第一步假设结论不成立，第二步从假设出发推理论证得出矛盾，第三步根据矛盾判定假设不成立，从而肯定原结论。原证明的错误属于循环论证，没有从假设出发推导，反而间接用到了待证的结论相关逻辑，不符合反证法的要求。正确思路是从假设AC=BC出发，结合等腰三角形等边对等角的性质、直角三角形两锐角互余的性质，推出∠A=45°，和已知∠A≠45°的条件矛盾，即可证明原结论成立。
【解析】
原证明存在错误，犯了循环论证的逻辑问题，推导时未从假设出发，无效使用了待证结论的相关逻辑。
正确证明过程：
假设$AC=BC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠A=∠B$。
又因为$∠C=90°$，直角三角形两锐角和为$90°$，因此$∠A=∠B=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
该结论和已知条件$∠A≠45°$矛盾，因此假设$AC=BC$不成立，故$AC≠BC$。
【答案】
有错误。
改正:
假设$AC=BC$,则$∠ A=∠ B$,又$∠ C=90°$,
所以$∠ B=∠ A=45°$,这与$∠ A≠45°$矛盾,所以$AC=BC$不成立,所以$AC≠ BC$.
【知识点】
反证法，等边对等角，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题主要考查反证法的规范使用，使用反证法时要严格遵循逻辑步骤，必须从假设出发推导得出和已知条件、定理公理等相矛盾的结论，避免出现循环论证的逻辑错误。
【难度系数】
0.7
