5. (池州东至县期末)已知$∠ AOB=60°$.
(1)如图①,OC为$∠ AOB$内部任意一条射线,OM平分$∠ AOC$,ON平分$∠ BOC$,则$∠ MON$的度数为;
(2)如图②,当OC转到$∠ AOB$的外部时,OM平分$∠ AOC$,ON平分$∠ BOC$,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
(3)如图③,当OC旋转到$∠ AOB$($∠ BOC＜120°$)的外部且射线OC在OB的下方时,OM平分$∠ AOC$,射线ON在$∠ BOC$内部,$∠ NOC=\dfrac{1}{4}∠ BOC$,求$∠ COM-\dfrac{2}{3}∠ BON$的度数.

5. 解:(1)$30°$ (2)(1)中的结论还成立.理由如下:当 $OC$ 旋转到$∠ AOB$ 的外部时,因为 $OM$ 平分$∠ AOC$,$ON$ 平分$∠ BOC$,$∠ AOB=60°$,所以$∠ MOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC$,$∠ NOC=\dfrac{1}{2}∠ BOC$,所以 $∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC-\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOB=\dfrac{1}{2}×60°=30°$. 所以(1)中$∠ MON=30°$仍成立;(3)当 $OC$ 旋转到$∠ AOB$($∠ BOC＜120°$)的外部且射线 $OC$ 在 $OB$ 的下方时,因为 $OM$ 平分$∠ AOC$,$∠ NOC=\dfrac{1}{4}∠ BOC$,所以$∠ COM=\dfrac{1}{2}∠ AOC$,$∠ BON=∠ BOC-∠ CON=∠ BOC-\dfrac{1}{4}∠ BOC=\dfrac{3}{4}∠ BOC$,所以 $∠ COM-\dfrac{2}{3}∠ BON=\dfrac{1}{2}∠ AOC-\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{4}∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC-\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOB=\dfrac{1}{2}×60°=30°$.

【分析】
(1) 已知OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，先根据角平分线定义将∠MOC、∠NOC分别用∠AOC、∠BOC表示，观察可得∠MON是∠MOC与∠NOC的和，合并后刚好等于∠AOB的一半，代入∠AOB的度数即可求解。
(2) OC在∠AOB外部时，仍先利用角平分线定义表示∠MOC和∠NOC，此时∠MON为∠MOC与∠NOC的差，合并后可发现差值仍为∠AOB的一半，因此结论成立。
(3) 先根据角平分线定义表示∠COM，再结合∠NOC和∠BOC的关系，用∠BOC表示出∠BON，将两者代入所求代数式化简，最终可转化为∠AOB的一半，代入度数即可得到定值。
【解析】
(1) 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以$∠ MOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC$，$∠ NOC=\dfrac{1}{2}∠ BOC$，因此$∠ MON=∠ MOC+∠ NOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOB=\dfrac{1}{2}×60°=30°$。
(2) (1)中的结论还成立，理由如下：
因为OM平分$∠ AOC$，ON平分$∠ BOC$，所以$∠ MOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC$，$∠ NOC=\dfrac{1}{2}∠ BOC$，因此$∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC-\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)$，又因为$∠ AOC-∠ BOC=∠ AOB=60°$，所以$∠ MON=\dfrac{1}{2}×60°=30°$，故(1)的结论仍成立。
(3) 因为OM平分$∠ AOC$，所以$∠ COM=\dfrac{1}{2}∠ AOC$，又因为$∠ NOC=\dfrac{1}{4}∠ BOC$，所以$∠ BON=∠ BOC-∠ CON=∠ BOC-\dfrac{1}{4}∠ BOC=\dfrac{3}{4}∠ BOC$，因此$∠ COM-\dfrac{2}{3}∠ BON=\dfrac{1}{2}∠ AOC-\dfrac{2}{3}×\dfrac{3}{4}∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ AOC-\dfrac{1}{2}∠ BOC=\dfrac{1}{2}(∠ AOC-∠ BOC)$，又因为$∠ AOC-∠ BOC=∠ AOB=60°$，所以原式$=\dfrac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30°}$；(2) 成立，理由见解析；(3) $\boldsymbol{30°}$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算；整体代入求值
【点评】
本题考查角的相关计算，解题关键是灵活运用角平分线的性质表示相关角的度数，无需求解未知角的具体数值，通过代数式变形将所求式子转化为与已知角相关的形式，整体代入即可得到定值，能有效锻炼学生分析图形中角的数量关系的能力。
【难度系数】
0.65

6.已知∠AOB=100°,∠BOC=60°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,那么∠MON的度数为.

6. $20°$或$80°$

【分析】
本题未明确OC与∠AOB的位置关系，需分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部，②OC在∠AOB外部。首先根据角平分线的定义，分别求出∠BOM（OM平分∠AOB得到的角）和∠BON（ON平分∠BOC得到的角）的度数，再结合两种位置下∠MON与∠BOM、∠BON的和差关系计算∠MON的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
情况1：当OC在∠AOB内部时，
∵OM平分∠AOB，∠AOB=100°，
∴∠BOM = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×100° = 50°，
∵ON平分∠BOC，∠BOC=60°，
∴∠BON = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，
∴∠MON = ∠BOM - ∠BON = 50° - 30° = 20°；
情况2：当OC在∠AOB外部时，
同理可得∠BOM=50°，∠BON=30°，
此时∠MON = ∠BOM + ∠BON = 50° + 30° = 80°。
综上，∠MON的度数为20°或80°。
【答案】
$20°$或$80°$
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题是角的计算类常见题型，易错点是忽略OC位置的不确定性导致漏解，解题时可结合题意画出不同位置的示意图，借助图形分析角之间的和差关系更直观准确。
【难度系数】
0.6

7.已知射线OC是∠AOB的平分线，射线OD是∠AOC的三等分线，且∠AOB=72°，则∠COD的度数为.

7. $12°$或$24°$

【分析】
首先根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，接下来要注意：角的三等分线存在两种不同的位置，一种靠近∠AOC的边OA，另一种靠近边OC，因此需要分两种情况分类讨论计算∠COD的度数，避免漏解。
【解析】
解：
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB=72°
∴$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×72°=36°$
∵OD是∠AOC的三等分线，分两种情况讨论：
① 当$∠ AOD=\frac{1}{3}∠ AOC$时：
$∠ AOD=\frac{1}{3}×36°=12°$
此时$∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=36°-12°=24°$
② 当$∠ AOD=\frac{2}{3}∠ AOC$时：
$∠ AOD=\frac{2}{3}×36°=24°$
此时$∠ COD=∠ AOC-∠ AOD=36°-24°=12°$
综上，∠COD的度数为12°或24°。
【答案】
$12°$或$24°$
【知识点】
角平分线的定义，角的三等分线，分类讨论思想
【点评】
本题考查角的等分线相关计算，解题关键是明确角的三等分线有两种位置，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

8. 如图，点 O 在直线 AB 上，∠AOD = 2∠BOD，OE 平分∠AOD，过点 O 作射线 OF，使∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD，求∠EOF 的度数.

8. 解:因为$∠ AOD+∠ BOD=180°$,$∠ AOD=2∠ BOD$,所以 $3∠ BOD=180°$,所以$∠ BOD=60°$,所以$∠ AOD=120°$. 因为 $OE$ 平分$∠ AOD$,所以$∠ DOE=\dfrac{1}{2}∠ AOD=\dfrac{1}{2}×120°=60°$. 因为$∠ DOF=\dfrac{1}{2}∠ BOD$,所以$∠ DOF=\dfrac{1}{2}×60°=30°$. 分两种情况讨论:①当射线 $OF$ 在 $OD$ 右侧时,如,$∠ EOF=∠ DOE+∠ DOF=60°+30°=90°$. ②当射线 $OF$ 在 $OD$ 左侧时,如,$∠ EOF=∠ DOE-∠ DOF=60°-30°=30°$. 综上所述,$∠ EOF$ 的度数为 $30°$或$90°$.

【分析】
首先根据点O在直线AB上，可知∠AOD与∠BOD组成平角，和为180°，结合∠AOD=2∠BOD的数量关系，可先求出∠BOD和∠AOD的度数；再根据角平分线的定义求出∠DOE的度数，结合∠DOF与∠BOD的数量关系求出∠DOF的度数；由于题目未明确射线OF的位置，需分OF在OD右侧、OF在OD左侧两种情况，分别通过角的和差运算计算∠EOF的度数即可。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOD + ∠BOD = 180°，
又
∵∠AOD = 2∠BOD，
∴3∠BOD = 180°，解得∠BOD = 60°，
∴∠AOD = 2×60° = 120°。
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE = $\dfrac{1}{2}$∠AOD = $\dfrac{1}{2}$×120° = 60°。
∵∠DOF = $\dfrac{1}{2}$∠BOD，
∴∠DOF = $\dfrac{1}{2}$×60° = 30°。
分两种情况讨论：
①当射线OF在OD右侧时，如，
∠EOF = ∠DOE + ∠DOF = 60° + 30° = 90°；
②当射线OF在OD左侧时，如，
∠EOF = ∠DOE - ∠DOF = 60° - 30° = 30°。
综上所述，∠EOF的度数为30°或90°。
【答案】
∠EOF的度数为$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题重点考查角的相关计算，解题时需先利用已知的角的倍数关系结合平角性质求出基础角的度数，易错点是容易忽略射线OF位置的不确定性，漏算其中一种情况，解题时要养成分类讨论的习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.6