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1.若一个角的补角比它的余角的4倍少$30°$，则这个角的度数是
50°
。答案
1. 50°
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆余角和补角的定义：如果两个角的和是90°，则这两个角互为余角；如果两个角的和是180°，则这两个角互为补角。我们可以先设这个角的度数为未知数，分别表示出它的补角和余角，再根据题目给出的“补角比余角的4倍少30°”这一等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$x°$。
根据补角的定义，它的补角为$(180 - x)°$；
根据余角的定义，它的余角为$(90 - x)°$。
根据题意可列方程：
$180 - x = 4(90 - x) - 30$
展开右边得：$180 - x = 360 - 4x - 30$
化简右边得：$180 - x = 330 - 4x$
移项得：$4x - x = 330 - 180$
合并同类项得：$3x = 150$
系数化为1得：$x = 50$
【答案】
$50°$
【知识点】
余角的定义、补角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题核心是准确掌握余角、补角的定义，找准题目中的等量关系列出方程求解，掌握相关概念后就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆余角和补角的定义：如果两个角的和是90°，则这两个角互为余角；如果两个角的和是180°，则这两个角互为补角。我们可以先设这个角的度数为未知数，分别表示出它的补角和余角，再根据题目给出的“补角比余角的4倍少30°”这一等量关系列出一元一次方程，解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$x°$。
根据补角的定义，它的补角为$(180 - x)°$；
根据余角的定义，它的余角为$(90 - x)°$。
根据题意可列方程：
$180 - x = 4(90 - x) - 30$
展开右边得：$180 - x = 360 - 4x - 30$
化简右边得：$180 - x = 330 - 4x$
移项得：$4x - x = 330 - 180$
合并同类项得：$3x = 150$
系数化为1得：$x = 50$
【答案】
$50°$
【知识点】
余角的定义、补角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，解题核心是准确掌握余角、补角的定义，找准题目中的等量关系列出方程求解，掌握相关概念后就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 如图,已知$∠ AOD=90°$,$OB$是$∠ AOD$内一条射线,$OC$平分$∠ BOD$,$∠ AOB$与$∠ BOC$的度数的比是$4:7$.
(1)求$∠ AOB$的度数;
(2)若以点$O$为观察中心,以$OD$为正北方向,则从方位角来说,射线$OC$表示什么方向?
(1)求$∠ AOB$的度数;
(2)若以点$O$为观察中心,以$OD$为正北方向,则从方位角来说,射线$OC$表示什么方向?
答案
2. 解:(1)因为$∠ AOB$与$∠ BOC$的度数的比是$4:7$,所以设$∠ AOB=4x°$,则$∠ BOC=7x°$. 因为 $OC$ 平分$∠ BOD$,所以$∠ COD = ∠ BOC=7x°$. 又因为$∠ AOD=∠ AOB+∠ BOC+∠ COD=90°$,所以 $4x+7x+7x=90$,解得 $x=5$. 所以$∠ AOB=4x=4×5=20°$;(2)由(1)得$∠ COD=7×5°=35°$. 因为点 $O$ 为观察中心,$OD$ 为正北方向,则$OA$ 为正东方向,所以射线 $OC$ 表示北偏东 $35°$ 方向.
解析
【分析】
（1）遇到角度的比例关系，可通过设参数的方法表示各个角的度数：设∠AOB=4x°，则∠BOC=7x°；再结合OC平分∠BOD，可得∠COD=∠BOC=7x°；观察图形可知∠AOD是∠AOB、∠BOC、∠COD三个角的和，已知∠AOD=90°，据此列方程求解x，即可得到∠AOB的度数。
（2）先根据第一问的结果算出∠COD的度数，结合OD为正北方向，可知OA为正东方向，OC位于正北方向的东侧，与正北方向OD的夹角为∠COD的度数，即可确定OC的方位角。
【解析】
(1) 已知∠AOB与∠BOC的度数比是4:7，设∠AOB=4x°，则∠BOC=7x°。
∵ OC平分∠BOD，根据角平分线的定义，
∴ ∠COD=∠BOC=7x°。
又
∵ ∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=90°，代入得：
$4x + 7x + 7x = 90$
合并同类项得$18x=90$，解得$x=5$。
∴ $∠ AOB=4x°=4×5°=20°$。
(2) 由(1)可得$∠ COD=7x°=7×5°=35°$。
∵ 以O为观察中心，OD为正北方向，$∠ AOD=90°$，则OA为正东方向，
∴ 射线OC在正北方向东侧，与正北方向OD的夹角为35°，即射线OC表示北偏东35°方向。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；(2) $\boldsymbol{北偏东35°}$方向
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，方位角的应用
【点评】
本题是角的计算的典型题型，通过设参数建立方程求解角度的方法十分常用，解题的核心是准确梳理图中各个角之间的和差关系、倍数关系，结合方位角的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）遇到角度的比例关系，可通过设参数的方法表示各个角的度数：设∠AOB=4x°，则∠BOC=7x°；再结合OC平分∠BOD，可得∠COD=∠BOC=7x°；观察图形可知∠AOD是∠AOB、∠BOC、∠COD三个角的和，已知∠AOD=90°，据此列方程求解x，即可得到∠AOB的度数。
（2）先根据第一问的结果算出∠COD的度数，结合OD为正北方向，可知OA为正东方向，OC位于正北方向的东侧，与正北方向OD的夹角为∠COD的度数，即可确定OC的方位角。
【解析】
(1) 已知∠AOB与∠BOC的度数比是4:7，设∠AOB=4x°，则∠BOC=7x°。
∵ OC平分∠BOD，根据角平分线的定义，
∴ ∠COD=∠BOC=7x°。
又
∵ ∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=90°，代入得：
$4x + 7x + 7x = 90$
合并同类项得$18x=90$，解得$x=5$。
∴ $∠ AOB=4x°=4×5°=20°$。
(2) 由(1)可得$∠ COD=7x°=7×5°=35°$。
∵ 以O为观察中心，OD为正北方向，$∠ AOD=90°$，则OA为正东方向，
∴ 射线OC在正北方向东侧，与正北方向OD的夹角为35°，即射线OC表示北偏东35°方向。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$；(2) $\boldsymbol{北偏东35°}$方向
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，方位角的应用
【点评】
本题是角的计算的典型题型，通过设参数建立方程求解角度的方法十分常用，解题的核心是准确梳理图中各个角之间的和差关系、倍数关系，结合方位角的定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，∠BOD在∠AOC的内部，且∠BOD与∠AOC互补，OD平分∠AOC.
(1)若OB平分∠COD，求∠BOD的度数；
(2)若∠BOD:∠BOC=4:5，求∠BOD的度数.
(1)若OB平分∠COD，求∠BOD的度数；
(2)若∠BOD:∠BOC=4:5，求∠BOD的度数.
答案
3. 解:(1)设$∠ BOD=x°$. 因为$OD$平分$∠ AOC$,$OB$ 平分$∠ COD$,所以$∠ COD=2∠ BOD=2x°$,$∠ AOC=2∠ COD=2×2x°=4x°$. 因为$∠ BOD$ 与$∠ AOC$ 互补,所以$∠ BOD+∠ AOC=180°$,所以 $x+4x=180$,解得$x=36$,所以$∠ BOD=36°$;(2)由$∠ BOD:∠ BOC=4:5$,可设$∠ BOD=4y°$,则$∠ BOC=5y°$,所以$∠ COD=∠ BOD+∠ BOC=4y°+5y°=9y°$. 因为 $OD$ 平分$∠ AOC$,所以$∠ AOC=2∠ COD=2×9y°=18y°$. 因为$∠ BOD$ 与$∠ AOC$ 互补,所以$∠ BOD+∠ AOC=180°$,所以 $4y+18y=180$,解得 $y=\dfrac{90}{11}$. 所以$∠ BOD=4y°=4×(\dfrac{90}{11})°=\dfrac{360°}{11}$.
解析
【分析】
解题时优先梳理已知条件：角平分线对应角的倍分关系，两角互补对应和为180°。(1)问可设∠BOD为未知数，结合两次角平分线的性质，推导∠AOC与∠BOD的倍数关系，再利用互补的等量关系列方程求解；(2)问给出角的比例，可按比例设参数表示两个角，先求∠COD的表达式，再结合角平分线性质得到∠AOC的表达式，最后利用互补关系列方程求解参数即可。
【解析】
(1) 设$∠ BOD=x°$。
因为$OD$平分$∠ AOC$，$OB$平分$∠ COD$，
所以$∠ COD=2∠ BOD=2x°$，$∠ AOC=2∠ COD=2×2x°=4x°$。
因为$∠ BOD$与$∠ AOC$互补，即两角和为$180°$，
所以$∠ BOD+∠ AOC=180°$，代入得$x+4x=180$，
解得$x=36$，即$∠ BOD=36°$。
(2) 由$∠ BOD:∠ BOC=4:5$，设$∠ BOD=4y°$，则$∠ BOC=5y°$，
所以$∠ COD=∠ BOD+∠ BOC=4y°+5y°=9y°$。
因为$OD$平分$∠ AOC$，
所以$∠ AOC=2∠ COD=2×9y°=18y°$。
因为$∠ BOD$与$∠ AOC$互补，
所以$∠ BOD+∠ AOC=180°$，代入得$4y+18y=180$，
解得$y=\dfrac{90}{11}$，
所以$∠ BOD=4y°=4×(\dfrac{90}{11})°=\dfrac{360}{11}°$。
【答案】
(1)$36°$；(2)$\dfrac{360}{11}°$
【知识点】
角平分线的定义；补角的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题型，核心是结合已知性质理清各角的数量关系，运用方程思想简化计算，解题时需注意区分图中各角的位置，避免错判角的和差关系。
【难度系数】
0.7
解题时优先梳理已知条件：角平分线对应角的倍分关系，两角互补对应和为180°。(1)问可设∠BOD为未知数，结合两次角平分线的性质，推导∠AOC与∠BOD的倍数关系，再利用互补的等量关系列方程求解；(2)问给出角的比例，可按比例设参数表示两个角，先求∠COD的表达式，再结合角平分线性质得到∠AOC的表达式，最后利用互补关系列方程求解参数即可。
【解析】
(1) 设$∠ BOD=x°$。
因为$OD$平分$∠ AOC$，$OB$平分$∠ COD$，
所以$∠ COD=2∠ BOD=2x°$，$∠ AOC=2∠ COD=2×2x°=4x°$。
因为$∠ BOD$与$∠ AOC$互补，即两角和为$180°$，
所以$∠ BOD+∠ AOC=180°$，代入得$x+4x=180$，
解得$x=36$，即$∠ BOD=36°$。
(2) 由$∠ BOD:∠ BOC=4:5$，设$∠ BOD=4y°$，则$∠ BOC=5y°$，
所以$∠ COD=∠ BOD+∠ BOC=4y°+5y°=9y°$。
因为$OD$平分$∠ AOC$，
所以$∠ AOC=2∠ COD=2×9y°=18y°$。
因为$∠ BOD$与$∠ AOC$互补，
所以$∠ BOD+∠ AOC=180°$，代入得$4y+18y=180$，
解得$y=\dfrac{90}{11}$，
所以$∠ BOD=4y°=4×(\dfrac{90}{11})°=\dfrac{360}{11}°$。
【答案】
(1)$36°$；(2)$\dfrac{360}{11}°$
【知识点】
角平分线的定义；补角的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题型，核心是结合已知性质理清各角的数量关系，运用方程思想简化计算，解题时需注意区分图中各角的位置，避免错判角的和差关系。
【难度系数】
0.7
4. 如图,已知OC是∠AOB内部任意的一条射线,OM,ON分别是∠AOC,∠BOC的平分线.
(1)图中有几个小于平角的角?
(2)若∠AOM=20°,∠BON=30°,求∠MON的度数;
(3)若∠AOB=α,求∠MON的度数.
(1)图中有几个小于平角的角?
(2)若∠AOM=20°,∠BON=30°,求∠MON的度数;
(3)若∠AOB=α,求∠MON的度数.
答案
4. 解:(1)图中小于平角的角有:$∠ BON,∠ CON,∠ COM,∠ AOM,∠ AOC,∠ MON,∠ COB,∠ BOM,∠ AON,∠ AOB$ 共 10 个;(2)因为 $OM,ON$ 分别是$∠ AOC,∠ BOC$ 的平分线,所以$∠ MOC=∠ AOM=20°$,$∠ NOC=∠ BON=30°$,所以$∠ MON=∠ MOC+∠ NOC=20°+30°=50°$;(3)因为 $OM,ON$ 分别是$∠ AOC,∠ BOC$的平分线,所以$∠ MOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC$,$∠ NOC=\dfrac{1}{2}∠ BOC$,所以$∠ MON=∠ MOC+∠ NOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC+\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOB$. 因为$∠ AOB=α$,所以$∠ MON=\dfrac{1}{2}α$.
解析
【分析】
(1) 数小于平角的角时，可采用固定端点按顺序计数的方法，避免重复或遗漏：以O为顶点，从最下方的边OB开始，依次和上方的射线组合得到角，再以ON为始边和上方射线组合，以此类推，最后加总得到总数；
(2) 根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个相等的角，可得∠MOC=∠AOM，∠NOC=∠BON，而∠MON是这两个角的和，代入已知度数计算即可；
(3) 沿用第二问的推导思路，将具体数值替换为代数式，利用整体思想把∠AOC+∠BOC替换为∠AOB，即可推出∠MON和∠AOB的数量关系，代入∠AOB=α求解即可。
【解析】
(1) 按顺序计数小于平角的角：
以OB为始边：∠BON、∠BOC、∠BOM、∠AOB，共4个；
以ON为始边：∠CON、∠MON、∠AON，共3个；
以OC为始边：∠COM、∠AOC，共2个；
以OM为始边：∠AOM，共1个；
总个数为$4+3+2+1=10$个。
(2) 因为OM是∠AOC的平分线，所以$∠ MOC=∠ AOM=20°$；
因为ON是∠BOC的平分线，所以$∠ NOC=∠ BON=30°$；
所以$∠ MON=∠ MOC+∠ NOC=20°+30°=50°$。
(3) 因为OM是∠AOC的平分线，所以$∠ MOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC$；
因为ON是∠BOC的平分线，所以$∠ NOC=\dfrac{1}{2}∠ BOC$；
所以$∠ MON=∠ MOC+∠ NOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC+\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，
又因为$∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB=α$，
所以$∠ MON=\dfrac{1}{2}α$。
【答案】
(1) 10个；
(2) $50°$；
(3) $\dfrac{1}{2}α$
【知识点】
角的计数，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的基础题型，既考查了有序计数的方法，又巩固了角平分线的性质，第三问的推导体现了整体代换的数学思想，是角度计算类题目的常考模型。
【难度系数】
0.8
(1) 数小于平角的角时，可采用固定端点按顺序计数的方法，避免重复或遗漏：以O为顶点，从最下方的边OB开始，依次和上方的射线组合得到角，再以ON为始边和上方射线组合，以此类推，最后加总得到总数；
(2) 根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个相等的角，可得∠MOC=∠AOM，∠NOC=∠BON，而∠MON是这两个角的和，代入已知度数计算即可；
(3) 沿用第二问的推导思路，将具体数值替换为代数式，利用整体思想把∠AOC+∠BOC替换为∠AOB，即可推出∠MON和∠AOB的数量关系，代入∠AOB=α求解即可。
【解析】
(1) 按顺序计数小于平角的角：
以OB为始边：∠BON、∠BOC、∠BOM、∠AOB，共4个；
以ON为始边：∠CON、∠MON、∠AON，共3个；
以OC为始边：∠COM、∠AOC，共2个；
以OM为始边：∠AOM，共1个；
总个数为$4+3+2+1=10$个。
(2) 因为OM是∠AOC的平分线，所以$∠ MOC=∠ AOM=20°$；
因为ON是∠BOC的平分线，所以$∠ NOC=∠ BON=30°$；
所以$∠ MON=∠ MOC+∠ NOC=20°+30°=50°$。
(3) 因为OM是∠AOC的平分线，所以$∠ MOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC$；
因为ON是∠BOC的平分线，所以$∠ NOC=\dfrac{1}{2}∠ BOC$；
所以$∠ MON=∠ MOC+∠ NOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC+\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，
又因为$∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB=α$，
所以$∠ MON=\dfrac{1}{2}α$。
【答案】
(1) 10个；
(2) $50°$；
(3) $\dfrac{1}{2}α$
【知识点】
角的计数，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题是角的运算的基础题型，既考查了有序计数的方法，又巩固了角平分线的性质，第三问的推导体现了整体代换的数学思想，是角度计算类题目的常考模型。
【难度系数】
0.8
