1. 下列运算正确的是（）

A.$\sqrt{50} ÷ \sqrt{5} = 10$
B.$\sqrt{10} ÷ 2\sqrt{5} = 2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3} ÷ \sqrt{4} = 3 ÷ 4 = \frac{3}{4}$
D.$\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = 3$

1.D

【分析】
这道题考查二次根式的除法运算，解题核心是运用二次根式的除法法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），若式子带系数，需将系数和二次根式分别相除，再对每个选项逐一计算验证即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{50}÷\sqrt{5}=\sqrt{50÷5}=\sqrt{10}≠10$，运算错误；
选项B：$\sqrt{10}÷2\sqrt{5}=\frac{1}{2}×(\sqrt{10}÷\sqrt{5})=\frac{1}{2}×\sqrt{10÷5}=\frac{\sqrt{2}}{2}≠2\sqrt{2}$，运算错误；
选项C：$\sqrt{3}÷\sqrt{4}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}≠\frac{3}{4}$，运算错误；
选项D：$\sqrt{27}÷\sqrt{3}=\sqrt{27÷3}=\sqrt{9}=3$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的除法法则；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，重点考查对二次根式除法法则的掌握，计算时要注意区分系数和被开方数的运算规则，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.85

2. 计算：
(1) $\sqrt{12} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{12 ÷ 2} =$ ；
(2) $\sqrt{\dfrac{4}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{3}} =$ $=$ 。

2. (1)$\sqrt{6}$ (2)$\sqrt{\dfrac{4}{3}×3}$ $2$

【分析】
解决本题需要先回忆二次根式的除法运算法则：$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），解题时先将两个二次根式的除法转化为被开方数相除的算术平方根，再计算被开方数的结果，最后化简即可。
第一小问已经完成了法则转化，直接计算被开方数$12÷2$的结果，再写出最简形式即可；第二小问先利用除法法则转化，将除以$\frac{1}{3}$转化为乘3，再计算被开方数的结果后开方化简。
【解析】
(1) 计算被开方数的除法：$12÷2=6$，因此$\sqrt{12÷2}=\sqrt{6}$；
(2) 根据二次根式除法法则，$\sqrt{\frac{4}{3}} ÷ \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3} ÷ \frac{1}{3}}$，除以一个数等于乘这个数的倒数，因此$\frac{4}{3} ÷ \frac{1}{3} = \frac{4}{3} × 3$，即第一个空填$\sqrt{\frac{4}{3} × 3}$；再计算被开方数的结果：$\frac{4}{3} × 3=4$，因此$\sqrt{4}=2$，即第二个空填2。
【答案】
(1) $\sqrt{6}$；(2) $\sqrt{\dfrac{4}{3}×3}$；$2$
【知识点】
二次根式除法法则、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式除法的基础练习题，重点考查对二次根式除法法则的理解和应用，计算时注意遵循被开方数的运算规则，最终结果要化简到最简形式。
【难度系数】
0.9

3.某精密仪器的一个零件上有一个矩形的孔，其面积为$4\sqrt{21}\mathrm{cm}^2$，它的宽为$\sqrt{3}\mathrm{cm}$，则这个孔的长为cm.

3. $4\sqrt{7}$

【分析】
解题时首先回忆矩形的面积计算公式：矩形面积=长×宽，已知面积和宽，求长即可转换为面积除以宽的运算。接下来代入数值后，按照二次根式的除法运算法则进行计算，最后将结果化为最简二次根式即可得到答案。
【解析】
解：根据矩形面积公式可得，矩形的长 = 面积÷宽，
将面积$4\sqrt{21}\mathrm{cm}^2$，宽$\sqrt{3}\mathrm{cm}$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{长}&=\frac{4\sqrt{21}}{\sqrt{3}}\\&=4×\sqrt{\frac{21}{3}}\\&=4\sqrt{7}\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{7}$
【知识点】
矩形面积计算、二次根式的除法、最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础应用题，解题核心是熟练掌握几何公式和二次根式的运算法则，计算时要注意最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8

4. 计算下列各题：
(1) $\sqrt{30} ÷ \sqrt{5}$；
(2) $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}$；
(3) $\frac{3\sqrt{8}}{\sqrt{50}}$；
(4) $\sqrt{2\frac{7}{9}} ÷ \sqrt{\frac{5}{36}}$。

4. (1)解:原式$=\sqrt{6}.$
(2)解:原式$=4.$
(3)解:原式$=\dfrac{6}{5}.$
(4)解:原式$=2\sqrt{5}.$

【分析】
这四道题均为二次根式的除法运算，解题核心是运用二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），运算后需将结果化为最简二次根式。解题思路如下：1. 若算式中存在带分数，先将其化为假分数；2. 套用二次根式除法法则，根号外的系数单独运算、根号内的被开方数相除；3. 计算后将结果化简为最简二次根式即可。
【解析】
(1) 直接运用二次根式除法法则，将被开方数相除：
原式$=\sqrt{30÷5}=\sqrt{6}$
(2) 先计算根号内的除法，再开方化简：
原式$=\sqrt{32÷2}=\sqrt{16}=4$
(3) 保留根号外的系数，先计算根号内的除法再化简：
原式$=3×\sqrt{\frac{8}{50}}=3×\sqrt{\frac{4}{25}}=3×\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$
(4) 先将带分数化为假分数，再套用除法法则运算：
先把$2\frac{7}{9}$化为假分数$\frac{25}{9}$，则：
原式$=\sqrt{\frac{25}{9}}÷\sqrt{\frac{5}{36}}=\sqrt{\frac{25}{9}÷\frac{5}{36}}=\sqrt{\frac{25}{9}×\frac{36}{5}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
【答案】
(1) $\sqrt{6}$；(2) $4$；(3) $\frac{6}{5}$；(4) $2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的除法法则，最简二次根式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式除法的基础运算题，重点考查对二次根式除法法则的掌握程度，解题时需注意带分数要先转化为假分数再运算，最终运算结果必须化为最简二次根式，熟练掌握法则后可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 化简：
(1) $\sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{\sqrt{\_\_\_\_\_\_}}{\sqrt{\_\_\_\_\_\_}} = \_\_\_\_\_\_;$
(2) $\sqrt{\dfrac{27}{12}} = \dfrac{\sqrt{\_\_\_\_\_\_ × 3}}{\sqrt{\_\_\_\_\_\_ × 3}} = \dfrac{\sqrt{\_\_\_\_\_\_}}{\sqrt{\_\_\_\_\_\_}} = \_\_\_\_\_\_.$

5. (1)$\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$ $\dfrac{4}{5}$ (2)$\dfrac{3^2}{2^2}$ $\dfrac{\sqrt{3^2}}{\sqrt{2^2}}$ $\dfrac{3}{2}$

【分析】
这两道题均考查二次根式除法相关的化简，核心依据是商的算术平方根性质：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。
解第(1)题时，直接套用上述性质，将被开方数的分子、分母分别开算术平方根，再计算商即可。
解第(2)题时，先将被开方数的分子27拆分为$3^2×3$、分母12拆分为$2^2×3$，套用性质后可约去分子分母公共的$\sqrt{3}$，剩余部分为完全平方数的算术平方根，开方后即可得到结果。
【解析】
(1) 根据商的算术平方根性质可得：
$\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$，其中$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{25}=5$，因此最终结果为$\dfrac{4}{5}$。
(2) 先分解被开方数的分子分母：$27=3^2×3$，$12=2^2×3$，代入原式得：
$\sqrt{\dfrac{27}{12}}=\dfrac{\sqrt{3^2×3}}{\sqrt{2^2×3}}$，约去分子分母的$\sqrt{3}$后得$\dfrac{\sqrt{3^2}}{\sqrt{2^2}}$，开方计算得$\dfrac{3}{2}$。
【答案】
(1) $16$；$25$；$\dfrac{4}{5}$
(2) $3^2$；$2^2$；$3^2$；$2^2$；$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
商的算术平方根性质；二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对商的算术平方根运算性质的掌握，解题时可先观察被开方数的特征，通过拆分因数、约去公因式简化运算，熟练掌握该类题型是后续解决复杂二次根式运算的基础。
【难度系数】
0.8

6. 化简：
(1) $\sqrt{6\frac{1}{4}}$；
(2) $\sqrt{\frac{-144}{-49}}$；
(3) $\sqrt{\frac{0.09×36}{(-64)×(-0.16)}}$。

6. (1)解:原式$=\dfrac{5}{2}.$
(2)解:原式$=\dfrac{12}{7}.$
(3)解:原式$=\dfrac{9}{16}.$

【分析】
这三道题均属于二次根式的化简类题目，解题核心是运用二次根式的相关性质，尤其是商的算术平方根性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。解题思路如下：1. 先处理被开方数的符号，确保被开方数为非负数；2. 若被开方数是带分数，先化为假分数；3. 利用商、积的算术平方根性质拆分被开方数，分别开方后再计算，最终结果化为最简形式。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数：
原式$=\sqrt{6\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$
根据商的算术平方根性质：
$\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}=\frac{5}{2}$
(2) 先处理被开方数的符号，负负得正：
原式$=\sqrt{\frac{-144}{-49}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$
根据商的算术平方根性质：
$\sqrt{\frac{144}{49}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{49}}=\frac{12}{7}$
(3) 先处理分母的负号，两个负数相乘得正：
原式$=\sqrt{\frac{0.09×36}{(-64)×(-0.16)}}=\sqrt{\frac{0.09×36}{64×0.16}}$
根据积和商的算术平方根性质拆分：
$=\frac{\sqrt{0.09}×\sqrt{36}}{\sqrt{64}×\sqrt{0.16}}=\frac{0.3×6}{8×0.4}=\frac{1.8}{3.2}=\frac{18}{32}=\frac{9}{16}$
【答案】
(1) $\dfrac{5}{2}$；(2) $\dfrac{12}{7}$；(3) $\dfrac{9}{16}$
【知识点】
二次根式的性质；商的算术平方根；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查二次根式性质的灵活运用，解题时需注意先确定被开方数的符号，保证被开方数为非负数后再拆分计算，最终结果要化为最简形式，计算过程中注意小数、分数的转化运算，避免出错。
【难度系数】
0.8

7.（新乡市原阳县期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.$\frac{1}{\sqrt{3}}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
C.$\sqrt{30}$
D.$\sqrt{8}$

7.C

【分析】
要判断所给选项中的最简二次根式，首先明确最简二次根式的两个判定标准：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，按照这两个标准逐一排查每个选项即可得到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：$\frac{1}{\sqrt{3}}$的分母含有二次根式，不符合最简二次根式要求，化简后为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，不属于最简二次根式；
B选项：$\sqrt{\frac{1}{2}}$的被开方数含有分母，不符合要求，化简后为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，不属于最简二次根式；
C选项：$\sqrt{30}$的被开方数30分解因数为$2×3×5$，所有因数都无法开得尽方，且不含分母，符合最简二次根式的定义；
D选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}$，被开方数含有能开得尽方的因数4，化简后为$2\sqrt{2}$，不属于最简二次根式。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题型，解题关键是熟记最简二次根式的两个判定条件，逐一排查选项即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

8. 将下列二次根式化简为最简二次根式：
(1) $\sqrt{54}$；(2) $\frac{10}{\sqrt{5}}$；(3) $\sqrt{4.5}$；(4) $\sqrt{\frac{2}{3}}$.

8. (1)解:原式$=\sqrt{3^2×6}=\sqrt{3^2}×\sqrt{6}=3\sqrt{6}$；
(2)原式$=\dfrac{10×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$；
(3)原式$=\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$；
(4)原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2×3}}{3}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$

【分析】
要将二次根式化简为最简二次根式，需满足两个核心要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。各小题解题思路如下：(1)先将被开方数54拆分为平方因数和剩余因数的乘积，利用二次根式乘法性质拆分后，将平方数开方移到根号外；(2)分母含有根号，通过给分子分母同乘$\sqrt{5}$进行分母有理化，消去分母根号后约分即可；(3)先将小数4.5转化为分数，再利用二次根式除法性质拆分，最后做分母有理化；(4)先利用二次根式除法性质拆分根号，再给分子分母同乘$\sqrt{3}$进行分母有理化，整理得到最简结果。
【解析】
(1)解:原式$=\sqrt{3^2×6}=\sqrt{3^2}×\sqrt{6}=3\sqrt{6}$；
(2)原式$=\dfrac{10×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\dfrac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$；
(3)原式$=\sqrt{\dfrac{9}{2}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$；
(4)原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2×3}}{3}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
【答案】
(1)$3\sqrt{6}$；(2)$2\sqrt{5}$；(3)$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$；(4)$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
最简二次根式，二次根式的性质，分母有理化
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，覆盖了被开方数为整数、分数、小数三类常见的化简场景，熟练掌握化简规则和分母有理化方法，是后续学习二次根式混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.8

9. 计算$2\sqrt{8} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{18}$的结果是（）

A.$12\sqrt{2}$
B.$12\sqrt{3}$
C.$24\sqrt{2}$
D.$24\sqrt{3}$

9.C

【分析】
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：首先明确二次根式乘除的运算法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，运算时可以选择两种路径：一是先将所有二次根式化为最简二次根式，再按从左到右的顺序依次计算；二是先将系数、被开方数分别进行乘除运算，最后将结果化为最简二次根式，再匹配选项即可。
【解析】
方法一：先化简再计算
第一步，化简各二次根式：
$2\sqrt{8}=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
第二步，按从左到右的顺序运算：
原式$=4\sqrt{2}÷\frac{\sqrt{2}}{2}×3\sqrt{2}$
$=4\sqrt{2}×\frac{2}{\sqrt{2}}×3\sqrt{2}$
$\sqrt{2}$约分后得：$4×2×3\sqrt{2}=24\sqrt{2}$
方法二：利用二次根式乘除法则统一运算
原式$=2×\sqrt{8÷\frac{1}{2}×18}$
$=2×\sqrt{8×2×18}$
$=2×\sqrt{288}$
$=2×12\sqrt{2}=24\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘除运算；最简二次根式；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题的关键是熟练掌握二次根式乘除的运算法则，运算时注意遵循从左到右的顺序，计算过程中可以灵活选择化简顺序，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8

10.若$\sqrt{18} ÷ □ = 3$，则$□$中的数是 （）

A.6
B.$\sqrt{6}$
C.2
D.$\sqrt{2}$

10.D

【分析】
要算出方框中的数，首先根据除法运算各部分的关系：除数=被除数÷商，先列出求方框内数字的算式，再结合二次根式的化简、除法运算规则计算即可。已知被除数是$\sqrt{18}$，商是3，代入关系得到算式后，先化简二次根式$\sqrt{18}$，再做除法运算就能得到结果。
【解析】
设中的数为$x$，根据题意可得：
$\sqrt{18} ÷ x = 3$
根据除数=被除数÷商，推导得：
$x = \sqrt{18} ÷ 3$
先化简二次根式：$\sqrt{18} = \sqrt{9×2} = 3\sqrt{2}$，代入上式计算：
$x = 3\sqrt{2} ÷ 3 = \sqrt{2}$
因此中的数是$\sqrt{2}$。
【答案】D
【知识点】二次根式的除法；二次根式的化简
【点评】本题属于基础运算类题目，主要考查除法各部分的关系和二次根式的基本运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键。
【难度系数】0.8