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7.一个密封的瓶子里装着一些水，如图所示是这瓶水正放和倒放时的状态，已知瓶子的底面积为10 $\mathrm{cm}^2$，则根据图中标明的数据，可得瓶子的容积是（
A.$80\ \mathrm{cm}^3$
B.$70\ \mathrm{cm}^3$
C.$60\ \mathrm{cm}^3$
D.$50\ \mathrm{cm}^3$
C
）A.$80\ \mathrm{cm}^3$
B.$70\ \mathrm{cm}^3$
C.$60\ \mathrm{cm}^3$
D.$50\ \mathrm{cm}^3$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先抓住密封瓶中水的体积固定不变这一核心，瓶子正放时水的形状是规则圆柱，可直接计算水的体积；倒放时上方空白部分也为规则圆柱，我们可以通过正放给出的总高度和倒放时水的高度算出空白部分的高度，进而算出空白部分体积，最终瓶子容积等于水的体积加空白部分的体积，将不规则的瓶子容积问题转化为两个规则圆柱体积求和问题。
【解析】
解：首先计算瓶中水的体积，正放时水为圆柱形，底面积$S=10\mathrm{cm}^2$，水的高度$h_水=4\mathrm{cm}$，根据圆柱体积公式$V=Sh$：
$V_水=S× h_水=10\mathrm{cm}^2×4\mathrm{cm}=40\mathrm{cm}^3$
再计算倒放时瓶中空白部分的体积，空白部分为圆柱形，空白部分的高度$h_空=7\mathrm{cm}-5\mathrm{cm}=2\mathrm{cm}$：
$V_空=S× h_空=10\mathrm{cm}^2×2\mathrm{cm}=20\mathrm{cm}^3$
瓶子的容积等于水的体积加空白部分的体积：
$V_容=V_水+V_空=40\mathrm{cm}^3+20\mathrm{cm}^3=60\mathrm{cm}^3$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱体积计算；体积守恒；容积计算
【点评】
本题核心是运用转化思想，抓住水的体积不变的特点，将瓶子不规则的空白部分容积转化为规则的圆柱体积求解，简化了不规则容器容积的计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住密封瓶中水的体积固定不变这一核心，瓶子正放时水的形状是规则圆柱，可直接计算水的体积；倒放时上方空白部分也为规则圆柱，我们可以通过正放给出的总高度和倒放时水的高度算出空白部分的高度，进而算出空白部分体积，最终瓶子容积等于水的体积加空白部分的体积，将不规则的瓶子容积问题转化为两个规则圆柱体积求和问题。
【解析】
解：首先计算瓶中水的体积，正放时水为圆柱形，底面积$S=10\mathrm{cm}^2$，水的高度$h_水=4\mathrm{cm}$，根据圆柱体积公式$V=Sh$：
$V_水=S× h_水=10\mathrm{cm}^2×4\mathrm{cm}=40\mathrm{cm}^3$
再计算倒放时瓶中空白部分的体积，空白部分为圆柱形，空白部分的高度$h_空=7\mathrm{cm}-5\mathrm{cm}=2\mathrm{cm}$：
$V_空=S× h_空=10\mathrm{cm}^2×2\mathrm{cm}=20\mathrm{cm}^3$
瓶子的容积等于水的体积加空白部分的体积：
$V_容=V_水+V_空=40\mathrm{cm}^3+20\mathrm{cm}^3=60\mathrm{cm}^3$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱体积计算；体积守恒；容积计算
【点评】
本题核心是运用转化思想，抓住水的体积不变的特点，将瓶子不规则的空白部分容积转化为规则的圆柱体积求解，简化了不规则容器容积的计算过程。
【难度系数】
0.7
8.如图,在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器,内部底面积分别为$80\ \mathrm{cm}^2$, $100\ \mathrm{cm}^2$,且甲容器装满水,乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中,乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm,则甲容器的容积是 (
A.$1\ 280\ \mathrm{cm}^3$
B.$2\ 560\ \mathrm{cm}^3$
C.$3\ 200\ \mathrm{cm}^3$
D.$4\ 000\ \mathrm{cm}^3$
C
)A.$1\ 280\ \mathrm{cm}^3$
B.$2\ 560\ \mathrm{cm}^3$
C.$3\ 200\ \mathrm{cm}^3$
D.$4\ 000\ \mathrm{cm}^3$
答案
8.C
解析
【分析】
解决这道题的核心是抓住“将甲容器的水全部倒入乙容器后，水的体积不变”这一不变量。我们可以先设甲容器原先的水位高度为未知数，根据“乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm”表示出乙容器中的水位高度，再结合圆柱体积公式（体积=底面积×高），根据水的体积相等列出方程，求解出甲的高度后就能算出甲的容积。
【解析】
设甲容器原先的水位高度为$ h\ \mathrm{cm} $，则甲容器的容积为$ 80h\ \mathrm{cm}^3 $。
因为水全部倒入乙容器后，乙的水位高度比甲原先的水位低8 cm，所以乙容器内的水位高度为$ (h-8)\ \mathrm{cm} $，此时乙容器中水的体积为$ 100(h-8)\ \mathrm{cm}^3 $。
由于倒水前后水的体积不变，可列方程：
$ 80h = 100(h-8) $
展开得：$ 80h = 100h - 800 $
移项合并得：$ 20h = 800 $
解得：$ h = 40 $
因此甲容器的容积为$ 80×40 = 3200\ \mathrm{cm}^3 $。
【答案】
C
【知识点】
等积变形问题，圆柱体积计算，一元一次方程的应用
【点评】
这是典型的等积变形类应用题，解题的关键是找准变化过程中不变的量，本题中就是水的总体积，再结合对应几何图形的体积公式建立等量关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是抓住“将甲容器的水全部倒入乙容器后，水的体积不变”这一不变量。我们可以先设甲容器原先的水位高度为未知数，根据“乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm”表示出乙容器中的水位高度，再结合圆柱体积公式（体积=底面积×高），根据水的体积相等列出方程，求解出甲的高度后就能算出甲的容积。
【解析】
设甲容器原先的水位高度为$ h\ \mathrm{cm} $，则甲容器的容积为$ 80h\ \mathrm{cm}^3 $。
因为水全部倒入乙容器后，乙的水位高度比甲原先的水位低8 cm，所以乙容器内的水位高度为$ (h-8)\ \mathrm{cm} $，此时乙容器中水的体积为$ 100(h-8)\ \mathrm{cm}^3 $。
由于倒水前后水的体积不变，可列方程：
$ 80h = 100(h-8) $
展开得：$ 80h = 100h - 800 $
移项合并得：$ 20h = 800 $
解得：$ h = 40 $
因此甲容器的容积为$ 80×40 = 3200\ \mathrm{cm}^3 $。
【答案】
C
【知识点】
等积变形问题，圆柱体积计算，一元一次方程的应用
【点评】
这是典型的等积变形类应用题，解题的关键是找准变化过程中不变的量，本题中就是水的总体积，再结合对应几何图形的体积公式建立等量关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.某铁路桥长1 200 m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1 min，整列火车完全在桥上的时间共40 s.则火车的长度为（
A.180 m
B.200 m
C.240 m
D.250 m
C
）A.180 m
B.200 m
C.240 m
D.250 m
答案
9.C
解析
【分析】
要解决这道火车过桥问题，首先需要明确两种行驶场景下火车的行驶路程：①火车从开始上桥到完全过桥，行驶的总路程等于桥长加火车自身长度，用时1min（需换算为60s保证单位统一）；②整列火车完全在桥上时，行驶的总路程等于桥长减火车自身长度，用时40s。由于火车行驶速度不变，我们可以以速度为等量关系，设火车长度为未知数，列方程求解。
【解析】
首先统一单位：$ 1\ \mathrm{min} = 60\ \mathrm{s} $。
设火车的长度为$ x $ m，火车行驶速度恒定，根据$ \mathrm{速度}=\mathrm{路程}÷\mathrm{时间} $可得：
火车完全过桥的速度为$\frac{1200 + x}{60}\ \mathrm{m/s}$，火车完全在桥上的速度为$\frac{1200 - x}{40}\ \mathrm{m/s}$，两个速度相等，列方程：
$\frac{1200 + x}{60} = \frac{1200 - x}{40}$
两边同乘120消去分母：
$2(1200 + x) = 3(1200 - x)$
展开得：
$2400 + 2x = 3600 - 3x$
移项合并同类项：
$5x = 1200$
解得：
$x = 240$
【答案】
C
【知识点】
行程过桥问题；一元一次方程应用；单位换算
【点评】
本题是行程类的典型应用题，解题核心是准确判断不同场景下火车的实际行驶路程，抓住速度不变的等量关系列方程，求解时注意单位统一即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道火车过桥问题，首先需要明确两种行驶场景下火车的行驶路程：①火车从开始上桥到完全过桥，行驶的总路程等于桥长加火车自身长度，用时1min（需换算为60s保证单位统一）；②整列火车完全在桥上时，行驶的总路程等于桥长减火车自身长度，用时40s。由于火车行驶速度不变，我们可以以速度为等量关系，设火车长度为未知数，列方程求解。
【解析】
首先统一单位：$ 1\ \mathrm{min} = 60\ \mathrm{s} $。
设火车的长度为$ x $ m，火车行驶速度恒定，根据$ \mathrm{速度}=\mathrm{路程}÷\mathrm{时间} $可得：
火车完全过桥的速度为$\frac{1200 + x}{60}\ \mathrm{m/s}$，火车完全在桥上的速度为$\frac{1200 - x}{40}\ \mathrm{m/s}$，两个速度相等，列方程：
$\frac{1200 + x}{60} = \frac{1200 - x}{40}$
两边同乘120消去分母：
$2(1200 + x) = 3(1200 - x)$
展开得：
$2400 + 2x = 3600 - 3x$
移项合并同类项：
$5x = 1200$
解得：
$x = 240$
【答案】
C
【知识点】
行程过桥问题；一元一次方程应用；单位换算
【点评】
本题是行程类的典型应用题，解题核心是准确判断不同场景下火车的实际行驶路程，抓住速度不变的等量关系列方程，求解时注意单位统一即可。
【难度系数】
0.7
10.一个底面半径为4 cm，高为10 cm的圆柱形烧杯中装满水，把烧杯中的水倒入底面半径为1 cm的圆柱形试管中，刚好倒满8个试管.则试管的高为多少厘米？
答案
解:设底面半径为 1 cm 的圆柱形试管的高为 $x$ cm,根据题意得 $π· 1^2· x· 8=π· 4^2× 10$,解得 $x=20$.
答:底面半径为 1 cm 的圆柱形试管的高为 20 cm.
答:底面半径为 1 cm 的圆柱形试管的高为 20 cm.
解析
【分析】
本题为等积变形类应用题，解题核心是抓住倒水前后水的总体积不变的等量关系，即烧杯的容积等于8个试管的总容积。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=π×底面半径²×高，我们可以设试管的高为x cm，分别表示出8个试管的总容积和烧杯的容积，根据二者相等列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设底面半径为1 cm的圆柱形试管的高为$x$ cm，根据倒水前后水的体积不变，可列方程：
$π· 1^2· x· 8=π· 4^2× 10$
两边同时除以π得：$8x = 16×10$
化简得$8x=160$，解得$x=20$。
【答案】
底面半径为1 cm的圆柱形试管的高为20 cm
【知识点】
圆柱体积计算，一元一次方程的应用，等积变形
【点评】
本题是基础的方程应用题型，解题关键是找准体积不变的核心等量关系，结合圆柱体积公式列方程求解，计算时可先约去等式两侧相同的π，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
本题为等积变形类应用题，解题核心是抓住倒水前后水的总体积不变的等量关系，即烧杯的容积等于8个试管的总容积。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=π×底面半径²×高，我们可以设试管的高为x cm，分别表示出8个试管的总容积和烧杯的容积，根据二者相等列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设底面半径为1 cm的圆柱形试管的高为$x$ cm，根据倒水前后水的体积不变，可列方程：
$π· 1^2· x· 8=π· 4^2× 10$
两边同时除以π得：$8x = 16×10$
化简得$8x=160$，解得$x=20$。
【答案】
底面半径为1 cm的圆柱形试管的高为20 cm
【知识点】
圆柱体积计算，一元一次方程的应用，等积变形
【点评】
本题是基础的方程应用题型，解题关键是找准体积不变的核心等量关系，结合圆柱体积公式列方程求解，计算时可先约去等式两侧相同的π，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
11.已知甲、乙两辆车同时出发，在一条公路上匀速行驶，为了确定汽车的位置，我们用OX表示这条公路，原点O为0 km路标，并作如下约定：位置为正，表示汽车位于0 km的右侧；位置为负，表示汽车位于0 km的左侧；位置为0 km，表示汽车位于0 km处。下表给出了时间以及甲、乙两车的对应位置：
| 时间(h) | 0 | 3 | 5 | t |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲车位置(km) | 1
| | -150 | |
| 乙车位置(km) | | 70 | 150 | |
(1)根据题意，补全表格；
(2)甲、乙两车能否相遇？如果能相遇，求出相遇所需时间及在公路上的位置；如果不能相遇，请说明理由；
(3)若忽略车的形状和大小，可将其看成一点，则是否存在这样的t，使得甲、乙、原点O三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由。
| 时间(h) | 0 | 3 | 5 | t |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲车位置(km) | 1
| | -150 | || 乙车位置(km) | | 70 | 150 | |
(1)根据题意，补全表格；
(2)甲、乙两车能否相遇？如果能相遇，求出相遇所需时间及在公路上的位置；如果不能相遇，请说明理由；
(3)若忽略车的形状和大小，可将其看成一点，则是否存在这样的t，使得甲、乙、原点O三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由。
答案
(1)(横向)$-30$ $150-60t$ $-50$ $-50+40t$
(2)解:能相遇.$[150-(-50)]÷(40+60)=200÷100=2(\mathrm{h})$,当 $t=2$ 时,$150-60t=150-60×2=30(\mathrm{km})$,所以经过 2 h 甲、乙两车相遇,在公路上的位置为 30 km.
(3)解:存在. ①当甲在中点时,$-50+40t=2(150-60t)$,解得 $t=\dfrac{35}{16}$;②当乙在中点时,$2(-50+40t)=150-60t$,解得 $t=\dfrac{25}{14}$;③当 $O$ 为中点时,$150-60t-50+40t=0$,解得 $t=5$. 综上,$t$ 的值为 $\dfrac{35}{16}$或$\dfrac{25}{14}$或 $5$.
(2)解:能相遇.$[150-(-50)]÷(40+60)=200÷100=2(\mathrm{h})$,当 $t=2$ 时,$150-60t=150-60×2=30(\mathrm{km})$,所以经过 2 h 甲、乙两车相遇,在公路上的位置为 30 km.
(3)解:存在. ①当甲在中点时,$-50+40t=2(150-60t)$,解得 $t=\dfrac{35}{16}$;②当乙在中点时,$2(-50+40t)=150-60t$,解得 $t=\dfrac{25}{14}$;③当 $O$ 为中点时,$150-60t-50+40t=0$,解得 $t=5$. 综上,$t$ 的值为 $\dfrac{35}{16}$或$\dfrac{25}{14}$或 $5$.
解析
【分析】
1. 补全表格思路：两车均为匀速行驶，先根据已知的时间和对应位置求出两车的行驶速度，再推导t时刻的位置表达式，代入对应时间即可算出空缺的位置数值。
2. 相遇问题思路：相遇时两车位置相同，令两车的位置表达式相等，解一元一次方程即可求出相遇时间，再代入表达式得到相遇位置。
3. 中点问题思路：分三类情况讨论，分别是甲为乙和原点的中点、乙为甲和原点的中点、原点为甲和乙的中点，根据“中点位置等于两端点位置的平均值”列方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1) 计算甲车参数：
t=0时甲车位置为150km，t=5时为-150km，5小时行驶路程为$150-(-150)=300\mathrm{km}$，速度为$300÷5=60\mathrm{km/h}$，向左行驶，因此t时刻甲车位置为$150-60t$。
当t=3时，甲车位置为$150-60×3=-30\mathrm{km}$。
计算乙车参数：
t=3时乙车位置为70km，t=5时为150km，2小时行驶路程为$150-70=80\mathrm{km}$，速度为$80÷(5-3)=40\mathrm{km/h}$，向右行驶。
设t=0时乙车位置为$y_0$，可得$y_0+40×3=70$，解得$y_0=-50\mathrm{km}$，因此t时刻乙车位置为$-50+40t$。
补全表格横向依次为：-30，$150-60t$，-50，$-50+40t$。
(2) 相遇时两车位置相等，列方程：
$150-60t=-50+40t$
移项合并得$100t=200$，解得$t=2$。
代入位置表达式得$150-60×2=30\mathrm{km}$。
(3) 分三种情况讨论：
① 若甲为乙和原点的中点：$2(150-60t)=-50+40t$
解得$350=160t$，即$t=\frac{35}{16}$；
② 若乙为甲和原点的中点：$2(-50+40t)=150-60t$
解得$140t=250$，即$t=\frac{25}{14}$；
③ 若原点为甲和乙的中点：$150-60t+(-50+40t)=0$
解得$20t=100$，即$t=5$。
【答案】
(1) 横向：$-30$，$150-60t$，$-50$，$-50+40t$
(2) 能相遇，经过2h相遇，在公路上的位置为30km处
(3) 存在，$t$的值为$\dfrac{35}{16}$或$\dfrac{25}{14}$或$5$
【知识点】
行程问题、一元一次方程应用、线段中点性质
【点评】
本题结合实际行程场景考查一元一次方程的应用，解题核心是先推导两车的位置表达式，难点是第三问的分类讨论，需要覆盖所有中点的可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
1. 补全表格思路：两车均为匀速行驶，先根据已知的时间和对应位置求出两车的行驶速度，再推导t时刻的位置表达式，代入对应时间即可算出空缺的位置数值。
2. 相遇问题思路：相遇时两车位置相同，令两车的位置表达式相等，解一元一次方程即可求出相遇时间，再代入表达式得到相遇位置。
3. 中点问题思路：分三类情况讨论，分别是甲为乙和原点的中点、乙为甲和原点的中点、原点为甲和乙的中点，根据“中点位置等于两端点位置的平均值”列方程求解，注意不要漏解。
【解析】
(1) 计算甲车参数：
t=0时甲车位置为150km，t=5时为-150km，5小时行驶路程为$150-(-150)=300\mathrm{km}$，速度为$300÷5=60\mathrm{km/h}$，向左行驶，因此t时刻甲车位置为$150-60t$。
当t=3时，甲车位置为$150-60×3=-30\mathrm{km}$。
计算乙车参数：
t=3时乙车位置为70km，t=5时为150km，2小时行驶路程为$150-70=80\mathrm{km}$，速度为$80÷(5-3)=40\mathrm{km/h}$，向右行驶。
设t=0时乙车位置为$y_0$，可得$y_0+40×3=70$，解得$y_0=-50\mathrm{km}$，因此t时刻乙车位置为$-50+40t$。
补全表格横向依次为：-30，$150-60t$，-50，$-50+40t$。
(2) 相遇时两车位置相等，列方程：
$150-60t=-50+40t$
移项合并得$100t=200$，解得$t=2$。
代入位置表达式得$150-60×2=30\mathrm{km}$。
(3) 分三种情况讨论：
① 若甲为乙和原点的中点：$2(150-60t)=-50+40t$
解得$350=160t$，即$t=\frac{35}{16}$；
② 若乙为甲和原点的中点：$2(-50+40t)=150-60t$
解得$140t=250$，即$t=\frac{25}{14}$；
③ 若原点为甲和乙的中点：$150-60t+(-50+40t)=0$
解得$20t=100$，即$t=5$。
【答案】
(1) 横向：$-30$，$150-60t$，$-50$，$-50+40t$
(2) 能相遇，经过2h相遇，在公路上的位置为30km处
(3) 存在，$t$的值为$\dfrac{35}{16}$或$\dfrac{25}{14}$或$5$
【知识点】
行程问题、一元一次方程应用、线段中点性质
【点评】
本题结合实际行程场景考查一元一次方程的应用，解题核心是先推导两车的位置表达式，难点是第三问的分类讨论，需要覆盖所有中点的可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.6
