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12. 新题型 新定义 对于两个不相等的实数$a,b$.
我们规定符号$\max\{a,b\}$表示$a,b$中的较大数,如:$\max\{3,5\}=5,\max\{-3,-5\}=-3$.按照这个规定,若$\max\{x,-x\}=x^2 - 3x -5$,则$x$的值是________.
我们规定符号$\max\{a,b\}$表示$a,b$中的较大数,如:$\max\{3,5\}=5,\max\{-3,-5\}=-3$.按照这个规定,若$\max\{x,-x\}=x^2 - 3x -5$,则$x$的值是________.
答案
12. 5或$1-\sqrt{6}$ 解析：分两种情况：
当$x＞-x$，即$x＞0$时，$\because \max\{x,-x\}=x^2 -3x -5$，$\therefore x=x^2 -3x -5$，整理得$x^2-4x-5=0$，$x^2-4x=5$，$x^2-4x+4=5+4$，$(x-2)^2=9$，$x-2=\pm3$，$x-2=3$或$x-2=-3$，$x_1=5$，$x_2=-1$（舍去）；
当$x＜-x$，即$x＜0$时，$\because \max\{x,-x\}=x^2 -3x -5$，$\therefore -x=x^2 -3x -5$，整理得$x^2-2x-5=0$，$x^2-2x=5$，$x^2-2x+1=5+1$，$(x-1)^2=6$，$x-1=\pm\sqrt{6}$，$x-1=\sqrt{6}$或$x-1=-\sqrt{6}$，$x_1=1+\sqrt{6}$（舍去），$x_2=1-\sqrt{6}$.
综上所述，x=5或x=1-√6，故答案为5或1-√6.
当$x＞-x$，即$x＞0$时，$\because \max\{x,-x\}=x^2 -3x -5$，$\therefore x=x^2 -3x -5$，整理得$x^2-4x-5=0$，$x^2-4x=5$，$x^2-4x+4=5+4$，$(x-2)^2=9$，$x-2=\pm3$，$x-2=3$或$x-2=-3$，$x_1=5$，$x_2=-1$（舍去）；
当$x＜-x$，即$x＜0$时，$\because \max\{x,-x\}=x^2 -3x -5$，$\therefore -x=x^2 -3x -5$，整理得$x^2-2x-5=0$，$x^2-2x=5$，$x^2-2x+1=5+1$，$(x-1)^2=6$，$x-1=\pm\sqrt{6}$，$x-1=\sqrt{6}$或$x-1=-\sqrt{6}$，$x_1=1+\sqrt{6}$（舍去），$x_2=1-\sqrt{6}$.
综上所述，x=5或x=1-√6，故答案为5或1-√6.
13. 试用配方法说明:对于任意实数$m$,关于$x$的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -3x +1=0$都是一元二次方程.
答案
13. $\because -2m^2+8m-12=-2(m-2)^2-4$，且对于任意实数m，总有$(m-2)^2\ge0$，$\therefore -2(m-2)^2\le0$，$\therefore -2(m-2)^2-4\le-4$，$\therefore$ 对于任意实数m，代数式$-2m^2+8m-12$的值总不等于0，$\therefore$ 对于任意实数m，关于x的方程$(-2m^2 +8m -12)x^2 -3x +1=0$都是一元二次方程.
14. 阅读材料:若$m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,求$m$, $n$的值.
解:$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
$\therefore (m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$,
$\therefore (m-n)^2 + (n-4)^2=0$,
$\therefore (m-n)^2=0,(n-4)^2=0$,
$\therefore n=4,m=4$.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)$a^2 +b^2 -2a +1=0$,则$a=$
(2)已知$x^2 +2y^2 +2xy -6y +9=0$,求$x^y$的值;
(3)已知等腰三角形$ABC$的两边长$a,b$满足$2a^2 +b^2 -4a -6b +11=0$,求$△ ABC$的周长.
解:$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$,
$\therefore (m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$,
$\therefore (m-n)^2 + (n-4)^2=0$,
$\therefore (m-n)^2=0,(n-4)^2=0$,
$\therefore n=4,m=4$.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)$a^2 +b^2 -2a +1=0$,则$a=$
1
, $b=$0
;(2)已知$x^2 +2y^2 +2xy -6y +9=0$,求$x^y$的值;
(3)已知等腰三角形$ABC$的两边长$a,b$满足$2a^2 +b^2 -4a -6b +11=0$,求$△ ABC$的周长.
答案
14. (1)1 0 解析：$\because a^2 +b^2 -2a +1=0$，$\therefore a^2-2a+1 +b^2=0$，$\therefore (a-1)^2 +b^2=0$，$\therefore a-1=0$，$b=0$，$\therefore a=1$，$b=0$.
(2)$\because x^2 +2y^2 +2xy -6y +9=0$，$\therefore x^2 +y^2 +2xy +y^2 -6y +9=0$，$\therefore (x+y)^2 +(y-3)^2=0$，$\therefore x+y=0$，$y-3=0$，$\therefore x=-3$，$y=3$，$\therefore x^y=(-3)^3=-27$.
(3)$\because 2a^2 +b^2 -4a -6b +11=0$，$\therefore 2a^2-4a+2 +b^2-6b+9=0$，$\therefore 2(a-1)^2 +(b-3)^2=0$，$\therefore a-1=0$，$b-3=0$，解得a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，等腰三角形三边长分别为1，3，3，$\therefore △ ABC$的周长为1+3+3=7.
(2)$\because x^2 +2y^2 +2xy -6y +9=0$，$\therefore x^2 +y^2 +2xy +y^2 -6y +9=0$，$\therefore (x+y)^2 +(y-3)^2=0$，$\therefore x+y=0$，$y-3=0$，$\therefore x=-3$，$y=3$，$\therefore x^y=(-3)^3=-27$.
(3)$\because 2a^2 +b^2 -4a -6b +11=0$，$\therefore 2a^2-4a+2 +b^2-6b+9=0$，$\therefore 2(a-1)^2 +(b-3)^2=0$，$\therefore a-1=0$，$b-3=0$，解得a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，等腰三角形三边长分别为1，3，3，$\therefore △ ABC$的周长为1+3+3=7.
15. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.
例如:试求二次三项式$x^2+4x+5$的最小值.
解:$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$,
$\because (x+2)^2≥0,(x+2)^2+1≥1$,
$\therefore x^2+4x+5≥1$,即$x^2+4x+5$的最小值是1.
试利用“配方法”解决下列问题:
(1)已知$y=-x^2-8x+14$,求$y$的最大(或最小)值.
(2)比较代数式$2x^2+3x-5$与$3x^2-x+1$的大小,并说明理由.
(3)知识迁移:
①如图①,学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库,来饲养两只羊驼,仓库一面靠墙(墙足够长),为方便取物,在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道,在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门,请尝试用“配方法”求出如何围,使仓库面积最大,最大值是多少?
②如图②,在正方形$ABCD$中,$AD=4$,点$E,F$分别为$AB,BC$上的动点,且$AE=BF$,$AF$与$DE$交于点$O$,点$P$为$EF$的中点.设$AE=x$,则$OP$的最小值为
例如:试求二次三项式$x^2+4x+5$的最小值.
解:$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$,
$\because (x+2)^2≥0,(x+2)^2+1≥1$,
$\therefore x^2+4x+5≥1$,即$x^2+4x+5$的最小值是1.
试利用“配方法”解决下列问题:
(1)已知$y=-x^2-8x+14$,求$y$的最大(或最小)值.
(2)比较代数式$2x^2+3x-5$与$3x^2-x+1$的大小,并说明理由.
(3)知识迁移:
①如图①,学校打算用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库,来饲养两只羊驼,仓库一面靠墙(墙足够长),为方便取物,在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道,在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门,请尝试用“配方法”求出如何围,使仓库面积最大,最大值是多少?
②如图②,在正方形$ABCD$中,$AD=4$,点$E,F$分别为$AB,BC$上的动点,且$AE=BF$,$AF$与$DE$交于点$O$,点$P$为$EF$的中点.设$AE=x$,则$OP$的最小值为
$\sqrt{2}$
.答案
15. (1)$-x^2-8x+14=-(x^2+8x)+14=-(x^2+8x+16)+16+14=-(x+4)^2+30$，$\because (x+4)^2\ge0$，$\therefore -(x+4)^2\le0$，$\therefore -(x+4)^2+30\le30$，$\therefore -x^2-8x+14\le30$，即y的最大值是30.
(2)$2x^2+3x-5＜3x^2-x+1$，理由如下：
$(2x^2+3x-5)-(3x^2-x+1)=2x^2+3x-5-3x^2+x-1=-x^2+4x-6=-(x^2-4x+4)-2=-(x-2)^2-2$，$\because (x-2)^2\ge0$，$\therefore -(x-2)^2\le0$，$\therefore -(x-2)^2-2\le-2＜0$，$\therefore 2x^2+3x-5＜3x^2-x+1$.
(3)①设仓库的宽为x米，则长为$15-4x+2+1=(18-4x)$米，根据题意得仓库的面积为$x(18-4x)=-4x^2+18x=-4(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{4}$，$\because (x-\frac{9}{4})^2\ge0$，$\therefore -4(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{4}\le\frac{81}{4}$，即当$x=\frac{9}{4}$时，仓库的面积最大，最大值为$\frac{81}{4}$平方米.
答：当仓库的宽为$\frac{9}{4}$米时，仓库的面积最大，最大值为$\frac{81}{4}$平方米.
②$\sqrt{2}$ 解析：在正方形ABCD中，$\because AD=4$，$\therefore AB=BC=AD=4$，$∠ DAE=∠ B=90°$。$\because AE=BF=x$，$\therefore △ ADE≌△ BAF$，$\therefore ∠ BAF=∠ ADE$，$\therefore ∠ BAF+∠ DAF=∠ ADE+∠ DAF=90°$，$\therefore ∠ EOF=∠ AOD=90°$。$\because$ 点P为EF的中点，$\therefore OP=\frac{1}{2}EF$.
在Rt△BEF中，$BE=4-x$，$BF=x$，$\therefore EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{(4-x)^2+x^2}=\sqrt{2x^2-8x+16}$，$\therefore OP=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\sqrt{2x^2-8x+16}=\frac{1}{2}\sqrt{2(x-2)^2+8}\ge\frac{1}{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2}$，即OP的最小值为$\sqrt{2}$.
(2)$2x^2+3x-5＜3x^2-x+1$，理由如下：
$(2x^2+3x-5)-(3x^2-x+1)=2x^2+3x-5-3x^2+x-1=-x^2+4x-6=-(x^2-4x+4)-2=-(x-2)^2-2$，$\because (x-2)^2\ge0$，$\therefore -(x-2)^2\le0$，$\therefore -(x-2)^2-2\le-2＜0$，$\therefore 2x^2+3x-5＜3x^2-x+1$.
(3)①设仓库的宽为x米，则长为$15-4x+2+1=(18-4x)$米，根据题意得仓库的面积为$x(18-4x)=-4x^2+18x=-4(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{4}$，$\because (x-\frac{9}{4})^2\ge0$，$\therefore -4(x-\frac{9}{4})^2+\frac{81}{4}\le\frac{81}{4}$，即当$x=\frac{9}{4}$时，仓库的面积最大，最大值为$\frac{81}{4}$平方米.
答：当仓库的宽为$\frac{9}{4}$米时，仓库的面积最大，最大值为$\frac{81}{4}$平方米.
②$\sqrt{2}$ 解析：在正方形ABCD中，$\because AD=4$，$\therefore AB=BC=AD=4$，$∠ DAE=∠ B=90°$。$\because AE=BF=x$，$\therefore △ ADE≌△ BAF$，$\therefore ∠ BAF=∠ ADE$，$\therefore ∠ BAF+∠ DAF=∠ ADE+∠ DAF=90°$，$\therefore ∠ EOF=∠ AOD=90°$。$\because$ 点P为EF的中点，$\therefore OP=\frac{1}{2}EF$.
在Rt△BEF中，$BE=4-x$，$BF=x$，$\therefore EF=\sqrt{BE^2+BF^2}=\sqrt{(4-x)^2+x^2}=\sqrt{2x^2-8x+16}$，$\therefore OP=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\sqrt{2x^2-8x+16}=\frac{1}{2}\sqrt{2(x-2)^2+8}\ge\frac{1}{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2}$，即OP的最小值为$\sqrt{2}$.
