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9. ★★ 如图,已知A,B,C,D是圆上的点,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,AC,BD交于点E,则下列结论正确的是 (
A.$AB=AD$
B.$BE=CD$
C.$AC=BD$
D.$BE=AD$
C
)A.$AB=AD$
B.$BE=CD$
C.$AC=BD$
D.$BE=AD$
答案
9. C 解析:如图,连接 BC,
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$,
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$,
∴ $\overset{\frown}{ABC}=\overset{\frown}{BAD}$,
∴ AC = BD,故选 C.
解析
【分析】
解决本题需结合同圆中弧与弦的对应关系思考：首先明确同圆内相等的弧所对的弦相等，要判断选项中的线段是否相等，可先推导其对应弧是否相等。已知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，我们可在两段等弧上同时加上公共弧$\overset{\frown}{AB}$，得到新的等弧，再对应到弦即可判断结论，其余选项无足够已知条件支撑，可直接排除。
【解析】
连接BC，
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$，
即$\overset{\frown}{BAD}=\overset{\frown}{ABC}$。
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AC=BD$，其余选项均无法通过已知条件证明成立。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等弧对等弦、弧的和差运算
【点评】
本题属于圆性质的基础考查题，解题核心是通过弧的和差转化，将已知的等弧条件转化为待判断弦对应的等弧，熟练掌握弧、弦的对等关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合同圆中弧与弦的对应关系思考：首先明确同圆内相等的弧所对的弦相等，要判断选项中的线段是否相等，可先推导其对应弧是否相等。已知$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，我们可在两段等弧上同时加上公共弧$\overset{\frown}{AB}$，得到新的等弧，再对应到弦即可判断结论，其余选项无足够已知条件支撑，可直接排除。
【解析】
连接BC，
∵ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AB}$，
即$\overset{\frown}{BAD}=\overset{\frown}{ABC}$。
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$AC=BD$，其余选项均无法通过已知条件证明成立。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
等弧对等弦、弧的和差运算
【点评】
本题属于圆性质的基础考查题，解题核心是通过弧的和差转化，将已知的等弧条件转化为待判断弦对应的等弧，熟练掌握弧、弦的对等关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD所对圆心角的度数为（
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
B
）A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
答案
10. B 解析:如图,连接 OD,
∵ 扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠,点 O 恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点 D 处,折痕交 OA 于点 C,
∴ BC 垂直平分 OD,
∴ BD=BO.
∵ OB=OD,
∴ △OBD 为等边三角形,
∴ ∠DOB=60°,
∴ ∠AOD=∠AOB-∠DOB=110°-60°=50°,
∴ $\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数为 50°,故选 B.
解析
【分析】
要求弧AD所对的圆心角度数，本质是求∠AOD的度数，已知∠AOB=110°，因此只需先求出∠DOB的度数即可。遇到折叠类问题首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。因此我们可以先连接辅助线OD，结合扇形半径处处相等的性质，判断△OBD的形状，进而求出∠DOB的度数，最后作角度差即可得到∠AOD的数值。
【解析】
解：如图，连接OD，
∵ 扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处，折痕交OA于点C，
∴ BC垂直平分OD，
∴ BD=BO。
又
∵ OB、OD都是扇形OAB的半径，
∴ OB=OD，
∴ OB=OD=BD，即△OBD为等边三角形，
∴ ∠DOB=60°，
∴ ∠AOD=∠AOB-∠DOB=110°-60°=50°，
即$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数为50°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.折叠的性质 2.等边三角形的判定与性质 3.圆心角的定义
【点评】
本题将折叠变换和扇形的性质结合考查，解题的核心是正确作出辅助线OD，借助等边三角形的性质求出∠DOB的度数，能够有效考查学生对图形变换性质和基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求弧AD所对的圆心角度数，本质是求∠AOD的度数，已知∠AOB=110°，因此只需先求出∠DOB的度数即可。遇到折叠类问题首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边相等，折痕是对应点连线的垂直平分线。因此我们可以先连接辅助线OD，结合扇形半径处处相等的性质，判断△OBD的形状，进而求出∠DOB的度数，最后作角度差即可得到∠AOD的数值。
【解析】
解：如图，连接OD，
∵ 扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处，折痕交OA于点C，
∴ BC垂直平分OD，
∴ BD=BO。
又
∵ OB、OD都是扇形OAB的半径，
∴ OB=OD，
∴ OB=OD=BD，即△OBD为等边三角形，
∴ ∠DOB=60°，
∴ ∠AOD=∠AOB-∠DOB=110°-60°=50°，
即$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数为50°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.折叠的性质 2.等边三角形的判定与性质 3.圆心角的定义
【点评】
本题将折叠变换和扇形的性质结合考查，解题的核心是正确作出辅助线OD，借助等边三角形的性质求出∠DOB的度数，能够有效考查学生对图形变换性质和基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
11. ★★★ 把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧BC的度数是
150°
。答案
11. 150° 解析:如图所示,连接 BO,过点 O 作 OE ⊥ AB 于点 E,设圆的半径为 r,由题意可得 OE=$\frac{1}{2}r$,AB // CD,
∴ OE = $\frac{1}{2}OB$,
∴ ∠OBE=30°,
∴ ∠BOD=∠OBE=30°,
∴ ∠BOC=180°-∠BOD=150°,
∴ 弧 BC 的度数是 150°,故答案为 150°.
解析
【分析】
解决本题首先结合折叠的性质分析图形特征：两次折叠后，折痕AB与直径CD平行，且圆心O到AB的距离等于半径的一半。接下来通过作辅助线构造直角三角形：过O作AB的垂线，连接OB，利用直角三角形中“若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°”的性质求出∠OBE的度数，再结合平行线的性质得到∠BOD的度数，最后根据平角的定义求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，结合“弧的度数等于它所对圆心角的度数”即可得到结果。
【解析】
如图所示，连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，设圆的半径为r。
由折叠的性质可得：$OE=\frac{1}{2}r$，且$AB// CD$。
在$Rt△ OEB$中，$OB=r$，因此$OE=\frac{1}{2}OB$，可得$∠ OBE=30°$。
因为$AB// CD$，根据平行线内错角相等，得$∠ BOD=∠ OBE=30°$。
所以$∠ BOC=180°-∠ BOD=180°-30°=150°$。
由于弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此弧BC的度数是$150°$。
【答案】
$150°$
【知识点】
折叠的性质，直角三角形的性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题将折叠变换与圆的性质结合考查，解题的突破口是根据折叠的特征得出圆心到折痕的距离与半径的数量关系，再结合直角三角形、平行线的性质求解圆心角，能够很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解决本题首先结合折叠的性质分析图形特征：两次折叠后，折痕AB与直径CD平行，且圆心O到AB的距离等于半径的一半。接下来通过作辅助线构造直角三角形：过O作AB的垂线，连接OB，利用直角三角形中“若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的角为30°”的性质求出∠OBE的度数，再结合平行线的性质得到∠BOD的度数，最后根据平角的定义求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数，结合“弧的度数等于它所对圆心角的度数”即可得到结果。
【解析】
如图所示，连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，设圆的半径为r。
由折叠的性质可得：$OE=\frac{1}{2}r$，且$AB// CD$。
在$Rt△ OEB$中，$OB=r$，因此$OE=\frac{1}{2}OB$，可得$∠ OBE=30°$。
因为$AB// CD$，根据平行线内错角相等，得$∠ BOD=∠ OBE=30°$。
所以$∠ BOC=180°-∠ BOD=180°-30°=150°$。
由于弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此弧BC的度数是$150°$。
【答案】
$150°$
【知识点】
折叠的性质，直角三角形的性质，圆心角与弧的关系
【点评】
本题将折叠变换与圆的性质结合考查，解题的突破口是根据折叠的特征得出圆心到折痕的距离与半径的数量关系，再结合直角三角形、平行线的性质求解圆心角，能够很好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12. ★★★ 如图,点 C 是直径 AB 的三等分点(AC＜CB),点 D 是弧 ADB 的三等分点($\overset{\frown}{BD}$＜$\overset{\frown}{AD}$),若直径 AB=12,则 DC 的长为
(第 12 题)
(第 13 题)
$2\sqrt{13}$
.(第 12 题)
(第 13 题)
答案
12. $2\sqrt{13}$ 解析:如图,过 D 作 DE ⊥ AB 于 E,则 ∠DEC=90°.
∵ 点 C 是直径 AB 的三等分点(AC＜CB),直径 AB=12,
∴ AC=4,BC=8,OD=OA=OB=6,
∴ CO=2.
∵ 点 D 是弧 ADB 的三等分点($\overset{\frown}{BD}＜\overset{\frown}{AD}$),
∴ ∠DOB=$\frac{1}{3}×180°=60°$,
∴ ∠ODE=30°,
∴ OE = $\frac{1}{2}OD=3$, DE = $\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$,
∴ CE = OE + CO = 3 + 2 = 5,
∴ DC = $\sqrt{DE^2+CE^2}=2\sqrt{13}$.
解析
【分析】
要求DC的长度，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解。首先过点D作AB的垂线DE，将DC放在直角三角形DEC中计算：第一步根据AB的长度和C是直径三等分点，求出OC的长度；第二步根据D是半圆的三等分点，求出圆心角∠DOB的度数，再在直角三角形ODE中求出OE和DE的长度；第三步求出CE的长度，最后用勾股定理算出DC的长度。
【解析】
过D作DE⊥AB于E，则∠DEC=90°。
∵ 点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），直径AB=12，
∴ AC=$\frac{1}{3}$AB=4，圆的半径$OD=OA=OB=\frac{1}{2}AB=6$，
∴ $CO=OA-AC=6-4=2$。
∵ 点D是弧ADB的三等分点（$\overset{\frown}{BD}$＜$\overset{\frown}{AD}$），弧ADB是半圆，对应平角180°，
∴ $∠ DOB=\frac{1}{3}×180°=60°$。
在Rt△ODE中，$∠ ODE=90°-∠ DOB=30°$，
∴ $OE=\frac{1}{2}OD=3$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
∴ $CE=CO+OE=2+3=5$，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：$DC=\sqrt{DE^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{27+25}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
弧与圆心角的关系，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础计算题，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将未知线段转化为直角三角形的斜边进行求解，需要学生熟练掌握圆的基本性质和直角三角形的相关计算方法，能有效考查学生的几何综合运算能力。
【难度系数】
0.6
要求DC的长度，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解。首先过点D作AB的垂线DE，将DC放在直角三角形DEC中计算：第一步根据AB的长度和C是直径三等分点，求出OC的长度；第二步根据D是半圆的三等分点，求出圆心角∠DOB的度数，再在直角三角形ODE中求出OE和DE的长度；第三步求出CE的长度，最后用勾股定理算出DC的长度。
【解析】
过D作DE⊥AB于E，则∠DEC=90°。
∵ 点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），直径AB=12，
∴ AC=$\frac{1}{3}$AB=4，圆的半径$OD=OA=OB=\frac{1}{2}AB=6$，
∴ $CO=OA-AC=6-4=2$。
∵ 点D是弧ADB的三等分点（$\overset{\frown}{BD}$＜$\overset{\frown}{AD}$），弧ADB是半圆，对应平角180°，
∴ $∠ DOB=\frac{1}{3}×180°=60°$。
在Rt△ODE中，$∠ ODE=90°-∠ DOB=30°$，
∴ $OE=\frac{1}{2}OD=3$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。
∴ $CE=CO+OE=2+3=5$，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：$DC=\sqrt{DE^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{27+25}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
弧与圆心角的关系，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础计算题，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将未知线段转化为直角三角形的斜边进行求解，需要学生熟练掌握圆的基本性质和直角三角形的相关计算方法，能有效考查学生的几何综合运算能力。
【难度系数】
0.6
13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=70°$,$\odot O$截三边所得的弦长$DE=FG=HI$,则$∠ AOC=$
125
度.答案
13. 125 解析:过点 O 作 OM ⊥ DE 于 M,OK ⊥ FG 于 K,OP ⊥ HI 于 P,如图.
∵ DE = FG = HI,
∴ OM = OK = OP,
∴ AO 平分 ∠BAC,CO 平分 ∠ACB,
∴ ∠OAC + ∠OCA = $\frac{1}{2}$( ∠BAC + ∠ACB ) = $\frac{1}{2}(180°-∠B)=90°-\frac{1}{2}∠B=90°-\frac{1}{2}×70°=55°$,
∴ ∠AOC=180°-( ∠OAC+∠OCA )=180°-55°=125°.
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件“⊙O截三边所得的弦长DE=FG=HI”，回忆圆中弦长与弦心距的关系：在同圆中，相等的弦对应的弦心距相等，因此可推出点O到△ABC三边的距离相等。根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，即O是△ABC的内心。接下来利用三角形内角和定理，先求出∠BAC与∠ACB的和，再计算出∠OAC与∠OCA的和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠AOC的度数。
【解析】
过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图所示。
∵ 在同圆⊙O中，弦DE = FG = HI，
∴ 三条弦对应的弦心距相等，即OM = OK = OP，
∴ 点O在∠BAC的平分线上，也在∠ACB的平分线上，即AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，
∴ $∠ OAC + ∠ OCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ACB)$，
∵ 在△ABC中，$∠ BAC + ∠ ACB = 180° - ∠ B = 180° - 70° = 110°$，
∴ $∠ OAC + ∠ OCA = \frac{1}{2} × 110° = 55°$，
在△AOC中，$∠ AOC = 180° - (∠ OAC + ∠ OCA) = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
125
【知识点】
弦与弦心距的关系；角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题将圆的性质与三角形角平分线、内角和知识相结合，解题的突破口是由等弦推导出弦心距相等，进而判断出点O是三角形的内心，解题时要注意对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件“⊙O截三边所得的弦长DE=FG=HI”，回忆圆中弦长与弦心距的关系：在同圆中，相等的弦对应的弦心距相等，因此可推出点O到△ABC三边的距离相等。根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，即O是△ABC的内心。接下来利用三角形内角和定理，先求出∠BAC与∠ACB的和，再计算出∠OAC与∠OCA的和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠AOC的度数。
【解析】
过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图所示。
∵ 在同圆⊙O中，弦DE = FG = HI，
∴ 三条弦对应的弦心距相等，即OM = OK = OP，
∴ 点O在∠BAC的平分线上，也在∠ACB的平分线上，即AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，
∴ $∠ OAC + ∠ OCA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ACB)$，
∵ 在△ABC中，$∠ BAC + ∠ ACB = 180° - ∠ B = 180° - 70° = 110°$，
∴ $∠ OAC + ∠ OCA = \frac{1}{2} × 110° = 55°$，
在△AOC中，$∠ AOC = 180° - (∠ OAC + ∠ OCA) = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
125
【知识点】
弦与弦心距的关系；角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题将圆的性质与三角形角平分线、内角和知识相结合，解题的突破口是由等弦推导出弦心距相等，进而判断出点O是三角形的内心，解题时要注意对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
14. 如图，$∠ AOB=90°$，$C,D$是以$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，连接$AB$分别交$OC,OD$于点$E,F$.求证：$AE=BF=CD$.
答案
14. 如图,连接 AC,BD,
∵ 在$\odot O$中,OA ⊥ OB,C,D 是以 O 为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×90°=30°$.
∵ OA=OC,
∴ ∠ACE=75°.
∵ OA=OB,
∴ ∠OAB=∠OBA=45°,
∴ ∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°,
∴ ∠ACE=∠AEC,
∴ AC=AE. 同理 BF = BD.
∵ C,D 是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,
∴ AC=CD=BD,
∴ AE=BF=CD.
解析
【分析】
我们的目标是证明$AE=BF=CD$，首先根据C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，由圆的性质可知等弧对应的弦相等，可得$AC=CD=BD$，因此只需再证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。要证明两条线段相等，可通过证明它们所在三角形为等腰三角形，即对应底角相等。我们先根据三等分点求出各圆心角的度数，再结合等腰直角$△ OAB$的内角度数，利用三角形外角性质和等腰三角形内角和计算对应角的度数，即可得到$AC=AE$，同理可证$BF=BD$，最终推导得到三条线段相等的结论。
【解析】
证明：连接$AC$，$BD$，
∵ 在$\odot O$中，$OA ⊥ OB$，$C$，$D$是以$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $∠ AOC = \frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×90°=30°$。
∵ $OA=OC$，
∴ $∠ OAC=∠ OCA=\frac{180°-30°}{2}=75°$，即$∠ ACE=75°$。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=90°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=45°$，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=45°+30°=75°$，
∴ $∠ ACE=∠ AEC$，
∴ $AC=AE$。
同理可证$BF = BD$。
∵ $C$，$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
【答案】
如图,连接 AC,BD,
∵ 在$\odot O$中,OA ⊥ OB,C,D 是以 O 为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×90°=30°$.
∵ OA=OC,
∴ ∠ACE=75°.
∵ OA=OB,
∴ ∠OAB=∠OBA=45°,
∴ ∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°,
∴ ∠ACE=∠AEC,
∴ AC=AE. 同理 BF = BD.
∵ C,D 是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,
∴ AC=CD=BD,
∴ AE=BF=CD.
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的典型题，解题的关键是添加辅助线$AC$、$BD$，将待证线段转化为等弧对应的弦，再通过角度推导利用等角对等边证明线段相等，有助于提升对圆的基本性质和三角形角度计算的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
我们的目标是证明$AE=BF=CD$，首先根据C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，由圆的性质可知等弧对应的弦相等，可得$AC=CD=BD$，因此只需再证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。要证明两条线段相等，可通过证明它们所在三角形为等腰三角形，即对应底角相等。我们先根据三等分点求出各圆心角的度数，再结合等腰直角$△ OAB$的内角度数，利用三角形外角性质和等腰三角形内角和计算对应角的度数，即可得到$AC=AE$，同理可证$BF=BD$，最终推导得到三条线段相等的结论。
【解析】
证明：连接$AC$，$BD$，
∵ 在$\odot O$中，$OA ⊥ OB$，$C$，$D$是以$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $∠ AOC = \frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×90°=30°$。
∵ $OA=OC$，
∴ $∠ OAC=∠ OCA=\frac{180°-30°}{2}=75°$，即$∠ ACE=75°$。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=90°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=45°$，
∴ $∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=45°+30°=75°$，
∴ $∠ ACE=∠ AEC$，
∴ $AC=AE$。
同理可证$BF = BD$。
∵ $C$，$D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $AC=CD=BD$，
∴ $AE=BF=CD$。
【答案】
如图,连接 AC,BD,
∵ 在$\odot O$中,OA ⊥ OB,C,D 是以 O 为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,
∴ ∠AOC = $\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×90°=30°$.
∵ OA=OC,
∴ ∠ACE=75°.
∵ OA=OB,
∴ ∠OAB=∠OBA=45°,
∴ ∠AEC=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°,
∴ ∠ACE=∠AEC,
∴ AC=AE. 同理 BF = BD.
∵ C,D 是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,
∴ AC=CD=BD,
∴ AE=BF=CD.
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 等腰三角形的判定与性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的典型题，解题的关键是添加辅助线$AC$、$BD$，将待证线段转化为等弧对应的弦，再通过角度推导利用等角对等边证明线段相等，有助于提升对圆的基本性质和三角形角度计算的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
15. ★★ |原创题 如图所示的形状是一个圆中的“竹蜻蜓”，它是画出$\odot O$的两条长度相等的弦$AB$，$CD$交于点$E$，再连接$AC$，$BD$，$EO$得到的.
(1)求证：$EO$平分$∠ AED$.
(2)若圆$O$的半径为$2$，$AE=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$，$CE=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，求$OE$的长.
(1)求证：$EO$平分$∠ AED$.
(2)若圆$O$的半径为$2$，$AE=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$，$CE=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，求$OE$的长.
答案
15. (1)如图①,连接 OA,OB,OC,OD,AD.
∵ AB = CD,
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴ AC = BD. 在 △ACD 和 △DBA 中, $\begin{cases} AC=DB, \\ CD=BA, \\ AD=DA, \end{cases}$故 △ACD ≌ △DBA( SSS ). 故 ∠CDA = ∠BAD,故 AE=DE. 从而在△AOE 和△DOE 中, $\begin{cases} OA=OD, \\ OE=OE, \\ AE=DE, \end{cases}$故 △AOE≌△DOE( SSS ),故 ∠AEO = ∠DEO,从而 EO 平分 ∠AED.
(2)由(1)和已知条件,得 CE=BE,
∴ AB = CD = $2\sqrt{2}$.
∵ OA = OB = OC = OD = 2, 从而由勾股定理的逆定理,得 △AOB,△COD 是等腰直角三角形.如图②,作 OF ⊥ AB 交 AB 于点 F.则 AF = OF = $\sqrt{2}$, EF = AE - AF = $2\sqrt{2}-\sqrt{6}$. 从而 OE = $\sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{2+14-8\sqrt{3}}=2\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-2$.
解析
【分析】
(1) 要证明EO平分∠AED，即证∠AEO=∠DEO，可通过证明△AOE≌△DOE实现：首先利用同圆中等弦对等弧的性质，由AB=CD推出弧AB=弧CD，进而得到弧AC=弧BD，得AC=BD；再通过SSS证明△ACD≌△DBA，推出∠CDA=∠BAD，得到AE=DE；最后结合OA=OD、公共边OE，用SSS证△AOE≌△DOE即可得角相等。
(2) 由(1)的结论可得CE=BE，先计算弦AB的总长度，结合半径长度用勾股定理逆定理判断△AOB为等腰直角三角形；再过圆心作AB的垂线，利用垂径定理求出弦心距OF和线段EF的长度，最后用勾股定理计算OE的长，注意根式的化简。
【解析】
(1) 证明：如图①，连接OA，OB，OC，OD，AD。
∵ AB = CD，同圆中等弦对等弧，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ AC = BD。
在 △ACD 和 △DBA 中：
$\begin{cases} AC=DB, \\ CD=BA, \\ AD=DA, \end{cases}$
∴ △ACD ≌ △DBA（SSS），
∴ ∠CDA = ∠BAD，
∴ AE=DE。
在△AOE 和△DOE 中：
$\begin{cases} OA=OD, \\ OE=OE, \\ AE=DE, \end{cases}$
∴ △AOE≌△DOE（SSS），
∴ ∠AEO = ∠DEO，即EO平分∠AED。
(2) 解：由(1)可知AE=DE，又
∵AB=CD，
∴AB-AE=CD-DE，即CE=BE，
∴ AB = AE + BE = AE + CE = $(3\sqrt{2}-\sqrt{6})+(\sqrt{6}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$。
∵ OA = OB = 2，
∴ $OA^2+OB^2=2^2+2^2=8$，$AB^2=(2\sqrt{2})^2=8$，
∴ $OA^2+OB^2=AB^2$，即△AOB是等腰直角三角形，同理△COD也是等腰直角三角形。
如图②，作 OF ⊥ AB 交 AB 于点F，由垂径定理得AF=FB=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，
等腰直角三角形AOB中，斜边上的高OF=AF=$\sqrt{2}$，
EF = AE - AF = $(3\sqrt{2}-\sqrt{6})-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$，
在Rt△OFE中，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2}-\sqrt{6})^2}=\sqrt{2+(8-8\sqrt{3}+6)}=\sqrt{16-8\sqrt{3}}=2\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=2\sqrt{3}-2$。
【答案】
(1) EO平分$∠ AED$，证明成立；
(2) $OE=2\sqrt{3}-2$
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 勾股定理及逆定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、全等三角形的判定和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握同圆中弦与弧的等量转换，作弦的垂线是圆中求解线段长度的常用辅助线方法，第二问的根式化简需要注意算术平方根的非负性。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明EO平分∠AED，即证∠AEO=∠DEO，可通过证明△AOE≌△DOE实现：首先利用同圆中等弦对等弧的性质，由AB=CD推出弧AB=弧CD，进而得到弧AC=弧BD，得AC=BD；再通过SSS证明△ACD≌△DBA，推出∠CDA=∠BAD，得到AE=DE；最后结合OA=OD、公共边OE，用SSS证△AOE≌△DOE即可得角相等。
(2) 由(1)的结论可得CE=BE，先计算弦AB的总长度，结合半径长度用勾股定理逆定理判断△AOB为等腰直角三角形；再过圆心作AB的垂线，利用垂径定理求出弦心距OF和线段EF的长度，最后用勾股定理计算OE的长，注意根式的化简。
【解析】
(1) 证明：如图①，连接OA，OB，OC，OD，AD。
∵ AB = CD，同圆中等弦对等弧，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{BC}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ AC = BD。
在 △ACD 和 △DBA 中：
$\begin{cases} AC=DB, \\ CD=BA, \\ AD=DA, \end{cases}$
∴ △ACD ≌ △DBA（SSS），
∴ ∠CDA = ∠BAD，
∴ AE=DE。
在△AOE 和△DOE 中：
$\begin{cases} OA=OD, \\ OE=OE, \\ AE=DE, \end{cases}$
∴ △AOE≌△DOE（SSS），
∴ ∠AEO = ∠DEO，即EO平分∠AED。
(2) 解：由(1)可知AE=DE，又
∵AB=CD，
∴AB-AE=CD-DE，即CE=BE，
∴ AB = AE + BE = AE + CE = $(3\sqrt{2}-\sqrt{6})+(\sqrt{6}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$。
∵ OA = OB = 2，
∴ $OA^2+OB^2=2^2+2^2=8$，$AB^2=(2\sqrt{2})^2=8$，
∴ $OA^2+OB^2=AB^2$，即△AOB是等腰直角三角形，同理△COD也是等腰直角三角形。
如图②，作 OF ⊥ AB 交 AB 于点F，由垂径定理得AF=FB=$\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，
等腰直角三角形AOB中，斜边上的高OF=AF=$\sqrt{2}$，
EF = AE - AF = $(3\sqrt{2}-\sqrt{6})-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$，
在Rt△OFE中，由勾股定理得：
$OE = \sqrt{OF^2+EF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2}-\sqrt{6})^2}=\sqrt{2+(8-8\sqrt{3}+6)}=\sqrt{16-8\sqrt{3}}=2\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=2\sqrt{3}-2$。
【答案】
(1) EO平分$∠ AED$，证明成立；
(2) $OE=2\sqrt{3}-2$
【知识点】
1. 圆心角、弧、弦的关系
2. 全等三角形的判定与性质
3. 勾股定理及逆定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、全等三角形的判定和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握同圆中弦与弧的等量转换，作弦的垂线是圆中求解线段长度的常用辅助线方法，第二问的根式化简需要注意算术平方根的非负性。
【难度系数】
0.6
