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1. 下列图形中，$∠ AOB$为圆心角的是（
C
）答案
1. C 解析:根据圆心角定义可知:A.顶点O不是圆心,不符合题意;B.顶点O不是圆心,不符合题意;C. $∠ AOB$顶点是圆心,两边与圆相交,符合题意;D.顶点O不是圆心,不符合题意.故选C.
解析
【分析】
要判断∠AOB是否为圆心角，首先要明确圆心角的判定标准：顶点必须在圆心，且角的两条边都和圆相交。解题时我们只需对照这个标准，逐个分析选项中的角是否同时满足两个条件即可。
【解析】
根据圆心角的定义逐一判断选项：
A. ∠AOB的顶点O不是圆心，不符合圆心角的要求，排除；
B. ∠AOB的顶点O不是圆心，不符合圆心角的要求，排除；
C. ∠AOB的顶点O是圆心，且两边OA、OB都与圆相交，完全符合圆心角的定义，符合题意；
D. ∠AOB的顶点O不是圆心，不符合圆心角的要求，排除。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对圆心角定义的记忆与理解，熟练掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断∠AOB是否为圆心角，首先要明确圆心角的判定标准：顶点必须在圆心，且角的两条边都和圆相交。解题时我们只需对照这个标准，逐个分析选项中的角是否同时满足两个条件即可。
【解析】
根据圆心角的定义逐一判断选项：
A. ∠AOB的顶点O不是圆心，不符合圆心角的要求，排除；
B. ∠AOB的顶点O不是圆心，不符合圆心角的要求，排除；
C. ∠AOB的顶点O是圆心，且两边OA、OB都与圆相交，完全符合圆心角的定义，符合题意；
D. ∠AOB的顶点O不是圆心，不符合圆心角的要求，排除。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对圆心角定义的记忆与理解，熟练掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. ★★ 如图,已知⊙O中,直径AB平分弦CD,且交CD于点E,如果OE=BE,那么弦CD所对的圆心角是
120
°。答案
2. 120 解析:连接OC,BC,OD.
∵ 直径AB平分弦CD,OE=BE,
∴ OC=BC=OB,
∴ △OCB是等边三角形,
∴ ∠COB=60°,
∴ ∠COD=120°.即弦CD所对的圆心角是120°.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“直径AB平分弦CD”入手，结合垂径定理可推出AB⊥CD；再根据OE=BE，可知CD是OB的垂直平分线，由此得到OC=BC；结合圆的半径相等，可判定△OCB为等边三角形，得到∠COB=60°，同理可得∠DOB=60°，两个角求和即可得到弦CD所对的圆心角的度数。
【解析】
解：连接OC、BC、OD。
∵ 直径AB平分弦CD，
∴ AB⊥CD（垂径定理），
又
∵ OE=BE，
∴ CD垂直平分OB，
∴ OC=BC。
∵ OC、OB均为⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ OC=OB=BC，即△OCB是等边三角形，
∴ ∠COB=60°，
同理可得∠DOB=60°，
∴ ∠COD=∠COB+∠DOB=60°+60°=120°。
【答案】
120
【知识点】
垂径定理；等边三角形的判定与性质；圆心角计算
【点评】
本题属于圆性质的基础应用类题目，核心考查垂径定理和等边三角形相关知识的结合运用，解题关键是通过线段垂直平分线的性质推出等边三角形，进而求出圆心角的度数，能有效考查学生对基础定理的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件“直径AB平分弦CD”入手，结合垂径定理可推出AB⊥CD；再根据OE=BE，可知CD是OB的垂直平分线，由此得到OC=BC；结合圆的半径相等，可判定△OCB为等边三角形，得到∠COB=60°，同理可得∠DOB=60°，两个角求和即可得到弦CD所对的圆心角的度数。
【解析】
解：连接OC、BC、OD。
∵ 直径AB平分弦CD，
∴ AB⊥CD（垂径定理），
又
∵ OE=BE，
∴ CD垂直平分OB，
∴ OC=BC。
∵ OC、OB均为⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ OC=OB=BC，即△OCB是等边三角形，
∴ ∠COB=60°，
同理可得∠DOB=60°，
∴ ∠COD=∠COB+∠DOB=60°+60°=120°。
【答案】
120
【知识点】
垂径定理；等边三角形的判定与性质；圆心角计算
【点评】
本题属于圆性质的基础应用类题目，核心考查垂径定理和等边三角形相关知识的结合运用，解题关键是通过线段垂直平分线的性质推出等边三角形，进而求出圆心角的度数，能有效考查学生对基础定理的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 下列说法正确的是（
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等
C.在同圆中,相等的弦所对的弧相等
D.相等的弦所对的弧相等
B
）A.相等的圆心角所对的弧相等
B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等
C.在同圆中,相等的弦所对的弧相等
D.相等的弦所对的弧相等
答案
3. B 解析:A错误,在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,本选项不符合题意. B 正确.C错误,弦所对的弧有两条,不一定相等,本选项不符合题意.D错误,相等的弦所对的弧不一定相等.故选 B.
解析
【分析】
本题考查圆心角、弧、弦之间的关系辨析，解题时需牢记三类量的对应关系成立的前提是“在同圆或等圆中”，同时注意一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），逐个验证选项即可：先判断各选项是否满足同圆或等圆的前提，再判断对应关系是否成立，排除错误选项得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：相等的圆心角所对的弧相等，缺少“同圆或等圆”的前提条件，半径不同的圆中相等的圆心角对应的弧长不相等，故A错误；
B选项：在同圆中，等弧所对的圆心角相等，等弧本身只能存在于同圆或等圆中，因此等弧对应的圆心角必然相等，故B正确；
C选项：在同圆中，相等的弦所对的弧相等，一条弦对应优弧和劣弧两条弧，除非弦是直径，否则相等的弦对应的优弧和劣弧不一定都相等，故C错误；
D选项：相等的弦所对的弧相等，既缺少“同圆或等圆”的前提，也没有考虑弦对应两条弧的情况，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角弧弦关系
2.弧的分类
3.同圆等圆性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于容易忽略“同圆或等圆”的前提条件，以及忘记一条弦对应两条不同的弧，掌握相关概念的成立前提即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
本题考查圆心角、弧、弦之间的关系辨析，解题时需牢记三类量的对应关系成立的前提是“在同圆或等圆中”，同时注意一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），逐个验证选项即可：先判断各选项是否满足同圆或等圆的前提，再判断对应关系是否成立，排除错误选项得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：相等的圆心角所对的弧相等，缺少“同圆或等圆”的前提条件，半径不同的圆中相等的圆心角对应的弧长不相等，故A错误；
B选项：在同圆中，等弧所对的圆心角相等，等弧本身只能存在于同圆或等圆中，因此等弧对应的圆心角必然相等，故B正确；
C选项：在同圆中，相等的弦所对的弧相等，一条弦对应优弧和劣弧两条弧，除非弦是直径，否则相等的弦对应的优弧和劣弧不一定都相等，故C错误；
D选项：相等的弦所对的弧相等，既缺少“同圆或等圆”的前提，也没有考虑弦对应两条弧的情况，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角弧弦关系
2.弧的分类
3.同圆等圆性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于容易忽略“同圆或等圆”的前提条件，以及忘记一条弦对应两条不同的弧，掌握相关概念的成立前提即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
4. ★★ | 教材P20练习T1变式 如图,在$\odot O$中,AB,CD是两条弦,$OM ⊥ CD,ON ⊥ AB$,如果AB=CD,则下列结论不正确的是 (
A.$∠ AON=∠ DOM$
B.$AN=DM$
C.$OM=DM$
D.$OM=ON$
C
)A.$∠ AON=∠ DOM$
B.$AN=DM$
C.$OM=DM$
D.$OM=ON$
答案
4. C 解析:
∵ AB = CD, OA = OD, OB = OC,
∴ △OAB ≌ △ODC( SSS ),
∴ ∠AOB = ∠DOC.
∵ OM ⊥ CD, ON ⊥ AB,
∴ OM=ON,DM=CM,AN=NB,
∴ AN = DM.
∵ OA = OD, ON = OM,
∴ Rt△AON≌Rt△DOM( HL ),
∴ ∠AON = ∠DOM,
∴ A,B,D 正确.故选 C.
∵ AB = CD, OA = OD, OB = OC,
∴ △OAB ≌ △ODC( SSS ),
∴ ∠AOB = ∠DOC.
∵ OM ⊥ CD, ON ⊥ AB,
∴ OM=ON,DM=CM,AN=NB,
∴ AN = DM.
∵ OA = OD, ON = OM,
∴ Rt△AON≌Rt△DOM( HL ),
∴ ∠AON = ∠DOM,
∴ A,B,D 正确.故选 C.
解析
【分析】
首先明确已知条件：在同圆$\odot O$中，弦$AB=CD$，$OM⊥ CD$、$ON⊥ AB$，$OM$、$ON$分别是弦$CD$、$AB$的弦心距。解题时可先根据同圆中相等的弦对应的弦心距相等，判断D选项；再结合垂径定理得到弦长的一半相等，判断B选项；最后通过证明直角三角形全等判断A选项，C选项没有对应的条件支撑，可判定错误。
【解析】
已知在$\odot O$中，$AB=CD$，$OA=OB=OC=OD$（同圆的半径相等）：
1. 先证$△ OAB ≌ △ ODC$：
$\because OA=OD, OB=OC, AB=CD$，
$\therefore △ OAB ≌ △ ODC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ DOC$。
2. 结合垂径定理分析：
$\because OM⊥ CD, ON⊥ AB$，
根据垂径定理，可得$DM=CM=\frac{1}{2}CD$，$AN=NB=\frac{1}{2}AB$，且相等的弦对应的弦心距相等，即$OM=ON$，故D选项正确。
$\because AB=CD$，$\therefore \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，即$AN=DM$，故B选项正确。
3. 证直角三角形全等：
在$\mathrm{Rt}△ AON$和$\mathrm{Rt}△ DOM$中，
$\{\begin{array}{l}OA=OD \\ON=OM\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ AON ≌ \mathrm{Rt}△ DOM(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ AON=∠ DOM$，故A选项正确。
4. 分析C选项：
题中没有给出$∠ ODM=45°$的条件，无法推出$OM=DM$，故C选项错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
弦与弦心距的关系，垂径定理，全等三角形判定
【点评】
本题是同圆中弦、弦心距相关性质的基础应用题，解题时要结合垂径定理、全等三角形的知识逐一验证选项，注意不要默认存在特殊角度推出不存在的线段相等关系。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：在同圆$\odot O$中，弦$AB=CD$，$OM⊥ CD$、$ON⊥ AB$，$OM$、$ON$分别是弦$CD$、$AB$的弦心距。解题时可先根据同圆中相等的弦对应的弦心距相等，判断D选项；再结合垂径定理得到弦长的一半相等，判断B选项；最后通过证明直角三角形全等判断A选项，C选项没有对应的条件支撑，可判定错误。
【解析】
已知在$\odot O$中，$AB=CD$，$OA=OB=OC=OD$（同圆的半径相等）：
1. 先证$△ OAB ≌ △ ODC$：
$\because OA=OD, OB=OC, AB=CD$，
$\therefore △ OAB ≌ △ ODC(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ DOC$。
2. 结合垂径定理分析：
$\because OM⊥ CD, ON⊥ AB$，
根据垂径定理，可得$DM=CM=\frac{1}{2}CD$，$AN=NB=\frac{1}{2}AB$，且相等的弦对应的弦心距相等，即$OM=ON$，故D选项正确。
$\because AB=CD$，$\therefore \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$，即$AN=DM$，故B选项正确。
3. 证直角三角形全等：
在$\mathrm{Rt}△ AON$和$\mathrm{Rt}△ DOM$中，
$\{\begin{array}{l}OA=OD \\ON=OM\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ AON ≌ \mathrm{Rt}△ DOM(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ AON=∠ DOM$，故A选项正确。
4. 分析C选项：
题中没有给出$∠ ODM=45°$的条件，无法推出$OM=DM$，故C选项错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
弦与弦心距的关系，垂径定理，全等三角形判定
【点评】
本题是同圆中弦、弦心距相关性质的基础应用题，解题时要结合垂径定理、全等三角形的知识逐一验证选项，注意不要默认存在特殊角度推出不存在的线段相等关系。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$∠ AOE=66°$，那么$∠ BOC=$
38°
。答案
5. 38° 解析:
∵ ∠AOE = 66°,
∴ ∠EOB = 180°-∠AOE = 114°.
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$,
∴ ∠BOC = ∠COD = ∠DOE = $\frac{1}{3}∠EOB=38°$.故答案为 38°.
∵ ∠AOE = 66°,
∴ ∠EOB = 180°-∠AOE = 114°.
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$,
∴ ∠BOC = ∠COD = ∠DOE = $\frac{1}{3}∠EOB=38°$.故答案为 38°.
解析
【分析】
解题思路：第一步，AB是$\odot O$的直径，根据直径对应的圆心角为平角，可得$∠ AOB=180°$，结合已知$∠ AOE=66°$，可先算出$∠ EOB$的度数；第二步，根据同圆中相等的弧对应的圆心角相等，已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，可知三个弧对应的圆心角相等，将$∠ EOB$三等分即可得到$∠ BOC$的度数。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$，
∵ $∠ AOE=66°$，
∴ $∠ EOB=∠ AOB-∠ AOE=180°-66°=114°$，
又
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
∴ $∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$，
∴ $∠ BOC=\frac{1}{3}∠ EOB=\frac{1}{3}×114°=38°$。
【答案】
$38°$
【知识点】
1. 平角的定义
2. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题考查同圆中圆心角和弧的对应关系，解题关键是先求出$∠ EOB$的度数，再结合等弧对等圆心角的性质计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路：第一步，AB是$\odot O$的直径，根据直径对应的圆心角为平角，可得$∠ AOB=180°$，结合已知$∠ AOE=66°$，可先算出$∠ EOB$的度数；第二步，根据同圆中相等的弧对应的圆心角相等，已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，可知三个弧对应的圆心角相等，将$∠ EOB$三等分即可得到$∠ BOC$的度数。
【解析】
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AOB=180°$，
∵ $∠ AOE=66°$，
∴ $∠ EOB=∠ AOB-∠ AOE=180°-66°=114°$，
又
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，同圆中相等的弧所对的圆心角相等，
∴ $∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$，
∴ $∠ BOC=\frac{1}{3}∠ EOB=\frac{1}{3}×114°=38°$。
【答案】
$38°$
【知识点】
1. 平角的定义
2. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题考查同圆中圆心角和弧的对应关系，解题关键是先求出$∠ EOB$的度数，再结合等弧对等圆心角的性质计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
6. ★★ 已知$\odot O$的直径为2，AB为$\odot O$的弦，且$AB=\sqrt{2}$，则$\overset{\frown}{AB}$所对圆心角的大小为
90
°.答案
6. 90 解析:如图,连接 OA,OB,作 OD ⊥ AB 于点 D.由题意可知,OA=1,AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$, 在Rt△OAD中,$\sin∠1=\frac{AD}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ ∠1=45°,
∴ ∠AOB=∠1+∠2=45°+45°=90°.则$\overset{\frown}{AB}$所对圆心角的大小为 90°.
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，首先明确圆心角的顶点在圆心，因此先连接OA、OB，得到待求的$∠ AOB$。已知$\odot O$的直径为2，可得半径$OA=OB=1$，又已知弦$AB=\sqrt{2}$，我们可以结合弦心距相关知识，作$OD ⊥ AB$，利用垂径定理得到AD的长度，再在直角三角形中通过三角函数求出半角的度数，最终得到$∠ AOB$的大小。
【解析】
如图，连接OA，OB，作$OD ⊥ AB$于点D。
∵ $\odot O$的直径为2，
∴ 半径$OA=OB=1$。
∵ $OD ⊥ AB$，根据垂径定理，D是AB的中点，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在$Rt△ OAD$中，$\sin∠1=\frac{AD}{OA}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $∠1=45°$。
∵ $OA=OB$，$OD ⊥ AB$，由等腰三角形三线合一可知OD平分$∠ AOB$，
∴ $∠2=∠1=45°$，
∴ $∠ AOB=∠1+∠2=90°$。
【答案】
90
【知识点】
垂径定理、解直角三角形、圆心角定义
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查垂径定理的应用，解题关键是通过作弦心距构造直角三角形，结合三角函数或等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握圆中弦、弦心距、半径的数量关系是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角，首先明确圆心角的顶点在圆心，因此先连接OA、OB，得到待求的$∠ AOB$。已知$\odot O$的直径为2，可得半径$OA=OB=1$，又已知弦$AB=\sqrt{2}$，我们可以结合弦心距相关知识，作$OD ⊥ AB$，利用垂径定理得到AD的长度，再在直角三角形中通过三角函数求出半角的度数，最终得到$∠ AOB$的大小。
【解析】
如图，连接OA，OB，作$OD ⊥ AB$于点D。
∵ $\odot O$的直径为2，
∴ 半径$OA=OB=1$。
∵ $OD ⊥ AB$，根据垂径定理，D是AB的中点，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
在$Rt△ OAD$中，$\sin∠1=\frac{AD}{OA}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ $∠1=45°$。
∵ $OA=OB$，$OD ⊥ AB$，由等腰三角形三线合一可知OD平分$∠ AOB$，
∴ $∠2=∠1=45°$，
∴ $∠ AOB=∠1+∠2=90°$。
【答案】
90
【知识点】
垂径定理、解直角三角形、圆心角定义
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心考查垂径定理的应用，解题关键是通过作弦心距构造直角三角形，结合三角函数或等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握圆中弦、弦心距、半径的数量关系是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.7
7. |教材P26习题T10变式 如图所示,点C在$\odot O$上,$CD ⊥ OA$于点D,$CE ⊥ OB$于点E,$OD=OE$.求证:点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
答案
7. 连接 CO,
∵ CD ⊥ OA,CE ⊥ OB,
∴ ∠CDO = ∠CEO = 90°.在 Rt △CDO 与 Rt △CEO 中, $\begin{cases} OD=OE, \\ CO=CO, \end{cases}$
∴ Rt △CDO ≌ Rt△CEO( HL ),
∴ ∠AOC = ∠BOC,
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$.即点 C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
∵ CD ⊥ OA,CE ⊥ OB,
∴ ∠CDO = ∠CEO = 90°.在 Rt △CDO 与 Rt △CEO 中, $\begin{cases} OD=OE, \\ CO=CO, \end{cases}$
∴ Rt △CDO ≌ Rt△CEO( HL ),
∴ ∠AOC = ∠BOC,
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$.即点 C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
解析
【分析】
要证明点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证$∠ AOC=∠ BOC$即可。已知$CD⊥ OA$、$CE⊥ OB$，可得$△ CDO$和$△ CEO$均为直角三角形，结合已知$OD=OE$，且两个三角形有公共斜边$OC$，可通过HL判定两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到$∠ AOC=∠ BOC$，进而推出对应弧相等，完成证明。
【解析】
证明：连接$CO$，
$\because CD ⊥ OA$，$CE ⊥ OB$，
$\therefore ∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$与$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases} OD=OE, \\ CO=CO, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，即点$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点。
【答案】
点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，证明过程如上。
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）；2. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，将证明弧中点的问题转化为证明对应圆心角相等的问题，熟练掌握全等三角形的判定和同圆中圆心角、弧的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要证明点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证$∠ AOC=∠ BOC$即可。已知$CD⊥ OA$、$CE⊥ OB$，可得$△ CDO$和$△ CEO$均为直角三角形，结合已知$OD=OE$，且两个三角形有公共斜边$OC$，可通过HL判定两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到$∠ AOC=∠ BOC$，进而推出对应弧相等，完成证明。
【解析】
证明：连接$CO$，
$\because CD ⊥ OA$，$CE ⊥ OB$，
$\therefore ∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$与$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases} OD=OE, \\ CO=CO, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，即点$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点。
【答案】
点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，证明过程如上。
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）；2. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是合理添加辅助线构造全等三角形，将证明弧中点的问题转化为证明对应圆心角相等的问题，熟练掌握全等三角形的判定和同圆中圆心角、弧的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
8. ★★★ (2025·贵阳期中)如图，AB为$\odot O$的弦，半径OC,OD分别交AB于点E,F，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$。
(1)求证:$AE=BF$；
(2)作半径$ON ⊥ AB$于点M，若$AB=12$，$MN=3$，求OM的长.
(1)求证:$AE=BF$；
(2)作半径$ON ⊥ AB$于点M，若$AB=12$，$MN=3$，求OM的长.
答案
8. (1)连接 OA,OB,如图①所示.
∵ OA = OB,
∴ ∠A = ∠B.
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠AOE = ∠BOF. 在 △AOE 和 △BOF 中, $\begin{cases} ∠A=∠B, \\ OA=OB, \\ ∠AOE=∠BOF, \end{cases}$
∴ △AOE ≌ △BOF( ASA ),
∴ AE = BF.
(2)连接 OA,如图②所示,
∵ OM ⊥ AB,
∴ AM = $\frac{1}{2}AB=6$.设 OM=x,则 OA=ON=x+3.在 Rt △AOM 中,由勾股定理得,$6^2+x^2=(x+3)^2$,解得 x=4.5,
∴ OM=4.5.
解析
【分析】
(1) 要证明$AE=BF$，可通过证明两线段所在的$△ AOE$和$△ BOF$全等实现。首先连接$OA$、$OB$，利用同圆半径相等得到$OA=OB$，推出$∠ OAE=∠ OBF$；再根据同圆中等弧对应相等的圆心角，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$得到$∠ AOE=∠ BOF$，即可通过ASA判定两个三角形全等，进而得到对应边相等。
(2) 求$OM$的长度时，先利用垂径定理，由$ON⊥ AB$得到$AM$为$AB$的一半，算出$AM=6$；设$OM$的长为$x$，结合$MN=3$可得圆的半径$OA=x+3$，再在$Rt△ AOM$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：连接$OA$、$OB$，如图①所示。
∵ $OA$和$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ OAE=∠ OBF$。
∵ 同圆中相等的弧所对的圆心角相等，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ AOE=∠ BOF$。
在$△ AOE$和$△ BOF$中：
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OBF \\OA=OB \\∠ AOE=∠ BOF\end{cases}$
∴ $△ AOE≌△ BOF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=BF$。
(2) 解：连接$OA$，如图②所示。
∵ $ON⊥ AB$，$AB$是$\odot O$的弦，根据垂径定理，
∴ $AM=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=12$，代入得$AM=\frac{1}{2}×12=6$。
设$OM=x$，
∵ $MN=3$，$ON$是$\odot O$的半径，
∴ $OA=ON=OM+MN=x+3$。
在$Rt△ AOM$中，由勾股定理得：$OA^2=AM^2+OM^2$，
代入数值：$6^2+x^2=(x+3)^2$，
展开得：$36+x^2=x^2+6x+9$，
化简得：$6x=27$，解得$x=4.5$，
∴ $OM$的长为4.5。
【答案】
(1) $AE=BF$得证；
(2) $OM=4.5$
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 圆心角与弧的关系
3. 垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问通过构造半径证明三角形全等，是圆中证明线段相等的常用思路；第二问结合垂径定理与勾股定理，用方程思想求解线段长度，是圆中线段计算的典型考法，能有效考查对圆的基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AE=BF$，可通过证明两线段所在的$△ AOE$和$△ BOF$全等实现。首先连接$OA$、$OB$，利用同圆半径相等得到$OA=OB$，推出$∠ OAE=∠ OBF$；再根据同圆中等弧对应相等的圆心角，由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$得到$∠ AOE=∠ BOF$，即可通过ASA判定两个三角形全等，进而得到对应边相等。
(2) 求$OM$的长度时，先利用垂径定理，由$ON⊥ AB$得到$AM$为$AB$的一半，算出$AM=6$；设$OM$的长为$x$，结合$MN=3$可得圆的半径$OA=x+3$，再在$Rt△ AOM$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：连接$OA$、$OB$，如图①所示。
∵ $OA$和$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ OAE=∠ OBF$。
∵ 同圆中相等的弧所对的圆心角相等，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ AOE=∠ BOF$。
在$△ AOE$和$△ BOF$中：
$\begin{cases}∠ OAE=∠ OBF \\OA=OB \\∠ AOE=∠ BOF\end{cases}$
∴ $△ AOE≌△ BOF(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=BF$。
(2) 解：连接$OA$，如图②所示。
∵ $ON⊥ AB$，$AB$是$\odot O$的弦，根据垂径定理，
∴ $AM=\frac{1}{2}AB$。
已知$AB=12$，代入得$AM=\frac{1}{2}×12=6$。
设$OM=x$，
∵ $MN=3$，$ON$是$\odot O$的半径，
∴ $OA=ON=OM+MN=x+3$。
在$Rt△ AOM$中，由勾股定理得：$OA^2=AM^2+OM^2$，
代入数值：$6^2+x^2=(x+3)^2$，
展开得：$36+x^2=x^2+6x+9$，
化简得：$6x=27$，解得$x=4.5$，
∴ $OM$的长为4.5。
【答案】
(1) $AE=BF$得证；
(2) $OM=4.5$
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 圆心角与弧的关系
3. 垂径定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问通过构造半径证明三角形全等，是圆中证明线段相等的常用思路；第二问结合垂径定理与勾股定理，用方程思想求解线段长度，是圆中线段计算的典型考法，能有效考查对圆的基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
