登录
11. 计算$\sqrt{45} ÷ 3\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{3}{5}}$的结果正确的是（
A.1
B.$\dfrac{5}{3}$
C.5
D.9
A
）A.1
B.$\dfrac{5}{3}$
C.5
D.9
答案
11.A
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：首先明确乘除属于同级运算，需按从左到右的顺序计算；其次回忆二次根式乘除的运算法则：运算时可将系数与被开方数分开分别计算，也可先将所有二次根式化为最简形式后再约分计算，最后将结果化为最简形式即可，注意不要随意改变运算顺序避免出错。
【解析】
方法1：分开计算系数与被开方数
根据二次根式乘除运算法则，同级运算从左到右进行：
原式$=(1÷3×1)×\sqrt{45÷3×\frac{3}{5}}$
先计算系数部分：$1÷3×1=\frac{1}{3}$
再计算根号内的运算：$45÷3×\frac{3}{5}=15×\frac{3}{5}=9$
因此原式$=\frac{1}{3}×\sqrt{9}=\frac{1}{3}×3=1$
方法2：先化简二次根式再计算
先将$\sqrt{45}$化为最简二次根式：$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，代入原式得：
原式$=3\sqrt{5}÷3\sqrt{3}×\sqrt{\frac{3}{5}}$
先算除法部分：$3\sqrt{5}÷3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$
再算乘法部分：$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}×\sqrt{\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{3}{5}}=\sqrt{1}=1$
两种方法均得结果为1。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式化简，同级运算顺序
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是掌握二次根式的乘除运算法则，计算时注意遵循运算顺序，也可通过先化简再约分的方式简化计算过程，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：首先明确乘除属于同级运算，需按从左到右的顺序计算；其次回忆二次根式乘除的运算法则：运算时可将系数与被开方数分开分别计算，也可先将所有二次根式化为最简形式后再约分计算，最后将结果化为最简形式即可，注意不要随意改变运算顺序避免出错。
【解析】
方法1：分开计算系数与被开方数
根据二次根式乘除运算法则，同级运算从左到右进行：
原式$=(1÷3×1)×\sqrt{45÷3×\frac{3}{5}}$
先计算系数部分：$1÷3×1=\frac{1}{3}$
再计算根号内的运算：$45÷3×\frac{3}{5}=15×\frac{3}{5}=9$
因此原式$=\frac{1}{3}×\sqrt{9}=\frac{1}{3}×3=1$
方法2：先化简二次根式再计算
先将$\sqrt{45}$化为最简二次根式：$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，代入原式得：
原式$=3\sqrt{5}÷3\sqrt{3}×\sqrt{\frac{3}{5}}$
先算除法部分：$3\sqrt{5}÷3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$
再算乘法部分：$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}×\sqrt{\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{5}{3}×\frac{3}{5}}=\sqrt{1}=1$
两种方法均得结果为1。
【答案】
A
【知识点】
二次根式乘除运算，二次根式化简，同级运算顺序
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是掌握二次根式的乘除运算法则，计算时注意遵循运算顺序，也可通过先化简再约分的方式简化计算过程，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
12. 物体在做自由落体运动时，下落时间$t$(单位：s)和下落高度$h$(单位：m)近似地满足公式$t=\sqrt{\frac{h}{5}}$(不考虑其他因素影响)，则物体分别从60m、80m的高空落到地面所需时间的比值为
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
。答案
12. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
题目给出了自由落体运动中下落时间t与下落高度h的关系式，要求两个高度下落的时间比值，解题思路如下：首先分别将两个下落高度代入公式，得到对应的两个时间的表达式，再计算两个时间的比值，最后利用二次根式的除法运算法则将比值化简为最简形式，计算时可先对根号内的分式约分，降低运算难度。
【解析】
设物体从60m高空落到地面的时间为$ t_1 $，从80m高空落到地面的时间为$ t_2 $。
将$ h=60 $代入$ t=\sqrt{\frac{h}{5}} $，得：
$ t_1=\sqrt{\frac{60}{5}} $
将$ h=80 $代入$ t=\sqrt{\frac{h}{5}} $，得：
$ t_2=\sqrt{\frac{80}{5}} $
则时间比值为：
$ \frac{t_1}{t_2}=\frac{\sqrt{\frac{60}{5}}}{\sqrt{\frac{80}{5}}}=\sqrt{\frac{\frac{60}{5}}{\frac{80}{5}}}=\sqrt{\frac{60}{80}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2} $
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
二次根式的除法运算，二次根式的化简，代数式求值
【点评】
本题结合实际运动情境考查二次根式的运算，解题关键是准确代入数值，灵活运用二次根式的运算性质简化计算，最终结果要化为最简二次根式形式。
【难度系数】
0.8
题目给出了自由落体运动中下落时间t与下落高度h的关系式，要求两个高度下落的时间比值，解题思路如下：首先分别将两个下落高度代入公式，得到对应的两个时间的表达式，再计算两个时间的比值，最后利用二次根式的除法运算法则将比值化简为最简形式，计算时可先对根号内的分式约分，降低运算难度。
【解析】
设物体从60m高空落到地面的时间为$ t_1 $，从80m高空落到地面的时间为$ t_2 $。
将$ h=60 $代入$ t=\sqrt{\frac{h}{5}} $，得：
$ t_1=\sqrt{\frac{60}{5}} $
将$ h=80 $代入$ t=\sqrt{\frac{h}{5}} $，得：
$ t_2=\sqrt{\frac{80}{5}} $
则时间比值为：
$ \frac{t_1}{t_2}=\frac{\sqrt{\frac{60}{5}}}{\sqrt{\frac{80}{5}}}=\sqrt{\frac{\frac{60}{5}}{\frac{80}{5}}}=\sqrt{\frac{60}{80}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2} $
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
二次根式的除法运算，二次根式的化简，代数式求值
【点评】
本题结合实际运动情境考查二次根式的运算，解题关键是准确代入数值，灵活运用二次根式的运算性质简化计算，最终结果要化为最简二次根式形式。
【难度系数】
0.8
13.(湖南省中考改编)已知 m 为正整数，若$\sqrt{189m}$是整数，则根据$\sqrt{189m}=\sqrt{3×3×3×7m}=3\sqrt{3×7m}$可知 m 有最小值$3×7=21$.设 n 为正整数，若$\sqrt{\dfrac{300}{n}}$是大于1的整数，则 n 的最小值为
$3$
，最大值为$75$
.答案
13. 3 75
解析
【分析】
解决这道题的思路如下：首先$\sqrt{\dfrac{300}{n}}$是大于1的整数，说明被开方数$\dfrac{300}{n}$一定是大于1的完全平方数，且$n$为正整数。我们可以先对300分解质因数，找出300所有的完全平方正因数，再结合$\sqrt{\dfrac{300}{n}}＞1$的条件排除不符合的因数，最后根据$n=\dfrac{300}{\mathrm{完全平方因数}}$计算$n$的所有可能值，就能得到$n$的最小值和最大值。
【解析】
第一步：对300分解质因数：
$300=2×2×3×5×5=2^2×5^2×3$
第二步：设$\sqrt{\dfrac{300}{n}}=k$，其中$k$是大于1的正整数，两边同时平方可得：
$\dfrac{300}{n}=k^2$，变形得$n=\dfrac{300}{k^2}$
第三步：因为$n$是正整数，所以$k^2$必须是300的正因数，且$k^2＞1$。
300的完全平方正因数有$1、4、25、100$，排除$k^2=1$的情况，剩余可取的$k^2$为4、25、100，对应$n$的值分别为：
当$k^2=100$时，$n=300÷100=3$
当$k^2=25$时，$n=300÷25=12$
当$k^2=4$时，$n=300÷4=75$
【答案】
3；75
【知识点】
二次根式的性质；完全平方数；因数的应用
【点评】
本题核心是将二次根式为整数的问题，转化为被开方数是完全平方数的问题，结合正整数的限制筛选出符合条件的因数即可求解，需要注意不要遗漏$\sqrt{\dfrac{300}{n}}＞1$的限制条件。
【难度系数】
0.7
解决这道题的思路如下：首先$\sqrt{\dfrac{300}{n}}$是大于1的整数，说明被开方数$\dfrac{300}{n}$一定是大于1的完全平方数，且$n$为正整数。我们可以先对300分解质因数，找出300所有的完全平方正因数，再结合$\sqrt{\dfrac{300}{n}}＞1$的条件排除不符合的因数，最后根据$n=\dfrac{300}{\mathrm{完全平方因数}}$计算$n$的所有可能值，就能得到$n$的最小值和最大值。
【解析】
第一步：对300分解质因数：
$300=2×2×3×5×5=2^2×5^2×3$
第二步：设$\sqrt{\dfrac{300}{n}}=k$，其中$k$是大于1的正整数，两边同时平方可得：
$\dfrac{300}{n}=k^2$，变形得$n=\dfrac{300}{k^2}$
第三步：因为$n$是正整数，所以$k^2$必须是300的正因数，且$k^2＞1$。
300的完全平方正因数有$1、4、25、100$，排除$k^2=1$的情况，剩余可取的$k^2$为4、25、100，对应$n$的值分别为：
当$k^2=100$时，$n=300÷100=3$
当$k^2=25$时，$n=300÷25=12$
当$k^2=4$时，$n=300÷4=75$
【答案】
3；75
【知识点】
二次根式的性质；完全平方数；因数的应用
【点评】
本题核心是将二次根式为整数的问题，转化为被开方数是完全平方数的问题，结合正整数的限制筛选出符合条件的因数即可求解，需要注意不要遗漏$\sqrt{\dfrac{300}{n}}＞1$的限制条件。
【难度系数】
0.7
14. 计算：
(1) $\dfrac{\sqrt{48}}{2\sqrt{3}} ÷ \sqrt{2} × \dfrac{3}{\sqrt{2}}$；
(2) $\sqrt{1\dfrac{1}{2}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{6}} × \sqrt{\dfrac{1}{3}}$。
(1) $\dfrac{\sqrt{48}}{2\sqrt{3}} ÷ \sqrt{2} × \dfrac{3}{\sqrt{2}}$；
(2) $\sqrt{1\dfrac{1}{2}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{6}} × \sqrt{\dfrac{1}{3}}$。
答案
14. (1)解:原式$=2÷\sqrt{2}×\dfrac{3}{\sqrt{2}}=3.$
(2)解:原式$=\sqrt{\dfrac{3}{2}×6×\dfrac{1}{3}}=\sqrt{3}.$
(2)解:原式$=\sqrt{\dfrac{3}{2}×6×\dfrac{1}{3}}=\sqrt{3}.$
解析
【分析】
这两道题都是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：对于（1），遵循同级运算从左到右的顺序，先化简第一个二次根式的除法项，将√48化简后和分母的2√3约分得到最简结果，再将后续除法转化为乘法，利用二次根式的性质合并计算即可。对于（2），可以利用二次根式乘除的运算性质：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}×\sqrt{c}=\sqrt{a÷b×c}\ (a≥0,b＞0,c≥0)$，先把带分数化为假分数，再将所有被开方数统一放到根号下运算，简化计算步骤。
【解析】
(1) 先化简二次根式除法项：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，因此 $\dfrac{\sqrt{48}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2$
原式转化为：$2 ÷ \sqrt{2} × \dfrac{3}{\sqrt{2}}$
将除法转化为乘法合并计算：
$=2 × \dfrac{1}{\sqrt{2}} × \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{2×3}{\sqrt{2}×\sqrt{2}} = \dfrac{6}{2}=3$
(2) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$
根据二次根式乘除运算法则，将被开方数统一放到根号下运算：
原式$=\sqrt{\dfrac{3}{2} ÷ \dfrac{1}{6} × \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{2} ×6 ×\dfrac{1}{3}}$
计算根号内的乘积得$\dfrac{3}{2}×6×\dfrac{1}{3}=3$，因此原式$=\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 二次根式乘除法则
2. 二次根式的化简
3. 乘除混合运算顺序
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式乘除运算法则的应用，解题时可灵活选择运算方法，优先化简或统一放到根号下运算都可，只要遵循运算顺序、保证结果为最简形式即可。
【难度系数】
0.8
这两道题都是二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：对于（1），遵循同级运算从左到右的顺序，先化简第一个二次根式的除法项，将√48化简后和分母的2√3约分得到最简结果，再将后续除法转化为乘法，利用二次根式的性质合并计算即可。对于（2），可以利用二次根式乘除的运算性质：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}×\sqrt{c}=\sqrt{a÷b×c}\ (a≥0,b＞0,c≥0)$，先把带分数化为假分数，再将所有被开方数统一放到根号下运算，简化计算步骤。
【解析】
(1) 先化简二次根式除法项：
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，因此 $\dfrac{\sqrt{48}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=2$
原式转化为：$2 ÷ \sqrt{2} × \dfrac{3}{\sqrt{2}}$
将除法转化为乘法合并计算：
$=2 × \dfrac{1}{\sqrt{2}} × \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{2×3}{\sqrt{2}×\sqrt{2}} = \dfrac{6}{2}=3$
(2) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$
根据二次根式乘除运算法则，将被开方数统一放到根号下运算：
原式$=\sqrt{\dfrac{3}{2} ÷ \dfrac{1}{6} × \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{2} ×6 ×\dfrac{1}{3}}$
计算根号内的乘积得$\dfrac{3}{2}×6×\dfrac{1}{3}=3$，因此原式$=\sqrt{3}$
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{\sqrt{3}}$
【知识点】
1. 二次根式乘除法则
2. 二次根式的化简
3. 乘除混合运算顺序
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式乘除运算法则的应用，解题时可灵活选择运算方法，优先化简或统一放到根号下运算都可，只要遵循运算顺序、保证结果为最简形式即可。
【难度系数】
0.8
15. 通过计算发现人站在海拔高度h米上，看见的水平距离为d米，符合公式 
$d=8\sqrt{\dfrac{h}{5}}$. 已知一登山运动员从海拔n米处登上海拔2n米的山顶，求他看到的水平距离是原来的多少倍.
$d=8\sqrt{\dfrac{h}{5}}$. 已知一登山运动员从海拔n米处登上海拔2n米的山顶，求他看到的水平距离是原来的多少倍.
答案
15. 解:依题意,得$8\sqrt{\dfrac{2n}{5}} ÷ 8\sqrt{\dfrac{n}{5}}=\sqrt{\dfrac{2n}{5}×\dfrac{5}{n}}=\sqrt{2}.$ 答:他看到的水平距离是原来的$\sqrt{2}$倍.
解析
【分析】
要计算现在看到的水平距离是原来的多少倍，首先需要分别求出海拔n米、2n米处对应的水平距离，倍数关系为高处水平距离除以低处水平距离，再利用二次根式的除法运算法则化简计算即可。计算时可先约掉相同的系数，再对被开方数做除法约分，简化运算过程。
【解析】
解：设运动员在海拔n米处的水平视距为$d_1$，海拔2n米处的水平视距为$d_2$。
根据公式$d=8\sqrt{\dfrac{h}{5}}$得：
$d_1=8\sqrt{\dfrac{n}{5}}$，$d_2=8\sqrt{\dfrac{2n}{5}}$
则所求倍数为：
$\dfrac{d_2}{d_1}=\dfrac{8\sqrt{\dfrac{2n}{5}}}{8\sqrt{\dfrac{n}{5}}}$
约去系数8，根据二次根式除法法则$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ (a≥0,b＞0)$可得：
$\dfrac{d_2}{d_1}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{2n}{5}}{\dfrac{n}{5}}}=\sqrt{\dfrac{2n}{5}×\dfrac{5}{n}}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$倍
【知识点】
二次根式除法、代数式化简
【点评】
本题是二次根式运算的实际应用题，解题关键是根据题意正确列出比值表达式，再运用二次根式运算法则化简计算，计算时先约分可降低运算难度，属于基础运算考查题。
【难度系数】
0.8
要计算现在看到的水平距离是原来的多少倍，首先需要分别求出海拔n米、2n米处对应的水平距离，倍数关系为高处水平距离除以低处水平距离，再利用二次根式的除法运算法则化简计算即可。计算时可先约掉相同的系数，再对被开方数做除法约分，简化运算过程。
【解析】
解：设运动员在海拔n米处的水平视距为$d_1$，海拔2n米处的水平视距为$d_2$。
根据公式$d=8\sqrt{\dfrac{h}{5}}$得：
$d_1=8\sqrt{\dfrac{n}{5}}$，$d_2=8\sqrt{\dfrac{2n}{5}}$
则所求倍数为：
$\dfrac{d_2}{d_1}=\dfrac{8\sqrt{\dfrac{2n}{5}}}{8\sqrt{\dfrac{n}{5}}}$
约去系数8，根据二次根式除法法则$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ (a≥0,b＞0)$可得：
$\dfrac{d_2}{d_1}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{2n}{5}}{\dfrac{n}{5}}}=\sqrt{\dfrac{2n}{5}×\dfrac{5}{n}}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$倍
【知识点】
二次根式除法、代数式化简
【点评】
本题是二次根式运算的实际应用题，解题关键是根据题意正确列出比值表达式，再运用二次根式运算法则化简计算，计算时先约分可降低运算难度，属于基础运算考查题。
【难度系数】
0.8
16.(注重过程学习)老师在讲“二次根式的乘除法”时,在黑板上写出下面的一道题作为练习:
已知$\sqrt{7}=a,\sqrt{70}=b$,用含$a,b$的代数表示$\sqrt{4.9}$,小豪、小麦两位同学跑上讲台,写下了下面两种解法:
小豪: $\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×10}{10×10}}=\sqrt{\frac{490}{100}}=\sqrt{\frac{7×70}{100}}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}=\frac{ab}{10}.$
小麦: $\sqrt{4.9}=\sqrt{49×0.1}=7\sqrt{0.1}.$
因为$\sqrt{0.1}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{7}{70}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\frac{a}{b},$
所以$\sqrt{4.9}=7\sqrt{0.1}=\frac{7a}{b}.$
老师看罢,提出下面的问题:
(1)两位同学的解法都正确吗?
(2)请你再给出一种不同于两人的解法.
已知$\sqrt{7}=a,\sqrt{70}=b$,用含$a,b$的代数表示$\sqrt{4.9}$,小豪、小麦两位同学跑上讲台,写下了下面两种解法:
小豪: $\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×10}{10×10}}=\sqrt{\frac{490}{100}}=\sqrt{\frac{7×70}{100}}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}=\frac{ab}{10}.$
小麦: $\sqrt{4.9}=\sqrt{49×0.1}=7\sqrt{0.1}.$
因为$\sqrt{0.1}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{7}{70}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\frac{a}{b},$
所以$\sqrt{4.9}=7\sqrt{0.1}=\frac{7a}{b}.$
老师看罢,提出下面的问题:
(1)两位同学的解法都正确吗?
(2)请你再给出一种不同于两人的解法.
答案
16. (1)解:两位同学的解法都正确；
(2)$\because \sqrt{10}=\sqrt{\dfrac{70}{7}}=\dfrac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\dfrac{b}{a},\therefore \sqrt{4.9}=\sqrt{\dfrac{49}{10}}=\sqrt{\dfrac{49×10}{100}}=\dfrac{7}{10}\sqrt{10}=\dfrac{7b}{10a}.$(答案不唯一)
(2)$\because \sqrt{10}=\sqrt{\dfrac{70}{7}}=\dfrac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\dfrac{b}{a},\therefore \sqrt{4.9}=\sqrt{\dfrac{49}{10}}=\sqrt{\dfrac{49×10}{100}}=\dfrac{7}{10}\sqrt{10}=\dfrac{7b}{10a}.$(答案不唯一)
解析
【分析】
判断两位同学解法是否正确，需依据二次根式乘除运算法则，验证每一步变形是否符合规则，再确认最终结果是否等价。第一问：先分别检查两人的变形步骤，小豪拆分被开方数得到已知的$\sqrt{7}$、$\sqrt{70}$的乘积，符合乘法法则；小麦拆分后构造出已知根式的商，符合除法法则，且两个结果可通过$b^2=70$互推，因此都正确。第二问解题思路：先利用已知条件求出$\sqrt{10}$的表达式，再将$\sqrt{4.9}$转化为含$\sqrt{10}$的形式，代入即可得到新解法。
【解析】
(1) 验证小豪的解法：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×10}{100}}=\sqrt{\frac{7×70}{100}}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}=\frac{ab}{10}$，每一步变形均符合运算规则。
验证小麦的解法：
根据二次根式除法法则$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，$\sqrt{4.9}=\sqrt{49×0.1}=7\sqrt{0.1}$，$\sqrt{0.1}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{7}{70}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\frac{a}{b}$，因此$\sqrt{4.9}=7×\frac{a}{b}=\frac{7a}{b}$，每一步变形均符合运算规则。
又$b=\sqrt{70}$，故$b^2=70$，可推出$\frac{ab}{10}=\frac{ab^2}{10b}=\frac{70a}{10b}=\frac{7a}{b}$，两个结果等价，因此两位同学的解法都正确。
(2) 新解法如下：
先由已知条件推导$\sqrt{10}$的表达式：
$\because \sqrt{10}=\sqrt{\frac{70}{7}}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\frac{b}{a}$，
再化简$\sqrt{4.9}$：
$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×10}{100}}=\frac{7}{10}\sqrt{10}$，
将$\sqrt{10}=\frac{b}{a}$代入得：$\sqrt{4.9}=\frac{7}{10}×\frac{b}{a}=\frac{7b}{10a}$。
【答案】
(1) 两位同学的解法都正确；
(2) 示例：$\because \sqrt{10}=\sqrt{\dfrac{70}{7}}=\dfrac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\dfrac{b}{a},\therefore \sqrt{4.9}=\sqrt{\dfrac{49}{10}}=\sqrt{\dfrac{49×10}{100}}=\dfrac{7}{10}\sqrt{10}=\dfrac{7b}{10a}.$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式乘除法则，二次根式化简，代数式变形
【点评】
本题重点考查二次根式乘除运算法则的灵活应用，解题时可从不同角度拆分被开方数，结合已知条件构造对应根式即可，解法多样，能有效锻炼发散思维和运算变形能力。
【难度系数】
0.7
判断两位同学解法是否正确，需依据二次根式乘除运算法则，验证每一步变形是否符合规则，再确认最终结果是否等价。第一问：先分别检查两人的变形步骤，小豪拆分被开方数得到已知的$\sqrt{7}$、$\sqrt{70}$的乘积，符合乘法法则；小麦拆分后构造出已知根式的商，符合除法法则，且两个结果可通过$b^2=70$互推，因此都正确。第二问解题思路：先利用已知条件求出$\sqrt{10}$的表达式，再将$\sqrt{4.9}$转化为含$\sqrt{10}$的形式，代入即可得到新解法。
【解析】
(1) 验证小豪的解法：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×10}{100}}=\sqrt{\frac{7×70}{100}}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}=\frac{ab}{10}$，每一步变形均符合运算规则。
验证小麦的解法：
根据二次根式除法法则$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，$\sqrt{4.9}=\sqrt{49×0.1}=7\sqrt{0.1}$，$\sqrt{0.1}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{7}{70}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{70}}=\frac{a}{b}$，因此$\sqrt{4.9}=7×\frac{a}{b}=\frac{7a}{b}$，每一步变形均符合运算规则。
又$b=\sqrt{70}$，故$b^2=70$，可推出$\frac{ab}{10}=\frac{ab^2}{10b}=\frac{70a}{10b}=\frac{7a}{b}$，两个结果等价，因此两位同学的解法都正确。
(2) 新解法如下：
先由已知条件推导$\sqrt{10}$的表达式：
$\because \sqrt{10}=\sqrt{\frac{70}{7}}=\frac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\frac{b}{a}$，
再化简$\sqrt{4.9}$：
$\sqrt{4.9}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\sqrt{\frac{49×10}{100}}=\frac{7}{10}\sqrt{10}$，
将$\sqrt{10}=\frac{b}{a}$代入得：$\sqrt{4.9}=\frac{7}{10}×\frac{b}{a}=\frac{7b}{10a}$。
【答案】
(1) 两位同学的解法都正确；
(2) 示例：$\because \sqrt{10}=\sqrt{\dfrac{70}{7}}=\dfrac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}=\dfrac{b}{a},\therefore \sqrt{4.9}=\sqrt{\dfrac{49}{10}}=\sqrt{\dfrac{49×10}{100}}=\dfrac{7}{10}\sqrt{10}=\dfrac{7b}{10a}.$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式乘除法则，二次根式化简，代数式变形
【点评】
本题重点考查二次根式乘除运算法则的灵活应用，解题时可从不同角度拆分被开方数，结合已知条件构造对应根式即可，解法多样，能有效锻炼发散思维和运算变形能力。
【难度系数】
0.7
