8. 下列命题中,真命题的个数是 ()
①经过三点一定可以作圆;②任意一个圆只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆;④到三角形三边距离相等的点是三角形的外心.

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

8.D 解析:①经过不共线的三点一定可以作圆,原命题是假命题;②任意一个圆有无数个内接三角形,原命题是假命题;③任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆,原命题是真命题;④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,原命题是假命题,
∴ 真命题只有1个,故选D.

【分析】
要解决这道题，我们需要先回忆圆的确定、三角形外接圆、外心与内心相关的基础概念，再逐一判断4个命题的真假，最后统计真命题的个数得到答案。判断每个命题时要注意概念的限制条件：①判断作圆的条件时要区分三点是否共线；②判断圆的内接三角形个数时，要明确圆上可选取无数组不共线的三点；③判断三角形外接圆的个数时，结合不共线三点确定唯一圆的性质分析；④判断外心的性质时，要区分外心和内心的性质差异，外心是到三个顶点距离相等，内心是到三边距离相等。
【解析】
我们逐个分析命题：
①经过不在同一条直线上的三点才可以作圆，若三点共线则无法作圆，因此原命题是假命题；
②任意一个圆上可以选取无数组不共线的三个点，每组点都可以构成一个圆的内接三角形，即圆有无数个内接三角形，因此原命题是假命题；
③任意一个三角形的三个顶点都不共线，根据不共线三点确定唯一圆的性质，可知任意三角形一定有且只有一个外接圆，因此原命题是真命题；
④到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，三角形的外心是到三个顶点的距离相等，因此原命题是假命题。
综上，真命题只有1个。
【答案】
D
【知识点】
1.圆的确定条件 2.三角形外接圆 3.三角形外心与内心
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查圆和三角形相关的基础性质，解题的关键是准确掌握各概念的核心内容，注意区分易混淆的知识点，比如共线三点无法确定圆、外心和内心的性质差异。
【难度系数】
0.7

9. ★★★（包头中考）如图，$\odot O$是锐角三角形$ABC$的外接圆，$OD ⊥ AB$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，$F$，连接$DE$，$EF$，$FD$。若$DE+DF=6.5$，$△ ABC$的周长为21，则$EF$的长为（）

A.8
B.4
C.3.5
D.3

9.B 解析:
∵ $\odot O$是锐角三角形$ABC$的外接圆,$OD ⊥ AB$,$OE ⊥ BC$,$OF ⊥ AC$,
∴ 点$D,E,F$分别是$AB,BC,AC$的中点,
∴ $DF=\frac{1}{2} BC$,$DE=\frac{1}{2} AC$,$EF=\frac{1}{2} AB$.
∵ $△ ABC$的周长为21,
∴ $CB+CA+AB=21$,即$2DF+2DE+2EF=21$.又
∵ $DE+DF=6.5$,
∴ $EF=4$,故选B.

【分析】
解题时先观察已知条件：⊙O是△ABC的外接圆，OD、OE、OF分别垂直于三角形的三边。首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可推出D、E、F分别是AB、BC、AC三边的中点；进而可知DE、EF、FD是△ABC的三条中位线，根据三角形中位线定理，中位线长度等于对应第三边的一半，因此三条中位线的和等于△ABC周长的一半；最后结合已知的DE+DF的长度，即可求出EF的长度。
【解析】
∵ ⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，$OD ⊥ AB$，$OE ⊥ BC$，$OF ⊥ AC$，
∴ 根据垂径定理，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴ DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴ $DF=\frac{1}{2} BC$，$DE=\frac{1}{2} AC$，$EF=\frac{1}{2} AB$。
∵ △ABC的周长为21，
∴ $AB+BC+AC=21$，
代入得 $2EF + 2DF + 2DE = 21$，即 $EF+DE+DF=\frac{21}{2}=10.5$。
又
∵ $DE+DF=6.5$，
∴ $EF=10.5-6.5=4$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理，周长计算
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础综合题，解题的核心是利用垂径定理确定三边中点，再通过中位线定理建立线段和周长的关系，熟练掌握相关基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

10. ★★★（玉林中考）如图，在$5×7$网格中，各小正方形边长均为1，点$O,A,B,C,D,E$均在格点上，点$O$是$△ ABC$的外心，在不添加其他字母的情况下，则除$△ ABC$外把你认为外心也是$O$的三角形都写出来。

10. $△ ADC,△ BDC,△ ABD$ 解析:由题中的网格图可知O点到A,B,C三点的距离均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,则外接圆半径$r=\sqrt{5}$,题图中D点到O点距离为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}=r$,图中E点到O点距离为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,则可知除$△ ABC$外外心也是O的三角形有$△ ADC,△ ABD,△ BDC$.

【分析】
首先明确三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形外接圆的半径。因此要找外心也为O的三角形，可先计算O到△ABC三个顶点的距离得到外接圆半径，再判断其余格点D、E到O的距离是否等于该半径，若等于说明该点在△ABC的外接圆上，所有由该圆上的点组成的三角形（除△ABC外）外心都是O，最后枚举符合条件的三角形即可。
【解析】
设网格中小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点到O的距离：
1. 求△ABC外接圆的半径：
$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
因此△ABC的外接圆是以O为圆心，$r=\sqrt{5}$为半径的圆。
2. 判断其余格点是否在该外接圆上：
$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}=r$，故点D在该圆上；
$OE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}≠ r$，故点E不在该圆上。
因此A、B、C、D四点都在以O为圆心、$\sqrt{5}$为半径的圆上，四点中任意三点构成的三角形外心都是O，排除△ABC后，符合条件的三角形为△ADC、△BDC、△ABD。
【答案】
$△ ADC,△ BDC,△ ABD$
【知识点】
外心的性质，勾股定理，点与圆的位置判定
【点评】
本题结合网格考查三角形外心的相关知识，解题核心是利用外心到三角形三个顶点距离相等的性质，将问题转化为格点到圆心的距离计算，解题时需注意枚举所有符合条件的三角形，避免漏解。
【难度系数】
0.6

11. 已知等腰锐角$△ ABC$内接于半径为5的$\odot O$，且圆心$O$到$BC$的距离为3.
(1)若$BC$为底边,求这个等腰$△ ABC$底边上的高;
(2)若$BC$为腰,求这个等腰$△ ABC$底边上的高.

11. (1)当$BC$是底边时,如图①,连接$AO$并延长,交$BC$于点$D$,
∵ $AB=AC$,
∴ $AD ⊥ BC$.
∵ $OA=5$,$OD=3$,
∴ $AD=5+3=8$.即这个等腰$△ ABC$底边上的高为8.
(2)当$BC$为腰时,连接$OC,BO$,并延长$BO$交$AC$于$E$,作$OD ⊥ BC$于$D$,如图②,在$Rt△ BOD$中,$OB=5$,$OD=3$,
∴ $BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,
∴ $BC=2BD=8$.设$OE=x$,在$Rt△ COE$中,$CE^2=OC^2-OE^2=5^2-x^2$,在$Rt△ BCE$中,$CE^2=BC^2-BE^2=8^2-(5+x)^2$,
∴ $5^2-x^2=8^2-(5+x)^2$,解得$x=\frac{7}{5}$,
∴ $BE=5+\frac{7}{5}=\frac{32}{5}$,
∴ 这个等腰$△ ABC$底边上的高为$\frac{32}{5}$.

【分析】
(1)当BC为底边时，等腰△ABC满足AB=AC，结合等腰三角形三线合一与圆的对称性，过圆心O和顶点A的直线垂直平分BC，该直线与BC的交点D即为垂足，AD就是底边上的高。已知圆半径OA=5，圆心到BC的距离OD=3，且△ABC为锐角三角形，圆心在三角形内部，因此高AD为OA与OD的和。
(2)当BC为腰时，先通过垂径定理和勾股定理求出BC的长度；再结合等腰三角形三线合一，底边AC上的高BE必过圆心O，设OE=x，利用CE是Rt△COE和Rt△BCE的公共边，根据勾股定理分别表示CE²，列方程求解x，即可得到高BE的长度。
【解析】
(1)当BC是底边时，连接AO并延长，交BC于点D，
∵ AB=AC，
∴ AD⊥BC，AD即为等腰△ABC底边上的高。
由题意知OA=5，OD=3，且O在△ABC内部，
∴ AD=OA+OD=5+3=8。
(2)当BC为腰时，连接OC、BO，并延长BO交AC于E，作OD⊥BC于D，
在Rt△BOD中，OB=5，OD=3，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
根据垂径定理，D是BC中点，
∴ BC=2BD=8。
设OE=x，
∵ BC=BA，由等腰三角形三线合一得BE⊥AC，
在Rt△COE中，$CE^2=OC^2-OE^2=5^2-x^2$，
在Rt△BCE中，$CE^2=BC^2-BE^2=8^2-(5+x)^2$，
∴ $5^2-x^2=8^2-(5+x)^2$，
解得$x=\frac{7}{5}$，
∴ $BE=OB+OE=5+\frac{7}{5}=\frac{32}{5}$。
【答案】
(1)如图①，这个等腰△ABC底边上的高为8；
(2)如图②，这个等腰△ABC底边上的高为$\frac{32}{5}$。
【知识点】
等腰三角形性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与等腰三角形的综合题，解题时需结合锐角三角形的条件确定圆心在三角形内部，避免出现多余解；第二问利用公共边的平方相等列方程是几何中求未知线段长度的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6

12. ★★★ 如图,已知AB,CD是$\odot O$内非直径的两弦,求证:AB与CD不能互相平分.

12. 如图,设$AB,CD$交于点$P$,连接$OP$.
假设$AB$与$CD$能互相平分,则$CP=DP$,$AP=BP$.
∵ $AB,CD$是$\odot O$内非直径的两弦,
∴ $OP ⊥ CD$,$OP ⊥ AB$.
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾,
∴ 假设不成立,
∴ $AB$与$CD$不能互相平分.

【分析】
要证明“AB与CD不能互相平分”这类否定性命题，适合采用反证法求解。第一步先假设结论不成立，即AB和CD可以互相平分；第二步结合圆的相关性质推导：连接圆心O和弦的交点P，根据垂径定理的推论，若P是弦的中点，则OP垂直于该弦，可推出OP同时垂直于AB和CD；第三步发现该结论和“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的公理矛盾，即可说明假设错误，原命题成立。
【解析】
设$AB,CD$交于点$P$，连接$OP$。
假设$AB$与$CD$能互相平分，则$CP=DP$，$AP=BP$。
∵ $AB,CD$是$\odot O$内非直径的两弦，根据垂径定理的推论，可得
$OP ⊥ CD$，$OP ⊥ AB$。
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，
∴ 假设不成立，
∴ $AB$与$CD$不能互相平分。
【答案】
如图,设$AB,CD$交于点$P$,连接$OP$.
假设$AB$与$CD$能互相平分,则$CP=DP$,$AP=BP$.
∵ $AB,CD$是$\odot O$内非直径的两弦,
∴ $OP ⊥ CD$,$OP ⊥ AB$.
这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾,
∴ 假设不成立,
∴ $AB$与$CD$不能互相平分.
【知识点】
反证法；垂径定理推论；垂线的性质
【点评】
本题属于否定性结论的证明题，核心考查反证法的应用，解题时先假设结论不成立，结合圆的性质和已学公理推出矛盾即可完成证明，是反证法在圆的性质证明中的典型应用。
【难度系数】
0.6

13. ★★★ 如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD，EC.
(1)求证：$BD=CD$；
(2)若$∠BAD=∠CBD$，请判断点D是否是△BEC外接圆的圆心，并说明理由.

13. (1)
∵ $AD$为直径,$AD ⊥ BC$,
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴ $BD=CD$.
(2)点$D$是$△ BEC$外接圆的圆心.理由如下:
∵ $BE$平分$∠ABC$,
∴ $∠CBE = ∠ABE$.
∵ $∠DBE = ∠CBD + ∠CBE$,$∠DEB = ∠BAD + ∠ABE$,$∠BAD = ∠CBD$,
∴ $∠DBE = ∠DEB$,
∴ $DB=DE$.由(1)知$BD=CD$,
∴ $DB=DE=DC$,
∴ $B,E,C$三点在以点$D$为圆心,$DB$长为半径的圆上,即点$D$是$△ BEC$外接圆的圆心.

【分析】
(1) 要证$BD=CD$，根据同圆中等弧对等弦的性质，只需证明两条弦对应的弧$\overset{\frown}{BD}$和$\overset{\frown}{CD}$相等即可。已知AD是外接圆直径且$AD⊥ BC$，结合垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，即可得到两段弧相等，进而推出线段相等。
(2) 三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，因此要判断D是否是$△ BEC$外接圆的圆心，只需证明$DB=DE=DC$即可。首先由(1)已得$BD=CD$，接下来通过角平分线的性质、角的等量代换证明$∠ DBE=∠ DEB$，利用等角对等边得到$DB=DE$，最终得到三条线段相等，即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AD$为$△ ABC$外接圆的直径，$AD ⊥ BC$，
∴ 根据垂径定理可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 同圆中，等弧所对的弦相等，
∴ $BD=CD$。
(2) 点$D$是$△ BEC$外接圆的圆心，理由如下：
∵ $BE$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ CBE = ∠ ABE$。
∵ $∠ DBE = ∠ CBD + ∠ CBE$，$∠ DEB$是$△ ABE$的外角，因此$∠ DEB = ∠ BAD + ∠ ABE$，
又已知$∠ BAD = ∠ CBD$，
∴ $∠ DBE = ∠ DEB$，
∴ 根据等角对等边可得$DB=DE$。
由(1)已证$BD=CD$，
∴ $DB=DE=DC$，
∴ $B,E,C$三点在以点$D$为圆心，$DB$长为半径的圆上，即点$D$是$△ BEC$外接圆的圆心。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 点$D$是$△ BEC$外接圆的圆心，理由见上述解析。
【知识点】
垂径定理；等角对等边；三角形外接圆判定
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质与三角形角的计算、线段相等证明结合考查，解题的核心是熟练掌握垂径定理、弦与弧的对应关系，明确三角形外接圆圆心到三个顶点距离相等的特征，掌握角的等量代换方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.65

14. 新题型·新定义 定义:能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.
(1)如图①,$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=\sqrt{7}$,$AC=3\sqrt{2}$,请用尺规作图,作出$Rt△ ABC$的最小覆盖圆(保留作图痕迹,不写作法).此最小覆盖圆的半径为.
(2)如图②,矩形$ABCD$中,$AB=3$,$BC=5$,则矩形$ABCD$的最小覆盖圆的半径为;若用两个等圆完全覆盖该矩形$ABCD$,那么这两个等圆的最小半径为.

14. (1)作图结果如图①. $\frac{5}{2}$ 解析:由题意可知$Rt△ ABC$的最小覆盖圆即为$Rt△ ABC$的外接圆.作线段$BC$的垂直平分线交$BC$于$D$,点$D$即为最小覆盖圆圆心.
∵ 在$Rt△ ABC$中,$∠BAC=90°$,$AB=\sqrt{7}$,$AC=3\sqrt{2}$,
∴ $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5$,
∴ $DB=\frac{1}{2} BC=\frac{5}{2}$,
∴ $Rt△ ABC$的最小覆盖圆的半径为$\frac{5}{2}$.
(2)$\frac{\sqrt{34}}{2}$ $\frac{\sqrt{61}}{4}$ 解析:由题意得,矩形$ABCD$的外接圆即为最小覆盖圆,如图②所示,连接$AC,BD$交于$O$.
∵ 四边形$ABCD$是矩形,
∴ $OA=OB=OC=OD$,
∴ 点$O$即为矩形$ABCD$的外接圆圆心.
∵ $AB=3$,$BC=5$,$∠ABC=90°$,
∴ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{34}$,
∴ $OA=\frac{1}{2} AC=\frac{\sqrt{34}}{2}$,
∴ 矩形$ABCD$的最小覆盖圆的半径为$\frac{\sqrt{34}}{2}$.
如图③所示,分别取$AD,BC$的中点$G,H$,连接$AH,BG$交于$E$,连接$CG,DH$交于$F$,连接$GH$,则四边形$ABHG$,四边形$CDGH$都是矩形,同理可得圆$E$和圆$F$分别是四边形$ABHG$,四边形$CDGH$的最小覆盖圆.在$Rt△ ABH$中,$AB=3$,$BH=\frac{1}{2} BC=\frac{5}{2}$,$∠ABH=90°$,
∴ $AH=\sqrt{AB^2+BH^2}=\frac{\sqrt{61}}{2}$,
∴ $AE=\frac{1}{2} AH=\frac{\sqrt{61}}{4}$,
∴ 这两个等圆的最小半径为$\frac{\sqrt{61}}{4}$.

【分析】
(1) 直角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，直角三角形外接圆的直径为斜边，因此先通过勾股定理计算斜边长度，再求半径即可；作图时只需作出斜边的垂直平分线找到斜边中点作为圆心，以斜边长度的一半为半径作圆即可。
(2) 矩形的最小覆盖圆是其外接圆，矩形的对角线为外接圆的直径，先求矩形对角线长度再除以2即可得到半径；用两个等圆覆盖矩形时，可将矩形沿长的中点连线拆分为两个全等的小矩形，每个小矩形的最小覆盖圆就是所需的等圆，同理计算小矩形对角线的一半即可得到等圆的最小半径。
【解析】
(1) 作图结果如图①：
Rt△ABC的最小覆盖圆为其外接圆，斜边BC是外接圆的直径。
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，$AB=\sqrt{7}$，$AC=3\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{7+18}=5$
因此最小覆盖圆的半径为$\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$。
(2) 矩形ABCD的最小覆盖圆为其外接圆，矩形对角线为外接圆直径，如图②，连接AC、BD交于点O：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD，点O为外接圆圆心。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=5，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$
因此最小覆盖圆的半径为$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{34}}{2}$。
若用两个等圆覆盖矩形，如图③，取AD、BC的中点G、H，连接GH，将矩形ABCD拆分为两个全等的小矩形ABHG和CDGH，两个等圆分别为两个小矩形的外接圆：
在矩形ABHG中，AB=3，$BH=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，其对角线AH为外接圆直径，
在Rt△ABH中，$AH=\sqrt{AB^2+BH^2}=\sqrt{3^2+(\frac{5}{2})^2}=\sqrt{9+\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{61}}{2}$
因此每个等圆的最小半径为$\frac{1}{2}AH=\frac{\sqrt{61}}{4}$。
【答案】
(1) 作图结果如图①；$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{34}}{2}}$；$\boldsymbol{\frac{\sqrt{61}}{4}}$
【知识点】
勾股定理，外接圆性质，矩形的性质
【点评】
本题结合“最小覆盖圆”的新定义，考查了直角三角形、矩形外接圆的相关性质，解题核心是明确不同图形的最小覆盖圆的直径对应图形的最长线段，两个等圆覆盖问题可通过拆分图形转化为单个小图形的覆盖问题求解，能有效考查对新定义的理解和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7