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1. 下列各式正确的是（
A.$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9}$
B.$\sqrt{16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{16} × \sqrt{\frac{9}{4}}$
C.$\sqrt{4 \frac{4}{9}} = \sqrt{4} × \sqrt{\frac{4}{9}}$
D.$\sqrt{4 × 9} = \sqrt{4} × \sqrt{9}$
D
）A.$\sqrt{(-4) × (-9)} = \sqrt{-4} × \sqrt{-9}$
B.$\sqrt{16 + \frac{9}{4}} = \sqrt{16} × \sqrt{\frac{9}{4}}$
C.$\sqrt{4 \frac{4}{9}} = \sqrt{4} × \sqrt{\frac{4}{9}}$
D.$\sqrt{4 × 9} = \sqrt{4} × \sqrt{9}$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确积的算术平方根的性质：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$）。解题时我们需要结合这个性质的适用条件和计算结果，逐个判断每个选项是否正确：首先排除被开方数为负数的错误选项，再区分算术平方根拆分的前提是被开方数为“乘积”而非“和”，最后通过计算验证剩余选项即可。
【解析】
首先明确积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，其中必须满足$a≥0$，$b≥0$，且被开方数是乘积形式才能拆分。
选项A：$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-9}$的被开方数为负数，在实数范围内二次根式无意义，该等式不成立，故A错误。
选项B：等号左侧被开方数是$16+\frac{9}{4}$，是加法运算（和的形式），不符合积的算术平方根的拆分条件，计算验证：左侧$\sqrt{16+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{73}{4}}=\frac{\sqrt{73}}{2}$，右侧$\sqrt{16}×\sqrt{\frac{9}{4}}=4×\frac{3}{2}=6$，两边不相等，故B错误。
选项C：$4\frac{4}{9}=4+\frac{4}{9}$，是带分数（和的形式），不是4和$\frac{4}{9}$的乘积，不能直接拆分，计算验证：左侧$\sqrt{4\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{40}{9}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}$，右侧$\sqrt{4}×\sqrt{\frac{4}{9}}=2×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，两边不相等，故C错误。
选项D：4和9均为非负数，符合积的算术平方根的适用条件，计算验证：左侧$\sqrt{4×9}=\sqrt{36}=6$，右侧$\sqrt{4}×\sqrt{9}=2×3=6$，两边相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式有意义的条件；二次根式的运算
【点评】
本题核心考查积的算术平方根性质的正确应用，解题时要特别注意两点：一是性质的使用前提是被开方数均为非负数，二是只有当被开方数是乘积形式时才能拆分，不能随意对和的形式进行拆分运算。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确积的算术平方根的性质：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$）。解题时我们需要结合这个性质的适用条件和计算结果，逐个判断每个选项是否正确：首先排除被开方数为负数的错误选项，再区分算术平方根拆分的前提是被开方数为“乘积”而非“和”，最后通过计算验证剩余选项即可。
【解析】
首先明确积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$，其中必须满足$a≥0$，$b≥0$，且被开方数是乘积形式才能拆分。
选项A：$\sqrt{-4}$和$\sqrt{-9}$的被开方数为负数，在实数范围内二次根式无意义，该等式不成立，故A错误。
选项B：等号左侧被开方数是$16+\frac{9}{4}$，是加法运算（和的形式），不符合积的算术平方根的拆分条件，计算验证：左侧$\sqrt{16+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{73}{4}}=\frac{\sqrt{73}}{2}$，右侧$\sqrt{16}×\sqrt{\frac{9}{4}}=4×\frac{3}{2}=6$，两边不相等，故B错误。
选项C：$4\frac{4}{9}=4+\frac{4}{9}$，是带分数（和的形式），不是4和$\frac{4}{9}$的乘积，不能直接拆分，计算验证：左侧$\sqrt{4\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{40}{9}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}$，右侧$\sqrt{4}×\sqrt{\frac{4}{9}}=2×\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，两边不相等，故C错误。
选项D：4和9均为非负数，符合积的算术平方根的适用条件，计算验证：左侧$\sqrt{4×9}=\sqrt{36}=6$，右侧$\sqrt{4}×\sqrt{9}=2×3=6$，两边相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式有意义的条件；二次根式的运算
【点评】
本题核心考查积的算术平方根性质的正确应用，解题时要特别注意两点：一是性质的使用前提是被开方数均为非负数，二是只有当被开方数是乘积形式时才能拆分，不能随意对和的形式进行拆分运算。
【难度系数】
0.8
2. 化简二次根式$\sqrt{(-3)^2 × 6}$得（
A.$-3\sqrt{6}$
B.$3\sqrt{6}$
C.$18$
D.$6$
B
）A.$-3\sqrt{6}$
B.$3\sqrt{6}$
C.$18$
D.$6$
答案
2.B
解析
【分析】
要化简该二次根式，需结合二次根式的相关性质思考：首先，算术平方根具有非负性，化简结果一定是非负数，可先排除带负号的选项；其次，运用积的算术平方根的性质，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），先处理被开方数中的平方项，再拆分根号逐步化简，最后判断结果是否能完全开方得到整数即可。
【解析】
解：先计算被开方数中的乘方项：
$(-3)^2=9=3^2$，
因此原式可改写为：
$\sqrt{3^2 × 6}$，
根据积的算术平方根的性质拆分得：
$\sqrt{3^2} × \sqrt{6}$，
由算术平方根的非负性可知$\sqrt{3^2}=3$，
因此化简结果为$3\sqrt{6}$。
【答案】
B
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式化简；算术平方根的非负性
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题时需注意两个易错点：一是不要错误将根号内的负号直接带出，误选带负号的选项；二是不要错误将被开方数相乘后直接开方得到整数，误选完全开方的错误选项。
【难度系数】
0.8
要化简该二次根式，需结合二次根式的相关性质思考：首先，算术平方根具有非负性，化简结果一定是非负数，可先排除带负号的选项；其次，运用积的算术平方根的性质，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），先处理被开方数中的平方项，再拆分根号逐步化简，最后判断结果是否能完全开方得到整数即可。
【解析】
解：先计算被开方数中的乘方项：
$(-3)^2=9=3^2$，
因此原式可改写为：
$\sqrt{3^2 × 6}$，
根据积的算术平方根的性质拆分得：
$\sqrt{3^2} × \sqrt{6}$，
由算术平方根的非负性可知$\sqrt{3^2}=3$，
因此化简结果为$3\sqrt{6}$。
【答案】
B
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式化简；算术平方根的非负性
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，解题时需注意两个易错点：一是不要错误将根号内的负号直接带出，误选带负号的选项；二是不要错误将被开方数相乘后直接开方得到整数，误选完全开方的错误选项。
【难度系数】
0.8
3.化简：
（1）$\sqrt{24}=$
（2）$-\sqrt{72}=$
（1）$\sqrt{24}=$
$2\sqrt{6}$
；（2）$-\sqrt{72}=$
$-6\sqrt{2}$
。答案
3.(1)$2\sqrt{6}$ (2)$-6\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的化简，解题核心是运用积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。解题时先将被开方数分解为最大完全平方因数和剩余正整数的乘积，再将完全平方因数开方后移到根号外，注意保留原式根号前的符号即可。
【解析】
（1）拆分被开方数$24=4×6$，其中4是完全平方数，根据积的算术平方根的性质计算：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=\sqrt{4}×\sqrt{6}=2\sqrt{6}$
（2）拆分被开方数$72=36×2$，其中36是完全平方数，同理计算：
$-\sqrt{72}=-\sqrt{36×2}=-\sqrt{36}×\sqrt{2}=-6\sqrt{2}$
【答案】
(1)$2\sqrt{6}$；(2)$-6\sqrt{2}$
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题关键是正确拆分被开方数，准确提取完全平方因数开方，运算时注意不要弄错符号，熟练掌握相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的化简，解题核心是运用积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。解题时先将被开方数分解为最大完全平方因数和剩余正整数的乘积，再将完全平方因数开方后移到根号外，注意保留原式根号前的符号即可。
【解析】
（1）拆分被开方数$24=4×6$，其中4是完全平方数，根据积的算术平方根的性质计算：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=\sqrt{4}×\sqrt{6}=2\sqrt{6}$
（2）拆分被开方数$72=36×2$，其中36是完全平方数，同理计算：
$-\sqrt{72}=-\sqrt{36×2}=-\sqrt{36}×\sqrt{2}=-6\sqrt{2}$
【答案】
(1)$2\sqrt{6}$；(2)$-6\sqrt{2}$
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题关键是正确拆分被开方数，准确提取完全平方因数开方，运算时注意不要弄错符号，熟练掌握相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
4. 化简：
(1) $\sqrt{4 × 225}$；
(2) $\sqrt{(-49) × (-121)}$；
(3) $\sqrt{16 × \frac{25}{49}}$；
(4) $-\sqrt{(-5)^2 × 3}$。
(1) $\sqrt{4 × 225}$；
(2) $\sqrt{(-49) × (-121)}$；
(3) $\sqrt{16 × \frac{25}{49}}$；
(4) $-\sqrt{(-5)^2 × 3}$。
答案
4. (1)解:原式$=30.$
(2)解:原式$=77.$
(3)解:原式$=\sqrt{4^2 × (\frac{5}{7})^2}=4 × \frac{5}{7} = \frac{20}{7}.$
(4)解:原式$=-\sqrt{5^2 × 3}=-5\sqrt{3}.$
(2)解:原式$=77.$
(3)解:原式$=\sqrt{4^2 × (\frac{5}{7})^2}=4 × \frac{5}{7} = \frac{20}{7}.$
(4)解:原式$=-\sqrt{5^2 × 3}=-5\sqrt{3}.$
解析
【分析】
这组题目属于二次根式化简类题型，核心解题依据是积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$）。解题思路如下：第一步先处理被开方数的符号，根据有理数乘法法则将被开方数转化为非负因数的乘积，确保满足性质的使用前提；第二步利用积的算术平方根性质，将原式拆分为多个独立算术平方根的乘积；第三步分别计算各算术平方根的值，再相乘得到结果，注意原式自带的负号要全程保留，不能遗漏。
【解析】
(1) 利用积的算术平方根性质拆分计算：
原式$=\sqrt{4}×\sqrt{225}=2×15=30$
(2) 先计算负因数乘积消去负号，再拆分计算：
原式$=\sqrt{49×121}=\sqrt{49}×\sqrt{121}=7×11=77$
(3) 拆分整数与分数分别开方后相乘：
原式$=\sqrt{16}×\sqrt{\frac{25}{49}}=4×\frac{5}{7}=\frac{20}{7}$
(4) 先计算平方项转化为非负因数，再拆分化简，保留原式负号：
原式$=-\sqrt{5^2×3}=-\sqrt{5^2}×\sqrt{3}=-5\sqrt{3}$
【答案】
(1) $30$；(2) $77$；(3) $\frac{20}{7}$；(4) $-5\sqrt{3}$
【知识点】
1. 积的算术平方根性质
2. 二次根式化简
3. 有理数乘法符号法则
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心考查积的算术平方根性质的应用，解题时要注意先确认被开方数为非负数再拆分计算，避免出现对负数直接开方的错误，同时要留意原式的符号，不要漏写负号，熟练掌握常见平方数的开方结果可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
这组题目属于二次根式化简类题型，核心解题依据是积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$）。解题思路如下：第一步先处理被开方数的符号，根据有理数乘法法则将被开方数转化为非负因数的乘积，确保满足性质的使用前提；第二步利用积的算术平方根性质，将原式拆分为多个独立算术平方根的乘积；第三步分别计算各算术平方根的值，再相乘得到结果，注意原式自带的负号要全程保留，不能遗漏。
【解析】
(1) 利用积的算术平方根性质拆分计算：
原式$=\sqrt{4}×\sqrt{225}=2×15=30$
(2) 先计算负因数乘积消去负号，再拆分计算：
原式$=\sqrt{49×121}=\sqrt{49}×\sqrt{121}=7×11=77$
(3) 拆分整数与分数分别开方后相乘：
原式$=\sqrt{16}×\sqrt{\frac{25}{49}}=4×\frac{5}{7}=\frac{20}{7}$
(4) 先计算平方项转化为非负因数，再拆分化简，保留原式负号：
原式$=-\sqrt{5^2×3}=-\sqrt{5^2}×\sqrt{3}=-5\sqrt{3}$
【答案】
(1) $30$；(2) $77$；(3) $\frac{20}{7}$；(4) $-5\sqrt{3}$
【知识点】
1. 积的算术平方根性质
2. 二次根式化简
3. 有理数乘法符号法则
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，核心考查积的算术平方根性质的应用，解题时要注意先确认被开方数为非负数再拆分计算，避免出现对负数直接开方的错误，同时要留意原式的符号，不要漏写负号，熟练掌握常见平方数的开方结果可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 设 $ a = \sqrt{2}, b = \sqrt{3} $，用含 $ a、b $ 的式子表示 $ \sqrt{0.54} $，则下列表示正确的是（
A.$ 0.3ab $
B.$ 3ab $
C.$ 0.1ab^2 $
D.$ 0.1a^2b $
A
）A.$ 0.3ab $
B.$ 3ab $
C.$ 0.1ab^2 $
D.$ 0.1a^2b $
答案
5.A
解析
【分析】
解题的核心思路是先利用二次根式的性质化简$\sqrt{0.54}$，将其拆分为含有$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的形式，再将$a=\sqrt{2}$、$b=\sqrt{3}$代入替换，最后对比选项得到正确答案。首先回忆积的算术平方根性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），我们可以先把$0.54$转化为分数，再拆分分子的因数，逐步分离出$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的部分。
【解析】
先化简$\sqrt{0.54}$：
$\begin{aligned}\sqrt{0.54}&=\sqrt{\frac{54}{100}}\\&=\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{100}}\\&=\frac{\sqrt{9×6}}{10}\\&=\frac{3\sqrt{2×3}}{10}\\&=\frac{3×\sqrt{2}×\sqrt{3}}{10}\end{aligned}$
已知$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，代入上式得：
$\sqrt{0.54}=\frac{3ab}{10}=0.3ab$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 积的算术平方根性质
2. 二次根式化简
3. 代数式代换
【点评】
本题主要考查二次根式的化简及代数式的替换，解题关键是将待求二次根式拆分为含有已知算术平方根的形式，熟练掌握二次根式的化简规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的核心思路是先利用二次根式的性质化简$\sqrt{0.54}$，将其拆分为含有$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的形式，再将$a=\sqrt{2}$、$b=\sqrt{3}$代入替换，最后对比选项得到正确答案。首先回忆积的算术平方根性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0$，$b≥0$），我们可以先把$0.54$转化为分数，再拆分分子的因数，逐步分离出$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的部分。
【解析】
先化简$\sqrt{0.54}$：
$\begin{aligned}\sqrt{0.54}&=\sqrt{\frac{54}{100}}\\&=\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{100}}\\&=\frac{\sqrt{9×6}}{10}\\&=\frac{3\sqrt{2×3}}{10}\\&=\frac{3×\sqrt{2}×\sqrt{3}}{10}\end{aligned}$
已知$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，代入上式得：
$\sqrt{0.54}=\frac{3ab}{10}=0.3ab$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 积的算术平方根性质
2. 二次根式化简
3. 代数式代换
【点评】
本题主要考查二次根式的化简及代数式的替换，解题关键是将待求二次根式拆分为含有已知算术平方根的形式，熟练掌握二次根式的化简规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.若等式$\sqrt{(4-x)^2(6-x)}=(x-4)\sqrt{6-x}$成立,则$x$的取值范围是
$4≤ x≤ 6$
.答案
6.$4≤ x≤ 6$
解析
【分析】
解题时先利用积的算术平方根的性质将等式左边的二次根式拆分，再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简左边。要使等式成立，需满足两个条件：一是二次根式有意义，即被开方数为非负数；二是绝对值化简后与等式右边的系数一致，据此列不等式组求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据积的算术平方根的性质，等式左边可化简为：
$\sqrt{(4-x)^2(6-x)}=\sqrt{(4-x)^2}·\sqrt{6-x}=|4-x|·\sqrt{6-x}$
已知等式$\sqrt{(4-x)^2(6-x)}=(x-4)\sqrt{6-x}$成立，首先需保证二次根式有意义，因此：
$6-x≥0$，解得$x≤6$
此时等式可转化为$|4-x|·\sqrt{6-x}=(x-4)\sqrt{6-x}$，两边同时约去非负的$\sqrt{6-x}$，可得：
$|4-x|=x-4$
根据绝对值的性质，当$4-x≤0$时，$|4-x|=x-4$，解得$x≥4$
综合两个不等式的解，可得$x$的取值范围是$4≤ x≤6$。
【答案】
$4≤ x≤6$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.二次根式的性质
3.绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常规题型，解题的核心是抓住二次根式的非负性以及绝对值的化简规则，注意不要遗漏被开方数非负的隐含条件，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用积的算术平方根的性质将等式左边的二次根式拆分，再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简左边。要使等式成立，需满足两个条件：一是二次根式有意义，即被开方数为非负数；二是绝对值化简后与等式右边的系数一致，据此列不等式组求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据积的算术平方根的性质，等式左边可化简为：
$\sqrt{(4-x)^2(6-x)}=\sqrt{(4-x)^2}·\sqrt{6-x}=|4-x|·\sqrt{6-x}$
已知等式$\sqrt{(4-x)^2(6-x)}=(x-4)\sqrt{6-x}$成立，首先需保证二次根式有意义，因此：
$6-x≥0$，解得$x≤6$
此时等式可转化为$|4-x|·\sqrt{6-x}=(x-4)\sqrt{6-x}$，两边同时约去非负的$\sqrt{6-x}$，可得：
$|4-x|=x-4$
根据绝对值的性质，当$4-x≤0$时，$|4-x|=x-4$，解得$x≥4$
综合两个不等式的解，可得$x$的取值范围是$4≤ x≤6$。
【答案】
$4≤ x≤6$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.二次根式的性质
3.绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的常规题型，解题的核心是抓住二次根式的非负性以及绝对值的化简规则，注意不要遗漏被开方数非负的隐含条件，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7.若点P(x,y)在第二象限内，化简$\sqrt{x^2 y}$的结果是
$-x\sqrt{y}$
答案
7.$-x\sqrt{y}$
解析
【分析】
解题可按照三步思路推进：第一步，先根据点P所在的象限，确定x和y的正负性；第二步，回忆积的算术平方根的性质，可先将原式拆分为$\sqrt{x^2}·\sqrt{y}$的形式，同时结合二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将$\sqrt{x^2}$转化为绝对值形式；第三步，根据x的正负性去绝对值，就能得到最终化简结果。
【解析】
解：
∵点$P(x,y)$在第二象限
∴第二象限内点横坐标小于0，纵坐标大于0，即$x＜0$，$y＞0$
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{x^2 y}=\sqrt{x^2}·\sqrt{y}$
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因此$\sqrt{x^2}=|x|$
∵$x＜0$，
∴$|x|=-x$
代入得$\sqrt{x^2 y}=-x\sqrt{y}$
【答案】
$-x\sqrt{y}$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 积的算术平方根的性质
3. 二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础常考题，结合了平面直角坐标系的相关知识，易错点是忽略x的负号，直接将$\sqrt{x^2}$化简为x，解题核心是先确定待化简式中字母的取值范围，再结合性质规范化简。
【难度系数】
0.7
解题可按照三步思路推进：第一步，先根据点P所在的象限，确定x和y的正负性；第二步，回忆积的算术平方根的性质，可先将原式拆分为$\sqrt{x^2}·\sqrt{y}$的形式，同时结合二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将$\sqrt{x^2}$转化为绝对值形式；第三步，根据x的正负性去绝对值，就能得到最终化简结果。
【解析】
解：
∵点$P(x,y)$在第二象限
∴第二象限内点横坐标小于0，纵坐标大于0，即$x＜0$，$y＞0$
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{x^2 y}=\sqrt{x^2}·\sqrt{y}$
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因此$\sqrt{x^2}=|x|$
∵$x＜0$，
∴$|x|=-x$
代入得$\sqrt{x^2 y}=-x\sqrt{y}$
【答案】
$-x\sqrt{y}$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 积的算术平方根的性质
3. 二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础常考题，结合了平面直角坐标系的相关知识，易错点是忽略x的负号，直接将$\sqrt{x^2}$化简为x，解题核心是先确定待化简式中字母的取值范围，再结合性质规范化简。
【难度系数】
0.7
8.（数学文化）阅读:古希腊的几何家海伦,在数学史上以解决几何测量问题而闻名,在他的著作《度量》一书中,给出了一公式:如果一个三角形的三边长分别为$a、b、c$,记:$p=\frac{a+b+c}{2}$,则三角形的面积$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,此公式称为“海伦公式”.
思考运用:已知李大爷有一块三角形的菜地,如图,测得$AB=7m,AC=5m,BC=8m$,你能求出李大爷这块菜地的面积吗?(结果精确到0.1,参考数据$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{5}\approx2.236)$
思考运用:已知李大爷有一块三角形的菜地,如图,测得$AB=7m,AC=5m,BC=8m$,你能求出李大爷这块菜地的面积吗?(结果精确到0.1,参考数据$\sqrt{2}\approx1.414,\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{5}\approx2.236)$
答案
8. 解:$\because AB=7m,AC=5m,BC=8m,$
$\therefore p = \frac{7+8+5}{2} = 10. \therefore S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{10×3×2×5} = 10 \sqrt{3} \approx 17.3 (\mathrm{m}^2). \therefore$李大爷这块菜地的面积约为$17.3\mathrm{m}^2.$
$\therefore p = \frac{7+8+5}{2} = 10. \therefore S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{10×3×2×5} = 10 \sqrt{3} \approx 17.3 (\mathrm{m}^2). \therefore$李大爷这块菜地的面积约为$17.3\mathrm{m}^2.$
解析
【分析】
本题给出了计算三角形面积的海伦公式，已知三角形三边长度，解题思路清晰：首先根据三边长求出半周长p，再将p和三边长代入海伦公式，接着利用二次根式的运算法则化简面积表达式，最后代入参考数据求出近似值即可得到菜地的面积。
【解析】
解：已知三角形菜地的三边长$AB=7\mathrm{m}$，$AC=5\mathrm{m}$，$BC=8\mathrm{m}$，
先计算半周长：$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{7+5+8}{2}=10(\mathrm{m})$，
根据海伦公式，三角形面积$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}$，
代入数值计算：
$S=\sqrt{10×(10-7)×(10-5)×(10-8)}=\sqrt{10×3×5×2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$，
结合参考数据$\sqrt{3}\approx1.732$，可得$S\approx10×1.732=17.3(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
李大爷这块菜地的面积约为$17.3\mathrm{m}^2$
【知识点】
二次根式化简，算术平方根近似计算，新公式应用
【点评】
本题结合数学文化海伦公式设题，考查对新公式的理解运用能力和二次根式的运算能力，只要准确读懂公式，掌握二次根式的化简和近似计算方法即可正确求解。
【难度系数】
0.8
本题给出了计算三角形面积的海伦公式，已知三角形三边长度，解题思路清晰：首先根据三边长求出半周长p，再将p和三边长代入海伦公式，接着利用二次根式的运算法则化简面积表达式，最后代入参考数据求出近似值即可得到菜地的面积。
【解析】
解：已知三角形菜地的三边长$AB=7\mathrm{m}$，$AC=5\mathrm{m}$，$BC=8\mathrm{m}$，
先计算半周长：$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{7+5+8}{2}=10(\mathrm{m})$，
根据海伦公式，三角形面积$S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}$，
代入数值计算：
$S=\sqrt{10×(10-7)×(10-5)×(10-8)}=\sqrt{10×3×5×2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$，
结合参考数据$\sqrt{3}\approx1.732$，可得$S\approx10×1.732=17.3(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
李大爷这块菜地的面积约为$17.3\mathrm{m}^2$
【知识点】
二次根式化简，算术平方根近似计算，新公式应用
【点评】
本题结合数学文化海伦公式设题，考查对新公式的理解运用能力和二次根式的运算能力，只要准确读懂公式，掌握二次根式的化简和近似计算方法即可正确求解。
【难度系数】
0.8
