13. 如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,使∠α与∠β互余的摆放方式是 ()


A.图①
B.图②
C.图③
D.图④

13.A

【分析】
解题时首先要明确互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余。接下来结合三角板的直角特征、平角为180°的性质，逐一分析4种摆放方式中∠α和∠β的角度和，即可判断是否互余。
【解析】
我们逐个分析各图：
1. 图①：三个角组成平角，中间角为三角板的直角90°，因此$∠α + ∠β + 90° = 180°$，可得$∠α + ∠β = 90°$，两角互余，符合要求；
2. 图②：$∠α$和中间公共角的和为90°，$∠β$和同一个公共角的和也为90°，根据同角的余角相等，可得$∠α=∠β$，和不一定为90°，不互余；
3. 图③：$∠α + 45° = 180°$，$∠β + 45° = 180°$，可得$∠α=∠β=135°$，$∠α+∠β=270°$，不互余；
4. 图④：$∠α$和$∠β$为同角的补角，因此$∠α=∠β$，和不一定为90°，不互余。
综上只有图①符合要求。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；平角的性质；三角板角度特征
【点评】
本题结合三角板的摆放考查两角互余的判定，解题核心是熟练掌握余角的定义，结合图形的角度特征推导两个角的和，是基础类角度关系考题。
【难度系数】
0.8

14. 如图,在同一平面内,$∠AOB=∠COD=90°,∠COE=∠BOE$,点F为OE反向延长线上一点(图中所有角均指小于$180°$的角).下列结论中,正确的有 ()
①$∠AOE=∠DOE$;
②$∠AOD+∠COB=180°$;
③$∠COB-∠AOD=90°$;
④$∠COE+∠BOF=180°$.

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

14.B

【分析】
解题时先结合已知的直角条件，利用角的和差关系、等角的性质、平角的定义，逐个验证4个结论是否成立即可。
【解析】
我们逐个判断结论：
1. 验证结论①：
已知$∠ AOB=∠ COD=90°$，所以$∠ AOC + ∠ AOD = 90°$，$∠ BOD + ∠ AOD = 90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ AOC=∠ BOD$。
又已知$∠ COE=∠ BOE$，所以$∠ AOC + ∠ COE = ∠ BOD + ∠ BOE$，即$∠ AOE=∠ DOE$，故①正确。
2. 验证结论②：
$∠ COB = ∠ COD + ∠ BOD = 90° + ∠ BOD$，$∠ AOD = ∠ AOB - ∠ BOD = 90° - ∠ BOD$，
则$∠ AOD + ∠ COB = (90° - ∠ BOD) + (90° + ∠ BOD) = 180°$，故②正确。
3. 验证结论③：
$∠ COB - ∠ AOD = (90° + ∠ BOD) - (90° - ∠ BOD) = 2∠ BOD$，仅当$∠ BOD=45°$时结果为$90°$，并非恒成立，故③错误。
4. 验证结论④：
点$F$是$OE$反向延长线上的点，所以$∠ EOF$是平角，即$∠ BOF + ∠ BOE = 180°$，
又已知$∠ COE=∠ BOE$，代入可得$∠ COE + ∠ BOF = 180°$，故④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
余角的性质，补角的性质，角的和差计算
【点评】
本题围绕角的相关性质设置，需要结合已知条件逐一推导结论，解题的核心是熟练运用角的和差关系、余角补角的性质，注意推导时要保证逻辑严谨，不要想当然判断结论。
【难度系数】
0.6

15.已知一个角的余角是这个角的补角的$\frac{1}{3}$，则这个角的度数是。

15.$45°$

【分析】
解题时先根据余角、补角的定义，若设这个角的度数为x，可分别表示出它的余角和补角，再结合题目给出的“余角是补角的$\frac{1}{3}$”这一等量关系列方程，求解方程即可得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$x°$。
根据余角的定义，这个角的余角为$(90 - x)°$；根据补角的定义，这个角的补角为$(180 - x)°$。
由题意得：
$90 - x = \frac{1}{3}(180 - x)$
方程两边同时乘3得：
$270 - 3x = 180 - x$
移项、合并同类项得：
$2x = 90$
系数化为1得：
$x = 45$
【答案】
$45°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；列方程解应用题
【点评】
本题是余角补角相关的基础题型，核心是掌握余角和补角的概念，结合方程思想求解角度，只要找准等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

16.如图,把一张长方形纸片的一角任意折向长方形内,使点B落在点$B'$的位置,折痕为EF,再把CF折叠,使点C落在点$C'$的位置,折痕为GF,$C'F$与$FB'$在同一条直线上.
(1)分别直接写出$∠1$与$∠CFE$、$∠2$与$∠BFG$之间的数量关系;
(2)直接写出$∠1$与$∠2$之间的数量关系;
(3)直接写出$∠EFG$是什么角.

16.解:(1)$∠1+∠CFE=180°,∠2+∠BFG=180°$;(2)$∠1+∠2=90°$;(3)$∠EFG$是直角.

【分析】
解题时结合折叠的性质、邻补角和平角的定义逐步推导：
1. 第(1)问：观察到∠1与∠CFE、∠2与∠BFG分别是邻补角，根据邻补角和为180°即可得到对应数量关系。
2. 第(2)问：根据折叠前后对应角相等，可得∠1=∠EFB'，∠2=∠GFC'，再结合四个角的和为平角180°，化简即可得到∠1与∠2的关系。
3. 第(3)问：将∠EFG拆分为∠EFB'+∠GFC'，结合第(2)问的结论即可判断角的类型。
【解析】
(1) 由于点C、F、B共线，∠1和∠CFE是邻补角，因此$\boldsymbol{∠1 + ∠CFE = 180°}$；
同理，∠2和∠BFG是邻补角，因此$\boldsymbol{∠2 + ∠BFG = 180°}$。
(2) 由折叠性质得：∠1=∠EFB'，∠2=∠GFC'，
根据平角定义，$∠1 + ∠ EFB' + ∠2 + ∠ GFC' = 180°$，
代入等量关系得$2∠1 + 2∠2 = 180°$，化简得$\boldsymbol{∠1 + ∠2 = 90°}$。
(3) $∠ EFG = ∠ EFB' + ∠ GFC' = ∠1 + ∠2 = 90°$，因此$\boldsymbol{∠EFG}$是直角。
【答案】
(1)$∠1+∠CFE=180°$，$∠2+∠BFG=180°$；
(2)$∠1+∠2=90°$；
(3)直角
【知识点】
折叠的性质，邻补角定义，直角的判定
【点评】
本题结合折叠变换考查角的运算，核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角、邻补角的特征推导，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

17.(芜湖无为市期末)如图①,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC=60°.将一直角三角尺的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图①中的三角尺绕点O逆时针旋转至图②,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,求∠CON与∠AOM的度数;
(2)将图①中的三角尺绕点O顺时针旋转至图③,使ON在∠AOC的内部.请探究:∠CON与∠AOM之间的数量关系,并说明理由;
(3)将图①中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t s时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为.(直接写出结果)

17.解:(1)因为$∠AOC=60°$,所以$∠BOC=180°-∠AOC=180°-60°=120°$. 又因为OM平分$∠BOC$,所以$∠COM=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×120°=60°$,所以$∠CON=∠COM+∠MON=60°+90°=150°$,$∠AOM=∠AOC+∠COM=60°+60°=120°$;(2)$∠AOM-∠CON=30°$.理由如下:因为$∠MON=90°,∠AOC=60°$,所以$∠AOM=90°-∠AON$,$∠CON=60°-∠AON$,所以$∠AOM-∠CON=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)=90°-∠AON-60°+∠AON=30°$;(3)12 或 30

【分析】
本题是三角尺旋转相关的角计算问题，分三小问梳理思路：
(1) 首先根据平角为180°，结合已知∠AOC=60°算出∠BOC的度数，再利用角平分线的性质得到∠COM的度数，最后根据角的和差关系分别计算∠CON和∠AOM即可。
(2) 要探究∠CON和∠AOM的数量关系，可把两个角都用公共角∠AON表示出来，再作差消去公共角，就能得到两个角的固定差值。
(3) 直线ON平分锐角∠AOC存在两种情况：第一种是ON在∠AOC内部，直接平分∠AOC；第二种是ON的反向延长线平分∠AOC，分别算出两种情况三角尺旋转的角度，再除以旋转速度10°/s即可得到t的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知点O在直线AB上，故∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-60°=120°，
∵OM平分∠BOC，
∴$∠ COM=∠ BOM=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∵三角尺的直角$∠ MON=90°$，
∴$∠ CON=∠ COM+∠ MON=60°+90°=150°$，
$∠ AOM=∠ AOC+∠ COM=60°+60°=120°$。
(2) $\boldsymbol{∠AOM - ∠CON = 30°}$，理由如下：
∵$∠ MON=90°$，$∠ AOC=60°$，
∴$∠ AOM=∠ MON - ∠ AON=90°-∠ AON$，
$∠ CON=∠ AOC - ∠ AON=60°-∠ AON$，
∴$∠ AOM - ∠ CON=(90°-∠ AON)-(60°-∠ AON)=30°$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当ON在∠AOC内部、平分∠AOC时，$∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOC=30°$，此时三角尺顺时针旋转的角度为120°，可得$t=\frac{120°}{10°}=12$；
② 当ON的反向延长线平分∠AOC时，此时三角尺顺时针旋转的角度为300°，可得$t=\frac{300°}{10°}=30$。
【答案】
(1)$∠ CON=150°$，$∠ AOM=120°$；(2)$∠ AOM-∠ CON=30°$；(3)12或30
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，旋转的性质
【点评】
本题结合三角板旋转考查角的相关计算，前两问侧重角的和差与角平分线性质的应用，第三问需要分类讨论直线平分角的两种情况，避免漏解，能很好地锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6