1. [2025贵州中考]如图，已知$△ ABC ∽ △ DEF$，$AB:DE=2:1$，若$DF=2$，则$AC$的长为（）


A.1
B.2
C.4
D.8

∵△ABC∽△DEF,
∴AC:DF=AB:DE=2:1.
∵DF=2,
∴AC=2DF=4.

【分析】
已知两个三角形相似，且给出一组对应边的比值，要求AC的长，首先利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例。先明确对应边关系，AB对应DE，AC对应DF，因此AC与DF的比值等于AB与DE的比值，再代入已知的DF的数值，即可计算出AC的长度。
【解析】
∵$△ ABC ∽ △ DEF$，
∴相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{DF}=\frac{AB}{DE}=\frac{2}{1}$，
又
∵$DF=2$，代入比例式得$AC=2× DF=2×2=4$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，比例计算
【点评】
本题属于相似三角形的基础考查题，解题核心是找准相似三角形的对应边，结合对应边成比例的性质列式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. [2025广东中考]如图,把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的相似比是.

∵将△AOB放大后得到△COD,
∴△AOB∽△COD,
∴△AOB与△COD的相似比为$\frac{OB}{OD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

【分析】
首先由“放大得到”可判断△AOB和△COD是相似图形，相似比是前一个三角形与后一个三角形的对应边的比值，因此需要先找一组对应边。观察图形可知OB、OD都在x轴上，是一组对应边，先确定两条边的长度，再计算对应边的比值即可得到相似比，注意不要颠倒比的前后项。
【解析】
解：
∵把△AOB放大后得到△COD，
∴△AOB∽△COD，OB与OD是一组对应边，
由图可得OB=2，OD=6，
∴△AOB与△COD的相似比为$\frac{OB}{OD}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
相似图形的性质；相似比的计算
【点评】
本题是基础类题目，解题核心是掌握相似比的定义，找准对应边，计算时注意区分相似比的前后顺序，避免因颠倒对应边的比值出错。
【难度系数】
0.9

3. 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，且对应边的比是$2:5$，若将$△ ABC$的各边长都扩大到原来的3倍，$△ A'B'C'$的各边长不变，则它们的相似比为。

∵△ABC∽△A'B'C',且对应边的比是2:5,
∴设这两个三角形的一组对应边的长为2x,5x. 将△ABC的各边都扩大到原来的3倍,则这两个三角形的一组对应边的长变为6x,5x,
∴它们的相似比为$\frac{6x}{5x}=\frac{6}{5}$.

【分析】
解题核心是明确相似比的定义：相似三角形的相似比是前一个三角形与后一个三角形对应边的比值，顺序不可颠倒。首先根据题干给出的原相似比，设出两个三角形的一组对应边长，简化计算；再计算△ABC各边扩大3倍后的对应边长；最后用扩大后的△ABC对应边与△A'B'C'的对应边作比，约去公共未知数即可得到结果。
【解析】
∵△ABC∽△A'B'C'，且对应边的比是2:5，
∴设△ABC和△A'B'C'的一组对应边长分别为$2x$、$5x$。
将△ABC的各边长都扩大到原来的3倍，则△ABC的对应边长变为$2x × 3 = 6x$，△A'B'C'的各边长不变，对应边长仍为$5x$，
∴此时它们的相似比为$\frac{6x}{5x} = \frac{6}{5}$。
【答案】
$\frac{6}{5}$（或$6:5$）
【知识点】
相似比的定义，相似三角形的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查相似比的计算，易错点是混淆相似比的前后对应顺序，解题时紧扣相似比是对应边的比值、明确两个三角形的先后顺序即可正确作答。
【难度系数】
0.8

4. [2026杭州余杭区月考] 如图，AB，CD交于点O，$△ AOD ∽ △ BOC$.
(1)若$∠ A = 35°$，$∠ AOD = 80°$，求$∠ C$的度数；
(2)若$OA:OB = 3:4$，$AD = 6$，求$BC$的长.

解:(1)
∵△AOD∽△BOC,
∴∠C=∠D.
∵∠AOD=80°,∠A=35°,
∴∠D=180°-∠A-∠AOD=180°-35°-80°=65°,
∴∠C=65°.
(2)
∵△AOD∽△BOC,
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{OA}{OB}$.
∵OA:OB=3:4,AD=6,
∴$\frac{6}{BC}=\frac{3}{4}$,
∴BC=8.

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要求∠C的度数，首先根据相似三角形对应角相等的性质，可知∠C的对应角为△AOD中的∠D，因此先利用三角形内角和为180°，在△AOD中代入已知的∠A和∠AOD的度数求出∠D，即可得到∠C的度数。
(2) 要求BC的长，根据相似三角形对应边成比例的性质，可知AD与BC的比值等于OA与OB的比值，代入已知的OA:OB的比值和AD的长度，列比例式求解即可得到BC的长。
【解析】
(1)
∵△AOD∽△BOC，
∴∠C=∠D，
∵∠AOD=80°，∠A=35°，
∴∠D=180°-∠A-∠AOD=180°-35°-80°=65°，
∴∠C=65°。
(2)
∵△AOD∽△BOC，
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{OA}{OB}$，
∵OA:OB=3:4，AD=6，
∴$\frac{6}{BC}=\frac{3}{4}$，
解得BC=8。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠C=65°}$
(2) $\boldsymbol{BC=8}$
【知识点】
相似三角形的性质、三角形内角和定理、比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是准确找准相似三角形的对应角和对应边，牢记相似三角形的相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.85

5. [2026鹤壁淇滨中学月考]如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F。若$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$，AB=6，则AF的长为（）


A.2
B.$\frac{4}{3}$
C.3
D.4

∵四边形ABCD是菱形,
∴AF//DC,
∴△AFE∽△DCE,
∴$\frac{AF}{DC}=\frac{AE}{DE}$.
∵AB=DC=6,$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AF}{6}=\frac{1}{2}$,
∴AF=3.

【分析】
解题时首先回忆菱形的性质：菱形的对边互相平行，且四条边长都相等。由AB//CD可推出△FAE和△CDE的对应角相等，进而判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知的线段比例和菱形的边长，即可求出AF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//DC，DC=AB=6，
∴∠F=∠DCE，∠FAE=∠D，
∴△AFE∽△DCE，
∴$\frac{AF}{DC}=\frac{AE}{DE}$。
∵$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$，DC=6，
∴$\frac{AF}{6}=\frac{1}{2}$，
解得AF=3。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用菱形对边平行的性质构造相似三角形，再结合相似三角形的边比例关系求解线段长度，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

6. [2026山西实验中学月考]如图,在$□ ABCD$中,点E是边AD的中点,EC交BD于点F,则$\frac{EF}{CF}$的值为 ()

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{4}$

∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AD=BC,
∴△DEF∽△BCF,
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{DE}{BC}$.
∵点E是边AD的中点,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{1}{2}$.

【分析】
解题时首先利用平行四边形的性质得到对边平行且相等的关系，由平行线的性质可得到两个三角形的对应内角相等，从而判定两个三角形相似；再结合相似三角形对应边成比例的性质，将所求线段比转化为已知的线段比，最后利用中点的性质计算比值即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠EDF=∠CBF，∠DEF=∠BCF，
∴△DEF∽△BCF，
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{DE}{BC}$。
∵点E是边AD的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，即$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的典型基础题，解题的核心是通过平行四边形的对边平行得到相似三角形，再结合线段中点的性质即可求出线段比值，难度不大。
【难度系数】
0.7

7. [2024吉林中考]如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OA的中点,F是OD上一点,连接EF.若$∠FEO=45°$,则$\frac{EF}{BC}$的值为.

∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴∠OAD=45°,AD=BC.
∵E是OA的中点,
∴$\frac{OE}{OA}=\frac{1}{2}$.
∵∠FEO=45°,
∴EF//AD,
∴△OEF∽△OAD,
∴$\frac{EF}{AD}=\frac{OE}{OA}=\frac{1}{2}$,即$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$.

【分析】
解题时先从正方形的性质入手：正方形对角线平分内角，可得∠OAD=45°，且正方形边长相等，即AD=BC。结合已知∠FEO=45°，可得∠FEO=∠OAD，根据同位角相等可判定EF//AD，进而得到△OEF∽△OAD。再由E是OA中点得出两三角形的相似比为$\frac{1}{2}$，最后根据相似三角形对应边成比例，结合AD=BC等量代换，即可求出$\frac{EF}{BC}$的值。
【解析】
∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴∠OAD=45°,AD=BC.
∵E是OA的中点,
∴$\frac{OE}{OA}=\frac{1}{2}$.
∵∠FEO=45°,
∴∠FEO=∠OAD，
∴EF//AD,
∴△OEF∽△OAD,
∴$\frac{EF}{AD}=\frac{OE}{OA}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$.
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础题型，结合正方形性质与相似三角形知识考查线段比值的求解，解题突破口是利用等角推出线线平行进而得到相似三角形，解题思路较为直接。
【难度系数】
0.7

8. [2025天津二十一中期末] 如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5, $\frac{AF}{FC}=\frac{1}{4}$,求AE的长.

解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,∠ABC=90°,
∴在Rt△ABC中,$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$.
∵AD//BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴$\frac{AE}{CB}=\frac{AF}{CF}=\frac{1}{4}$,
∴$AE=\frac{1}{4}CB=\frac{1}{4}×4=1$.

【分析】
要解这道题可按以下思路推导：首先利用矩形的性质，一是矩形内角为直角，可在Rt△ABC中通过勾股定理求出BC的长度；二是矩形对边平行，可推出△AEF与△CBF相似，再结合已知的$\frac{AF}{FC}$的比值，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，
∵AD//BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，
∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AE}{CB}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{4}$，
∴$AE=\frac{1}{4}×CB=\frac{1}{4}×4=1$。
【答案】
1
【知识点】
矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何综合题，侧重考查基础知识点的应用，解题核心是准确识别相似三角形，结合矩形性质和线段比例关系求解未知边，解题思路清晰，常规方法即可作答。
【难度系数】
0.8