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1. 当用公式法解方程$2x^2 - 1 = 3x$时，$b^2 - 4ac$的值为（
A.2
B.-3
C.17
D.-1
C
）A.2
B.-3
C.17
D.-1
答案
1.C 解析:
∵ 原方程可变形为 $2x^2-3x-1=0,\therefore a=2,b=-3,c=-1,\therefore b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=17$.故选 C.
∵ 原方程可变形为 $2x^2-3x-1=0,\therefore a=2,b=-3,c=-1,\therefore b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-1)=17$.故选 C.
2. (2026·中山月考)$x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4×2×1}}{2×2}$是下列哪个一元二次方程的根？（
A.$2x^2+3x+1=0$
B.$2x^2-3x+1=0$
C.$2x^2+3x-1=0$
D.$2x^2-3x-1=0$
A
）A.$2x^2+3x+1=0$
B.$2x^2-3x+1=0$
C.$2x^2+3x-1=0$
D.$2x^2-3x-1=0$
答案
2.A 解析:对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0),x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\because x=\dfrac{-3\pm \sqrt{3^2-4×2×1}}{2×2},\therefore -b=-3$, 即 $b=3;2a=4$, 即 $a=2.\because b^2-4ac=3^2-4×2×1,\therefore c=1$, 故方程为 $2x^2+3x+1=0$,故选 A.
3. 利用公式法可得一元二次方程$2x^2 -4x -1=0$的两根为$a,b$，且$a＞b$，则$a$的值为（
A.$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
B.$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$
C.$\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$
D.$\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$
A
）A.$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$
B.$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$
C.$\frac{-2+\sqrt{6}}{2}$
D.$\frac{-2-\sqrt{6}}{2}$
答案
3.A 解析:$2x^2-4x-1=0,\therefore a=2,b=-4,c=-1,\therefore \Delta=(-4)^2-4×2×(-1)=24＞0,\therefore x=\frac{4\pm \sqrt{24}}{2×2}=\frac{2\pm\sqrt{6}}{2}.\because$ 一元二次方程 $2x^2-4x-1=0$ 的两根为 $a,b$, 且 $a＞b,\therefore a$ 的值为 $\frac{2+\sqrt{6}}{2}$.故选 A.
4.（河南中考）一元二次方程$(x+1)(x-1)=2x+3$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
4.A 解析:原方程可化为 $x^2-2x-4=0,\therefore a=1,b=-2,c=-4,\therefore \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-4)=20＞0,\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.故选 A.
5. 关于$x$的一元二次方程$3x^2 -7x + m +2=0$根的判别式的值是6，则此方程的根为
$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$
。答案
5.$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$ 解析:$\because 3x^2-7x+m+2=0$ 根的判别式的值是 $6＞0,\therefore x=\frac{7\pm\sqrt{6}}{2×3}=\frac{7\pm\sqrt{6}}{6},\therefore x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$,故答案为 $x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$.
6. (1)(上海中考)已知关于x的一元二次方程$ax^2+6x+1=0$没有实数根，那么a的取值范围是
(2)新趋势 开放性试题 (济南中考)关于x的一元二次方程$x^2-4x+2a=0$有实数根，则a的值可以是
(3)(舟山中考改编)在$x^2+$
$a＞9$
.(2)新趋势 开放性试题 (济南中考)关于x的一元二次方程$x^2-4x+2a=0$有实数根，则a的值可以是
1(答案不唯一)
(写出一个即可).(3)(舟山中考改编)在$x^2+$
$4x或(-4x)$
$+4=0$的横线上添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根.答案
6.(1)$a＞9$ 解析:$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+6x+1=0$ 没有实数根, $\therefore \Delta＜0$, 即 $6^2-4a＜0$, 解得 $a＞9$.
(2)1(答案不唯一) 解析:$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4x+2a=0$ 有实数根, $\therefore \Delta=16-8a\ge0$, 解得 $a\le2$, 则 $a$ 的值可以是 1.
(3)$4x$ 或 $(-4x)$ 解析:要使方程有两个相等的实数根, 则 $\Delta=b^2-4ac=b^2-16=0$, 解得 $b=\pm4$, 故可填 $4x$ 或 $(-4x)$.
(2)1(答案不唯一) 解析:$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4x+2a=0$ 有实数根, $\therefore \Delta=16-8a\ge0$, 解得 $a\le2$, 则 $a$ 的值可以是 1.
(3)$4x$ 或 $(-4x)$ 解析:要使方程有两个相等的实数根, 则 $\Delta=b^2-4ac=b^2-16=0$, 解得 $b=\pm4$, 故可填 $4x$ 或 $(-4x)$.
7. 用公式法解方程：
(1) $2x^2 - 5x + 3 = 0$；
(2) $-2x(x + 1) = 1$；
(3) $y(y - 3) = 2 + y(1 - 3y)$。
(1) $2x^2 - 5x + 3 = 0$；
(2) $-2x(x + 1) = 1$；
(3) $y(y - 3) = 2 + y(1 - 3y)$。
答案
7. (1)$a=2,b=-5,c=3,\because b^2-4ac=(-5)^2-4×2×3=25-24=1＞0,\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{5\pm1}{4},\therefore x_1=1,x_2=\frac{3}{2}$.
(2)原方程整理得 $-2x^2-2x-1=0,a=-2,b=-2,c=-1.\because b^2-4ac=4-8=-4＜0,\therefore$ 原方程无解.
(3)原方程整理得 $4y^2-4y-2=0$, 这里 $a=4,b=-4,c=-2$,$\because b^2-4ac=(-4)^2-4×4×(-2)=16+32=48＞0,\therefore y=\frac{4\pm\sqrt{48}}{2×4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2},\therefore y_1=\frac{1+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$.
(2)原方程整理得 $-2x^2-2x-1=0,a=-2,b=-2,c=-1.\because b^2-4ac=4-8=-4＜0,\therefore$ 原方程无解.
(3)原方程整理得 $4y^2-4y-2=0$, 这里 $a=4,b=-4,c=-2$,$\because b^2-4ac=(-4)^2-4×4×(-2)=16+32=48＞0,\therefore y=\frac{4\pm\sqrt{48}}{2×4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2},\therefore y_1=\frac{1+\sqrt{3}}{2},y_2=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$.
8. (广州中考)直线$y=x+a$不经过第二象限，则关于$x$的方程$ax^2+2x+1=0$的实数根的个数是（
A.0
B.1
C.2
D.1或2
D
）A.0
B.1
C.2
D.1或2
答案
8.D 解析:$\because$ 直线 $y=x+a$ 不经过第二象限, $\therefore a\le0$. 当 $a=0$ 时, 关于 $x$ 的方程 $ax^2+2x+1=0$ 是一元一次方程, 解为 $x=-\frac{1}{2}$; 当 $a＜0$ 时, 关于 $x$ 的方程 $ax^2+2x+1=0$ 是一元二次方程.$\because \Delta=2^2-4a＞0,\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.故选 D.
9. 新考法 如图,在矩形ABCD中,$AB=a(a＜2)$,$BC=2$.以点D为圆心,CD的长为半径画弧,交AD于点E,交BD于点F,则方程$x^2 + 2ax -4=0$的一个根是 (
A.线段AE的长
B.线段BF的长
C.线段BD的长
D.线段DF的长
B
)A.线段AE的长
B.线段BF的长
C.线段BD的长
D.线段DF的长
答案
9.B 解析:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形, $\therefore CD=AB=a,AD=BC=2,∠ A=90°,\therefore BD=\sqrt{2^2+a^2}=\sqrt{4+a^2}$. 由作法得 $DE=DF=a,\therefore AE=2-a,BF=\sqrt{4+a^2}-a$. 解方程 $x^2+2ax-4=0$ 得 $x_1=-a+\sqrt{4+a^2},x_2=-a-\sqrt{4+a^2},\therefore$ 线段 $BF$ 的长为方程的一个根.故选 B.
10. (1)(朝阳中考)若关于x的一元二次方程$(k-1)x^2+2x-2=0$有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
(2)关于x的方程$(k-1)^2x^2+(2k+1)x+1=0$有实数根，则k的取值范围是
$k＞\frac{1}{2}且k≠1$
.(2)关于x的方程$(k-1)^2x^2+(2k+1)x+1=0$有实数根，则k的取值范围是
$k\ge\frac{1}{4}$
.答案
10.(1)$k＞\frac{1}{2}$且$k≠1$ 解析:$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(k-1)x^2+2x-2=0$ 有两个不相等的实数根, $\therefore \Delta=2^2-4×(k-1)×(-2)＞0$, 且 $k-1≠0$, 解得 $k＞\frac{1}{2}$ 且 $k≠1$.
(2)$k\ge\frac{1}{4}$ 解析:当 $k-1≠0$, 即 $k≠1$ 时, 此方程为一元二次方程, $\because$ 关于 $x$ 的方程 $(k-1)^2x^2+(2k+1)x+1=0$ 有实数根, $\therefore \Delta=(2k+1)^2-4×(k-1)^2×1=12k-3\ge0$, 解得 $k\ge\frac{1}{4}$; 当 $k-1=0$, 即 $k=1$ 时, 方程为 $3x+1=0$, 显然有解. 综上所述, $k$ 的取值范围是 $k\ge\frac{1}{4}$.
(2)$k\ge\frac{1}{4}$ 解析:当 $k-1≠0$, 即 $k≠1$ 时, 此方程为一元二次方程, $\because$ 关于 $x$ 的方程 $(k-1)^2x^2+(2k+1)x+1=0$ 有实数根, $\therefore \Delta=(2k+1)^2-4×(k-1)^2×1=12k-3\ge0$, 解得 $k\ge\frac{1}{4}$; 当 $k-1=0$, 即 $k=1$ 时, 方程为 $3x+1=0$, 显然有解. 综上所述, $k$ 的取值范围是 $k\ge\frac{1}{4}$.
