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8. 教材习题变式 [2026泉州实验中学月考] 如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，发现矩形$DFEC ∼$矩形$ABCD$，则$\frac{DF}{AF}$的值为
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
。 答案
8 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 根据题意可得,$AF = EF = AB = CD$.
∵ 矩形 $DFEC∽$矩形 $ABCD$,
∴ $\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{AD}$. 设 $AD = a$,$AB = AF = x$,则 $DF = a - x$,
∴ $\frac{a-x}{x}=\frac{x}{a}$,整理得 $x^2 + ax - a^2 = 0$,解得 $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$(负值已舍),经检验,$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$ 是原方程的解,
∴ $\frac{DF}{AF}=\frac{a-x}{x}=\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵ 矩形 $DFEC∽$矩形 $ABCD$,
∴ $\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{AD}$. 设 $AD = a$,$AB = AF = x$,则 $DF = a - x$,
∴ $\frac{a-x}{x}=\frac{x}{a}$,整理得 $x^2 + ax - a^2 = 0$,解得 $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$(负值已舍),经检验,$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$ 是原方程的解,
∴ $\frac{DF}{AF}=\frac{a-x}{x}=\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先结合正方形ABEF的性质得到各边相等的关系，再利用相似矩形对应边成比例的性质建立边之间的数量关系；接下来通过设参数将边的关系转化为方程，解出参数的关系后，代入所求比值化简即可。思考时要注意找准相似图形的对应边，还要注意边长为正数，需舍去方程的负根。
【解析】
解：
∵四边形ABEF是正方形，
∴$AF = EF = AB = CD$。
∵矩形$DFEC∽$矩形$ABCD$，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{AD}$
设$AD = a$，$AB = AF = x$，则$DF = AD - AF = a - x$，
代入比例式得：$\frac{a-x}{x}=\frac{x}{a}$
交叉相乘整理得：$x^2 + ax - a^2 = 0$
解一元二次方程得：$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\frac{-a\pm\sqrt{5}a}{2}$
∵边长为正数，故舍去负根，得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$，经检验该解是原方程的解。
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{a-x}{x}=\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
1.相似多边形性质
2.正方形性质
3.一元二次方程解法
【点评】
本题是相似图形的典型应用题目，核心考查利用相似多边形对应边成比例建立方程求解的能力，同时结合了正方形的性质，解题时要注意根据实际意义舍去不合理的方程根，本题结论也是黄金分割的相关结论。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正方形ABEF的性质得到各边相等的关系，再利用相似矩形对应边成比例的性质建立边之间的数量关系；接下来通过设参数将边的关系转化为方程，解出参数的关系后，代入所求比值化简即可。思考时要注意找准相似图形的对应边，还要注意边长为正数，需舍去方程的负根。
【解析】
解：
∵四边形ABEF是正方形，
∴$AF = EF = AB = CD$。
∵矩形$DFEC∽$矩形$ABCD$，根据相似多边形对应边成比例可得：
$\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{AD}$
设$AD = a$，$AB = AF = x$，则$DF = AD - AF = a - x$，
代入比例式得：$\frac{a-x}{x}=\frac{x}{a}$
交叉相乘整理得：$x^2 + ax - a^2 = 0$
解一元二次方程得：$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\frac{-a\pm\sqrt{5}a}{2}$
∵边长为正数，故舍去负根，得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$，经检验该解是原方程的解。
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{a-x}{x}=\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
1.相似多边形性质
2.正方形性质
3.一元二次方程解法
【点评】
本题是相似图形的典型应用题目，核心考查利用相似多边形对应边成比例建立方程求解的能力，同时结合了正方形的性质，解题时要注意根据实际意义舍去不合理的方程根，本题结论也是黄金分割的相关结论。
【难度系数】
0.7
9. [2026郑州枫杨外国语学校期中]已知两个相似多边形对应边的比为4:3，若其中一个多边形的最小边长为12，则另一个多边形的最小边长为
9或16
.答案
9 9或16 设另一个多边形的最小边长为 $x$. ①当较大多边形的最小边长是 12 时,$\frac{4}{3}=\frac{12}{x}$,
∴ $x=9$. ②当较小多边形的最小边长是 12 时,$\frac{4}{3}=\frac{x}{12}$,
∴ $x=16$(分类讨论思想和方程思想).综上,另一个多边形的最小边长为9或16.
∴ $x=9$. ②当较小多边形的最小边长是 12 时,$\frac{4}{3}=\frac{x}{12}$,
∴ $x=16$(分类讨论思想和方程思想).综上,另一个多边形的最小边长为9或16.
解析
【分析】
解题时首先回忆相似多边形的性质：相似多边形对应边的比等于相似比。本题中仅给出其中一个多边形的最小边长为12，未明确该边长属于较大多边形还是较小多边形，因此需要分两种情况分类讨论，再根据对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
设另一个多边形的最小边长为$x$。
①当已知边长12是较大多边形的最小边长时，结合相似比$4:3$列比例式：
$\frac{4}{3}=\frac{12}{x}$
解得$x=9$。
②当已知边长12是较小多边形的最小边长时，结合相似比$4:3$列比例式：
$\frac{4}{3}=\frac{x}{12}$
解得$x=16$。
综上，另一个多边形的最小边长为9或16。
【答案】
9或16
【知识点】
相似多边形的性质、分类讨论思想、比例计算
【点评】
本题的易错点是忽略两种对应情况的讨论，仅求出其中一个结果。遇到相似相关题目未明确对应关系时，要考虑所有可能的对应情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆相似多边形的性质：相似多边形对应边的比等于相似比。本题中仅给出其中一个多边形的最小边长为12，未明确该边长属于较大多边形还是较小多边形，因此需要分两种情况分类讨论，再根据对应边成比例列方程求解即可。
【解析】
设另一个多边形的最小边长为$x$。
①当已知边长12是较大多边形的最小边长时，结合相似比$4:3$列比例式：
$\frac{4}{3}=\frac{12}{x}$
解得$x=9$。
②当已知边长12是较小多边形的最小边长时，结合相似比$4:3$列比例式：
$\frac{4}{3}=\frac{x}{12}$
解得$x=16$。
综上，另一个多边形的最小边长为9或16。
【答案】
9或16
【知识点】
相似多边形的性质、分类讨论思想、比例计算
【点评】
本题的易错点是忽略两种对应情况的讨论，仅求出其中一个结果。遇到相似相关题目未明确对应关系时，要考虑所有可能的对应情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 教材习题变式 在$AB=30\ \mathrm{m}$、$AD=20\ \mathrm{m}$的矩形花坛$ABCD$的四周修筑小路。
(1)如图1，若小路四周的宽相等，则小路四周围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似吗？并说明理由。
(2)如图2，若相对的两条小路的宽相等，当小路的宽$x$与$y(x＜y)$的比值是多少时？小路四周围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似？并说明理由。
(1)如图1，若小路四周的宽相等，则小路四周围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似吗？并说明理由。
(2)如图2，若相对的两条小路的宽相等，当小路的宽$x$与$y(x＜y)$的比值是多少时？小路四周围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似？并说明理由。
答案
10 解题思路:(1)小路的宽是未知数,不能直接计算出两个矩形的边是否成比例,故可先假设两个矩形相似,得出对应边成比例,再通过计算得出与已知条件或实际矛盾的结论,从而得出两个矩形不相似.
解:(1)矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 不相似. 理由如下:
假设两个矩形相似,小路的宽为 $a$ m,
则$\frac{30+2a}{20+2a}=\frac{30}{20}$,
∴ $a=0$.
∵ 小路的宽不可能为 0 m(不符合实际),
∴ 矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 不相似.
(2)当小路的宽 $x$ 与 $y$ 的比值为 $\frac{2}{3}$ 时,小路四周围成的矩形$A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似. 理由如下:
若矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似,
则$\frac{30+2y}{20+2x}=\frac{30}{20}$,
∴ $3x=2y$,
∴ $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$,
∴ 当小路的宽 $x$ 与 $y$ 的比值为 $\frac{2}{3}$ 时,小路四周围成的矩形$A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似.
解:(1)矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 不相似. 理由如下:
假设两个矩形相似,小路的宽为 $a$ m,
则$\frac{30+2a}{20+2a}=\frac{30}{20}$,
∴ $a=0$.
∵ 小路的宽不可能为 0 m(不符合实际),
∴ 矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 不相似.
(2)当小路的宽 $x$ 与 $y$ 的比值为 $\frac{2}{3}$ 时,小路四周围成的矩形$A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似. 理由如下:
若矩形 $A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似,
则$\frac{30+2y}{20+2x}=\frac{30}{20}$,
∴ $3x=2y$,
∴ $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$,
∴ 当小路的宽 $x$ 与 $y$ 的比值为 $\frac{2}{3}$ 时,小路四周围成的矩形$A'B'C'D'$ 和矩形 $ABCD$ 相似.
解析
【分析】
(1) 矩形的四个角都是直角，判断两个矩形是否相似只需验证对应边是否成比例即可。我们可先假设两个矩形相似，设小路宽为a，根据相似矩形对应边成比例列方程求解，再结合实际情况判断结论是否成立。
(2) 先根据小路宽度表示出大矩形$A'B'C'D'$的长和宽，再利用相似矩形对应边成比例的性质列等式，化简后即可求出x与y的比值。
【解析】
(1) 矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$不相似，理由如下：
设小路的宽为$a\ \mathrm{m}$，假设两个矩形相似，则对应边成比例，可得：
$\frac{30+2a}{30}=\frac{20+2a}{20}$
交叉相乘化简得：$20(30+2a)=30(20+2a)$，
即$600+40a=600+60a$，解得$a=0$。
因为小路宽度不可能为0，不符合实际，故假设不成立，因此矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$不相似。
(2) 当小路的宽x与y的比值为$\frac{2}{3}$时，两个矩形相似，理由如下：
由图可知，大矩形$A'B'C'D'$的长为$30+2y$，宽为$20+2x$，若两个矩形相似，则对应边成比例：
$\frac{30+2y}{30}=\frac{20+2x}{20}$
交叉相乘化简得：$20(30+2y)=30(20+2x)$，
即$600+40y=600+60x$，整理得$3x=2y$，即$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$。
因此当$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似。
【答案】
(1) 不相似，理由见解析；
(2) 当$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$时，小路四周围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似。
【知识点】
1. 相似多边形的判定
2. 矩形的性质
3. 比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似矩形的判定，解题关键是牢记相似多边形对应边成比例的性质，注意不要混淆两个矩形长和宽的对应关系；第一问用反证法推导矛盾得出结论，也提醒大家求解几何问题时要结合实际情况判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 矩形的四个角都是直角，判断两个矩形是否相似只需验证对应边是否成比例即可。我们可先假设两个矩形相似，设小路宽为a，根据相似矩形对应边成比例列方程求解，再结合实际情况判断结论是否成立。
(2) 先根据小路宽度表示出大矩形$A'B'C'D'$的长和宽，再利用相似矩形对应边成比例的性质列等式，化简后即可求出x与y的比值。
【解析】
(1) 矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$不相似，理由如下：
设小路的宽为$a\ \mathrm{m}$，假设两个矩形相似，则对应边成比例，可得：
$\frac{30+2a}{30}=\frac{20+2a}{20}$
交叉相乘化简得：$20(30+2a)=30(20+2a)$，
即$600+40a=600+60a$，解得$a=0$。
因为小路宽度不可能为0，不符合实际，故假设不成立，因此矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$不相似。
(2) 当小路的宽x与y的比值为$\frac{2}{3}$时，两个矩形相似，理由如下：
由图可知，大矩形$A'B'C'D'$的长为$30+2y$，宽为$20+2x$，若两个矩形相似，则对应边成比例：
$\frac{30+2y}{30}=\frac{20+2x}{20}$
交叉相乘化简得：$20(30+2y)=30(20+2x)$，
即$600+40y=600+60x$，整理得$3x=2y$，即$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$。
因此当$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似。
【答案】
(1) 不相似，理由见解析；
(2) 当$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$时，小路四周围成的矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似。
【知识点】
1. 相似多边形的判定
2. 矩形的性质
3. 比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似矩形的判定，解题关键是牢记相似多边形对应边成比例的性质，注意不要混淆两个矩形长和宽的对应关系；第一问用反证法推导矛盾得出结论，也提醒大家求解几何问题时要结合实际情况判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
1. 已知三条线段的长分别为 1,2,$\sqrt{3}$,若再添加一条线段,使这四条线段能构成比例线段,则可添加的线段的长为
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$2\sqrt{3}$
.答案
1 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$2\sqrt{3}$ 设可添加的线段的长为 $x$. ①当$\frac{x}{1}=\frac{2}{\sqrt{3}}$时,可知 $x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$;②当$\frac{1}{x}=\frac{2}{\sqrt{3}}$时,可知 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$;③当$\frac{1}{2}=\frac{x}{\sqrt{3}}$时,可知 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$;④当$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{x}$时,可知 $x=2\sqrt{3}$(分类讨论思想和方程思想).综上,可添加的线段的长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题考查比例线段的应用，解题首先要明确比例线段的定义：若四条线段中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段为成比例线段。由于新添加的线段在比例式中的位置不固定，因此需要运用分类讨论思想，分情况列出比例式，再结合比例的基本性质求解，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
设可添加的线段的长为$x$，根据四条线段成比例的要求，分情况讨论：
① 当$\frac{x}{1}=\frac{2}{\sqrt{3}}$时，根据比例的基本性质交叉相乘得$\sqrt{3}x=2$，解得$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
② 当$\frac{1}{x}=\frac{2}{\sqrt{3}}$时，交叉相乘得$2x=\sqrt{3}$，解得$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
③ 当$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{x}$时，交叉相乘得$x=2\sqrt{3}$。
综上，可得到所有符合条件的线段长度。
【答案】
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 比例线段
2. 比例的基本性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对比例线段概念的掌握，易错点是忽略新线段在比例式中的不同位置导致漏解，解题时需明确比例线段没有固定顺序，分类讨论要做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
本题考查比例线段的应用，解题首先要明确比例线段的定义：若四条线段中两条线段的比等于另外两条线段的比，则这四条线段为成比例线段。由于新添加的线段在比例式中的位置不固定，因此需要运用分类讨论思想，分情况列出比例式，再结合比例的基本性质求解，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
设可添加的线段的长为$x$，根据四条线段成比例的要求，分情况讨论：
① 当$\frac{x}{1}=\frac{2}{\sqrt{3}}$时，根据比例的基本性质交叉相乘得$\sqrt{3}x=2$，解得$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
② 当$\frac{1}{x}=\frac{2}{\sqrt{3}}$时，交叉相乘得$2x=\sqrt{3}$，解得$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
③ 当$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{x}$时，交叉相乘得$x=2\sqrt{3}$。
综上，可得到所有符合条件的线段长度。
【答案】
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 比例线段
2. 比例的基本性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对比例线段概念的掌握，易错点是忽略新线段在比例式中的不同位置导致漏解，解题时需明确比例线段没有固定顺序，分类讨论要做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
2. [2026青岛大学附中期中]已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=2，则AP的长为
$3-\sqrt{5}$或$\sqrt{5}-1$
。答案
2 $3-\sqrt{5}$或$\sqrt{5}-1$ 已知点 $P$ 是线段 $AB$ 的黄金分割点,①若点 $P$ 靠近点 $A$,则$\frac{PB}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,解得 $PB=\sqrt{5}-1$,
∴ $AP=AB-PB=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$. ②若点 $P$ 靠近点 $B$,则$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,解得 $AP=\sqrt{5}-1$(分类讨论思想和方程思想). 综上,$AP$ 的长为 $3-\sqrt{5}$或$\sqrt{5}-1$.
∴ $AP=AB-PB=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$. ②若点 $P$ 靠近点 $B$,则$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,解得 $AP=\sqrt{5}-1$(分类讨论思想和方程思想). 综上,$AP$ 的长为 $3-\sqrt{5}$或$\sqrt{5}-1$.
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：线段上的一个点将线段分为长短两段，若较长段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点是这条线段的黄金分割点。本题未明确说明AP是较长段还是较短段，因此需要分两种情况讨论：①AP为较长线段（点P靠近点B）；②AP为较短线段（点P靠近点A），结合黄金分割的比值分别计算即可。
【解析】
解：已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=2，分两种情况讨论：
① 若点P靠近点B，AP为较长线段，根据黄金分割的性质可得：
$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
将AB=2代入，得：
$AP=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
② 若点P靠近点A，AP为较短线段，此时PB为较长线段，根据黄金分割的性质可得：
$\frac{PB}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
将AB=2代入，得$PB=\sqrt{5}-1$
因此$AP=AB-PB=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$
综上，AP的长为$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义，分类讨论思想，线段和差计算
【点评】
本题考查黄金分割的相关计算，解题核心是明确一条线段的黄金分割点有2个，分别对应两种长短段的情况，解题时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先回忆黄金分割的定义：线段上的一个点将线段分为长短两段，若较长段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点是这条线段的黄金分割点。本题未明确说明AP是较长段还是较短段，因此需要分两种情况讨论：①AP为较长线段（点P靠近点B）；②AP为较短线段（点P靠近点A），结合黄金分割的比值分别计算即可。
【解析】
解：已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=2，分两种情况讨论：
① 若点P靠近点B，AP为较长线段，根据黄金分割的性质可得：
$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
将AB=2代入，得：
$AP=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$
② 若点P靠近点A，AP为较短线段，此时PB为较长线段，根据黄金分割的性质可得：
$\frac{PB}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
将AB=2代入，得$PB=\sqrt{5}-1$
因此$AP=AB-PB=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$
综上，AP的长为$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义，分类讨论思想，线段和差计算
【点评】
本题考查黄金分割的相关计算，解题核心是明确一条线段的黄金分割点有2个，分别对应两种长短段的情况，解题时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
3. 教材习题变式 [2026温州苍南青华学校期末] 如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使AB落在AD上，点B对应点F，展平后连接EF，继续沿FG折叠，使DF落在EF上，点D对应点H，展平后连接HG. 若矩形HECG∽矩形ABCD，AD=2，则CD的长为
$\sqrt{5}-1$
.答案
3 $\sqrt{5}-1$ 根据题意可得 $AD=BC$,$AB=BE=AF=CD$,$DF=HF=DG$.
∵ 矩形 $HECG∽$矩形 $ABCD$,
∴ $\frac{CG}{CD}=\frac{EC}{BC}$,
∴ $\frac{CG}{EC}=\frac{CD}{AD}$,
∴ $\frac{CD-DG}{EC}=\frac{CD}{2}$.
∵ $EC=DF=DG=2-CD$,
∴ $\frac{2CD-2}{2-CD}=\frac{CD}{2}$.
令 $CD=x$,则$\frac{2x-2}{2-x}=\frac{x}{2}$,整理得 $x^2 + 2x - 4 = 0$(方程思想),
∴ $x=\sqrt{5}-1$(负值舍去). 经检验,$x=\sqrt{5}-1$ 是原分式方程的解,
∴ $CD$ 的长为$\sqrt{5}-1$.
∵ 矩形 $HECG∽$矩形 $ABCD$,
∴ $\frac{CG}{CD}=\frac{EC}{BC}$,
∴ $\frac{CG}{EC}=\frac{CD}{AD}$,
∴ $\frac{CD-DG}{EC}=\frac{CD}{2}$.
∵ $EC=DF=DG=2-CD$,
∴ $\frac{2CD-2}{2-CD}=\frac{CD}{2}$.
令 $CD=x$,则$\frac{2x-2}{2-x}=\frac{x}{2}$,整理得 $x^2 + 2x - 4 = 0$(方程思想),
∴ $x=\sqrt{5}-1$(负值舍去). 经检验,$x=\sqrt{5}-1$ 是原分式方程的解,
∴ $CD$ 的长为$\sqrt{5}-1$.
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质推导各边的等量关系：第一次折叠后AB落在AD上，可得四边形ABEF是正方形，因此AB=BE=AF=CD，进而推出EC=DF=AD-CD=2-CD；第二次折叠后DF落在EF上，可得DG=DF=2-CD，因此CG=CD-DG=2CD-2。再根据相似矩形对应边成比例的性质，将各边用CD表示后列方程求解即可，注意最终结果要符合线段长度为正的要求。
【解析】
解：由折叠的性质可得：$AB=BE=AF=CD$，$DF=DG$，矩形中$AD=BC=2$。
∴ $EC=BC-BE=2-CD$，$DF=AD-AF=2-CD$，$CG=CD-DG=CD-(2-CD)=2CD-2$。
∵ 矩形$HECG∽$矩形$ABCD$，相似多边形对应边成比例，
∴ $\frac{CG}{CD}=\frac{EC}{BC}$，
将$BC=2$、$EC=2-CD$、$CG=2CD-2$代入比例式得：
$\frac{2CD-2}{CD}=\frac{2-CD}{2}$，交叉相乘整理得：$CD^2 + 2CD - 4 = 0$。
设$CD=x$，即$x^2+2x-4=0$，解得$x=\frac{-2±\sqrt{2^2+4×4}}{2}=-1±\sqrt{5}$。
∵ 线段长度为正，舍去负值$x=-1-\sqrt{5}$，得$x=\sqrt{5}-1$，经检验符合题意。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
折叠的性质；相似多边形的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是折叠与相似结合的典型题型，解题核心是准确利用折叠性质得到各线段的等量关系，结合相似图形的比例性质建立方程求解，求解后要注意结合实际意义检验根的合理性。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质推导各边的等量关系：第一次折叠后AB落在AD上，可得四边形ABEF是正方形，因此AB=BE=AF=CD，进而推出EC=DF=AD-CD=2-CD；第二次折叠后DF落在EF上，可得DG=DF=2-CD，因此CG=CD-DG=2CD-2。再根据相似矩形对应边成比例的性质，将各边用CD表示后列方程求解即可，注意最终结果要符合线段长度为正的要求。
【解析】
解：由折叠的性质可得：$AB=BE=AF=CD$，$DF=DG$，矩形中$AD=BC=2$。
∴ $EC=BC-BE=2-CD$，$DF=AD-AF=2-CD$，$CG=CD-DG=CD-(2-CD)=2CD-2$。
∵ 矩形$HECG∽$矩形$ABCD$，相似多边形对应边成比例，
∴ $\frac{CG}{CD}=\frac{EC}{BC}$，
将$BC=2$、$EC=2-CD$、$CG=2CD-2$代入比例式得：
$\frac{2CD-2}{CD}=\frac{2-CD}{2}$，交叉相乘整理得：$CD^2 + 2CD - 4 = 0$。
设$CD=x$，即$x^2+2x-4=0$，解得$x=\frac{-2±\sqrt{2^2+4×4}}{2}=-1±\sqrt{5}$。
∵ 线段长度为正，舍去负值$x=-1-\sqrt{5}$，得$x=\sqrt{5}-1$，经检验符合题意。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
折叠的性质；相似多边形的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是折叠与相似结合的典型题型，解题核心是准确利用折叠性质得到各线段的等量关系，结合相似图形的比例性质建立方程求解，求解后要注意结合实际意义检验根的合理性。
【难度系数】
0.6
4. [2026洛阳双语实验学校月考]如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,点E,F分别在AB,CD上,AE=DF=4 cm.现有两个动点M,N分别从点C,F同时出发,以2 cm/s的速度沿CB,FE向点B,E运动,当点M,N运动多长时间时,以点C,F,M,N为顶点的矩形与以点A,E,F,D为顶点的矩形相似?并说明理由.
答案
4 解:当点 $M,N$ 运动$\frac{1}{2}\mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时,以点 $C,F,M,N$ 为顶点的矩形与以点 $A,E,F,D$ 为顶点的矩形相似. 理由如下:
在矩形 $ABCD$ 中,$CD=AB=6\ \mathrm{cm}$,$AD=BC=8\ \mathrm{cm}$.
∵ $AE=DF=4\ \mathrm{cm}$,
∴ $CF=CD-DF=6-4=2(\mathrm{cm})$.
①当 $CF$ 与 $AE$ 是对应边时(分类讨论思想),
矩形 $CFNM∽$矩形 $AEFD$,
∴ $\frac{CF}{AE}=\frac{CM}{AD}$,
∴ $\frac{2}{4}=\frac{CM}{8}$,解得 $CM=4$(方程思想),此时 $t=4÷ 2=2(\mathrm{s})$.
②当 $CF$ 与 $AD$ 是对应边时(分类讨论思想),
矩形 $CFNM∽$矩形 $ADFE$,
∴ $\frac{CF}{AD}=\frac{CM}{AE}$,
∴ $\frac{2}{8}=\frac{CM}{4}$,解得 $CM=1$(方程思想),此时 $t=1÷ 2=\frac{1}{2}(\mathrm{s})$.
综上,当点 $M,N$ 运动$\frac{1}{2}\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时,以点 $C,F,M,N$ 为顶点的矩形与以点 $A,E,F,D$ 为顶点的矩形相似.
在矩形 $ABCD$ 中,$CD=AB=6\ \mathrm{cm}$,$AD=BC=8\ \mathrm{cm}$.
∵ $AE=DF=4\ \mathrm{cm}$,
∴ $CF=CD-DF=6-4=2(\mathrm{cm})$.
①当 $CF$ 与 $AE$ 是对应边时(分类讨论思想),
矩形 $CFNM∽$矩形 $AEFD$,
∴ $\frac{CF}{AE}=\frac{CM}{AD}$,
∴ $\frac{2}{4}=\frac{CM}{8}$,解得 $CM=4$(方程思想),此时 $t=4÷ 2=2(\mathrm{s})$.
②当 $CF$ 与 $AD$ 是对应边时(分类讨论思想),
矩形 $CFNM∽$矩形 $ADFE$,
∴ $\frac{CF}{AD}=\frac{CM}{AE}$,
∴ $\frac{2}{8}=\frac{CM}{4}$,解得 $CM=1$(方程思想),此时 $t=1÷ 2=\frac{1}{2}(\mathrm{s})$.
综上,当点 $M,N$ 运动$\frac{1}{2}\ \mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时,以点 $C,F,M,N$ 为顶点的矩形与以点 $A,E,F,D$ 为顶点的矩形相似.
解析
【分析】
首先根据矩形的性质求出已知边的长度：先得到矩形AEFD的两组邻边长度，以及CF的长度；由于两个矩形相似时对应边的对应关系不唯一，因此需要分两种情况讨论，分别是CF与AE为对应边、CF与AD为对应边，再根据相似多边形对应边成比例的性质列方程求出CM的长度，最后结合动点的运动速度即可求出运动时间。
【解析】
解：设点M、N的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，
在矩形$ABCD$中，$CD=AB=6\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=8\ \mathrm{cm}$。
$\because AE=DF=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CF=CD-DF=6-4=2(\mathrm{cm})$，矩形$AEFD$的邻边长分别为$4\ \mathrm{cm}$、$8\ \mathrm{cm}$，点M的运动路程$CM=2t\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
①当$CF$与$AE$是对应边时，矩形$CFNM∽$矩形$AEFD$，
由相似多边形对应边成比例得$\frac{CF}{AE}=\frac{CM}{AD}$，
代入数据得$\frac{2}{4}=\frac{2t}{8}$，解得$t=2$；
②当$CF$与$AD$是对应边时，矩形$CFNM∽$矩形$ADFE$，
由相似多边形对应边成比例得$\frac{CF}{AD}=\frac{CM}{AE}$，
代入数据得$\frac{2}{8}=\frac{2t}{4}$，解得$t=\frac{1}{2}$。
综上，运动时间为$\frac{1}{2}\mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时符合要求。
【答案】
当点$M,N$运动$\frac{1}{2}\mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时，以点$C,F,M,N$为顶点的矩形与以点$A,E,F,D$为顶点的矩形相似。
【知识点】
矩形的性质、相似多边形的性质、分类讨论思想
【点评】
本题属于相似图形与动点结合的典型题，解题的易错点是容易忽略相似矩形对应边的两种情况，造成漏解，熟练掌握相似多边形的性质，结合分类讨论思想即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
首先根据矩形的性质求出已知边的长度：先得到矩形AEFD的两组邻边长度，以及CF的长度；由于两个矩形相似时对应边的对应关系不唯一，因此需要分两种情况讨论，分别是CF与AE为对应边、CF与AD为对应边，再根据相似多边形对应边成比例的性质列方程求出CM的长度，最后结合动点的运动速度即可求出运动时间。
【解析】
解：设点M、N的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，
在矩形$ABCD$中，$CD=AB=6\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=8\ \mathrm{cm}$。
$\because AE=DF=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore CF=CD-DF=6-4=2(\mathrm{cm})$，矩形$AEFD$的邻边长分别为$4\ \mathrm{cm}$、$8\ \mathrm{cm}$，点M的运动路程$CM=2t\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
①当$CF$与$AE$是对应边时，矩形$CFNM∽$矩形$AEFD$，
由相似多边形对应边成比例得$\frac{CF}{AE}=\frac{CM}{AD}$，
代入数据得$\frac{2}{4}=\frac{2t}{8}$，解得$t=2$；
②当$CF$与$AD$是对应边时，矩形$CFNM∽$矩形$ADFE$，
由相似多边形对应边成比例得$\frac{CF}{AD}=\frac{CM}{AE}$，
代入数据得$\frac{2}{8}=\frac{2t}{4}$，解得$t=\frac{1}{2}$。
综上，运动时间为$\frac{1}{2}\mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时符合要求。
【答案】
当点$M,N$运动$\frac{1}{2}\mathrm{s}$或$2\ \mathrm{s}$时，以点$C,F,M,N$为顶点的矩形与以点$A,E,F,D$为顶点的矩形相似。
【知识点】
矩形的性质、相似多边形的性质、分类讨论思想
【点评】
本题属于相似图形与动点结合的典型题，解题的易错点是容易忽略相似矩形对应边的两种情况，造成漏解，熟练掌握相似多边形的性质，结合分类讨论思想即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
