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1. 将一个周长为 42 cm 的长方形的长减少3 cm，宽增加2 cm，能得到一个正方形.设长方形的长为 $ x $ cm，根据题意可列方程为 （
A.$ x+2=(42-x)-3 $
B.$ x-3=(42-x)+2 $
C.$ x+2=(21-x)-3 $
D.$ x-3=(21-x)+2 $
D
）A.$ x+2=(42-x)-3 $
B.$ x-3=(42-x)+2 $
C.$ x+2=(21-x)-3 $
D.$ x-3=(21-x)+2 $
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要找准核心等量关系：长减少3cm、宽增加2cm后得到正方形，说明变化后的长与变化后的宽相等。接下来我们需要用含x的式子分别表示出变化后的长和宽：①变化后的长直接可表示为x-3；②要表示变化后的宽，先根据长方形周长公式，周长=2×(长+宽)，可得长+宽=42÷2=21cm，已知长为x cm，因此宽为(21-x)cm，宽增加2cm后就是(21-x)+2。最后根据变化后边长相等列出方程即可对应选项。
【解析】
解：已知长方形周长为42 cm，长为x cm，
根据长方形周长公式，可得长与宽的和为 $42÷2=21$ cm，因此长方形的宽为 $(21-x)$ cm。
长减少3 cm后的长度为：$x-3$ cm，
宽增加2 cm后的长度为：$(21-x)+2$ cm，
因为变化后得到正方形，正方形的四条边长相等，所以可列方程：
$x-3=(21-x)+2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用、长方形周长公式、正方形性质
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题关键是抓住“变化后得到正方形”的特征找到等量关系，结合长方形周长公式表示出宽的表达式即可求解，主要考查对基础几何公式的掌握和分析等量关系的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要找准核心等量关系：长减少3cm、宽增加2cm后得到正方形，说明变化后的长与变化后的宽相等。接下来我们需要用含x的式子分别表示出变化后的长和宽：①变化后的长直接可表示为x-3；②要表示变化后的宽，先根据长方形周长公式，周长=2×(长+宽)，可得长+宽=42÷2=21cm，已知长为x cm，因此宽为(21-x)cm，宽增加2cm后就是(21-x)+2。最后根据变化后边长相等列出方程即可对应选项。
【解析】
解：已知长方形周长为42 cm，长为x cm，
根据长方形周长公式，可得长与宽的和为 $42÷2=21$ cm，因此长方形的宽为 $(21-x)$ cm。
长减少3 cm后的长度为：$x-3$ cm，
宽增加2 cm后的长度为：$(21-x)+2$ cm，
因为变化后得到正方形，正方形的四条边长相等，所以可列方程：
$x-3=(21-x)+2$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用、长方形周长公式、正方形性质
【点评】
本题是列方程解应用题的基础题型，解题关键是抓住“变化后得到正方形”的特征找到等量关系，结合长方形周长公式表示出宽的表达式即可求解，主要考查对基础几何公式的掌握和分析等量关系的能力。
【难度系数】
0.7
2.[数形结合思想]在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽AE.若设AE=x cm，则由题意得方程（
A.$14 - 3x = 6$
B.$14 - 3x = 6 + 2x$
C.$6 + 2x = x + (14 - 3x)$
D.$6 + 2x = 14 - x$
C
）A.$14 - 3x = 6$
B.$14 - 3x = 6 + 2x$
C.$6 + 2x = x + (14 - 3x)$
D.$6 + 2x = 14 - x$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先明确设AE=x cm即小长方形的宽为x cm，首先从水平方向的14cm边推导小长方形长的表达式：底边由3个小长方形的宽和1个小长方形的长组成，因此小长方形的长可表示为(14-3x)cm。再找等量关系：大长方形的竖直边长是固定的，可分别从左右两侧表示出大长方形的竖直高度，令两个表达式相等即可列出方程。
【解析】
设AE=x cm，即小长方形的宽为x cm。
1. 推导小长方形的长：观察水平方向的底边，3个小长方形的宽与1个小长方形的长之和为14cm，因此小长方形的长为$(14-3x)$ cm。
2. 表示大长方形的竖直边长：
①从左侧看，大长方形的竖直高度等于下方6cm加上上方2个小长方形的宽，即$(6+2x)$ cm；
②从右侧看，大长方形的竖直高度等于1个小长方形的长加上1个小长方形的宽，即$[(14-3x)+x]$ cm。
3. 列方程：由于大长方形的竖直边长相等，因此可得方程$6+2x=x+(14-3x)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；几何等量关系；数形结合思想
【点评】
本题考查结合几何图形列一元一次方程，解题的核心是准确挖掘图形中隐含的线段长度等量关系，正确用未知数表示出小长方形的长是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先明确设AE=x cm即小长方形的宽为x cm，首先从水平方向的14cm边推导小长方形长的表达式：底边由3个小长方形的宽和1个小长方形的长组成，因此小长方形的长可表示为(14-3x)cm。再找等量关系：大长方形的竖直边长是固定的，可分别从左右两侧表示出大长方形的竖直高度，令两个表达式相等即可列出方程。
【解析】
设AE=x cm，即小长方形的宽为x cm。
1. 推导小长方形的长：观察水平方向的底边，3个小长方形的宽与1个小长方形的长之和为14cm，因此小长方形的长为$(14-3x)$ cm。
2. 表示大长方形的竖直边长：
①从左侧看，大长方形的竖直高度等于下方6cm加上上方2个小长方形的宽，即$(6+2x)$ cm；
②从右侧看，大长方形的竖直高度等于1个小长方形的长加上1个小长方形的宽，即$[(14-3x)+x]$ cm。
3. 列方程：由于大长方形的竖直边长相等，因此可得方程$6+2x=x+(14-3x)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；几何等量关系；数形结合思想
【点评】
本题考查结合几何图形列一元一次方程，解题的核心是准确挖掘图形中隐含的线段长度等量关系，正确用未知数表示出小长方形的长是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3.如图所示,宽为 50 cm 的长方形图案由 10 个相同的小长方形拼成,其中一个小长方形的面积为多少平方厘米?
答案
解:设小长方形的长为 $ x $ cm,则宽为$(50-x)$cm,根据题意,得 $2x=x+4(50-x)$,解得 $x=40$,则 $50-x=10$,
$10×40=400(\mathrm{cm}^2)$.答:一个小长方形的面积为 $400\ \mathrm{cm}^2$.
$10×40=400(\mathrm{cm}^2)$.答:一个小长方形的面积为 $400\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
要解这道题，首先观察图形挖掘等量关系：①大长方形的宽为50cm，恰好等于1个小长方形的长加1个小长方形的宽；②大长方形上下对边长度相等，上边长度为2个小长方形的长之和，下边长度为1个小长方形的长加4个小长方形的宽之和。我们可以先设小长方形的长为x cm，用第一个等量关系表示出小长方形的宽，再根据第二个等量关系列方程求解，最后计算小长方形的面积即可。
【解析】
解：设小长方形的长为$x$ cm，由大长方形的宽为50cm，可得小长方形的宽为$(50-x)$ cm。
根据大长方形上下对边长度相等，列方程：
$2x = x + 4(50 - x)$
解方程：
$2x = x + 200 - 4x$
$5x = 200$
$x = 40$
则小长方形的宽为$50 - 40 = 10$（cm）
小长方形的面积为$40 × 10 = 400$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
一个小长方形的面积为$\boxed{400\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形的性质
【点评】
本题是典型的图形拼接类方程应用题，解题核心是结合图形特征找到隐含的等量关系，通过设未知数列方程求解，能有效锻炼数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
要解这道题，首先观察图形挖掘等量关系：①大长方形的宽为50cm，恰好等于1个小长方形的长加1个小长方形的宽；②大长方形上下对边长度相等，上边长度为2个小长方形的长之和，下边长度为1个小长方形的长加4个小长方形的宽之和。我们可以先设小长方形的长为x cm，用第一个等量关系表示出小长方形的宽，再根据第二个等量关系列方程求解，最后计算小长方形的面积即可。
【解析】
解：设小长方形的长为$x$ cm，由大长方形的宽为50cm，可得小长方形的宽为$(50-x)$ cm。
根据大长方形上下对边长度相等，列方程：
$2x = x + 4(50 - x)$
解方程：
$2x = x + 200 - 4x$
$5x = 200$
$x = 40$
则小长方形的宽为$50 - 40 = 10$（cm）
小长方形的面积为$40 × 10 = 400$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
一个小长方形的面积为$\boxed{400\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形的性质
【点评】
本题是典型的图形拼接类方程应用题，解题核心是结合图形特征找到隐含的等量关系，通过设未知数列方程求解，能有效锻炼数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
4.轮船沿江从A港顺流航行到B港比从B港返回A港少用3 h,若船速为26 km/h,且水速为2 km/h,求A港和B港相距多少千米.设A港和B港相距x km.根据题意,可列出的方程是 (
A.$\frac{x}{28}=\frac{x}{24}-3$
B.$\frac{x}{28}=\frac{x}{24}+3$
C.$\frac{x+2}{26}=\frac{x-2}{26}+3$
D.$\frac{x+2}{26}=\frac{x-2}{26}-3$
A
)A.$\frac{x}{28}=\frac{x}{24}-3$
B.$\frac{x}{28}=\frac{x}{24}+3$
C.$\frac{x+2}{26}=\frac{x-2}{26}+3$
D.$\frac{x+2}{26}=\frac{x-2}{26}-3$
答案
4.A
解析
【分析】
解决本题需分三步思考：第一步先明确顺流、逆流的实际航行速度：顺流时水流助力船行驶，实际速度=船在静水中的速度+水流速度；逆流时水流阻碍船行驶，实际速度=船在静水中的速度-水流速度。第二步根据行程公式“时间=路程÷速度”，分别表示出顺流从A到B的航行时间、逆流从B到A的航行时间。第三步抓住题干核心等量关系：顺流航行时间比逆流少用3h，即顺流时间=逆流时间-3，将对应表达式代入等量关系即可得到方程。
【解析】
首先计算航行速度：
顺流速度：$26+2=28\ \mathrm{km/h}$，所以顺流从A到B的时间为$\frac{x}{28}\ \mathrm{h}$；
逆流速度：$26-2=24\ \mathrm{km/h}$，所以逆流从B到A的时间为$\frac{x}{24}\ \mathrm{h}$。
根据“顺流航行比逆流少用3h”可得等量关系：顺流时间=逆流时间$-3$，代入得方程：
$\frac{x}{28}=\frac{x}{24}-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 顺逆流速度计算
2. 行程问题公式
3. 一元一次方程列写
【点评】
本题是顺逆流行程类的基础题型，解题的核心是先准确算出顺、逆流的实际行驶速度，再厘清时间的大小关系，不要搞反顺流和逆流的时间差逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需分三步思考：第一步先明确顺流、逆流的实际航行速度：顺流时水流助力船行驶，实际速度=船在静水中的速度+水流速度；逆流时水流阻碍船行驶，实际速度=船在静水中的速度-水流速度。第二步根据行程公式“时间=路程÷速度”，分别表示出顺流从A到B的航行时间、逆流从B到A的航行时间。第三步抓住题干核心等量关系：顺流航行时间比逆流少用3h，即顺流时间=逆流时间-3，将对应表达式代入等量关系即可得到方程。
【解析】
首先计算航行速度：
顺流速度：$26+2=28\ \mathrm{km/h}$，所以顺流从A到B的时间为$\frac{x}{28}\ \mathrm{h}$；
逆流速度：$26-2=24\ \mathrm{km/h}$，所以逆流从B到A的时间为$\frac{x}{24}\ \mathrm{h}$。
根据“顺流航行比逆流少用3h”可得等量关系：顺流时间=逆流时间$-3$，代入得方程：
$\frac{x}{28}=\frac{x}{24}-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 顺逆流速度计算
2. 行程问题公式
3. 一元一次方程列写
【点评】
本题是顺逆流行程类的基础题型，解题的核心是先准确算出顺、逆流的实际行驶速度，再厘清时间的大小关系，不要搞反顺流和逆流的时间差逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.如图,跑道由两个半圆部分AB,CD和两条直跑道AD,BC组成,两个半圆跑道的长都是122 m,两条直跑道的长都是85 m.小斌站在C处,小强站在B处,两人同时逆时针方向跑步,小斌每秒跑7 m,小强每秒跑12 m.当小强第一次追上小斌时,他们的位置在 （
A.半圆跑道AB上
B.直跑道BC上
C.半圆跑道CD上
D.直跑道AD上
C
）A.半圆跑道AB上
B.直跑道BC上
C.半圆跑道CD上
D.直跑道AD上
答案
5.C
解析
【分析】
这是一道环形跑道的追及问题，解题思路分三步：第一步先确定两人初始的路程差，观察位置可知，逆时针跑步时，小斌在C处，小强在B处，小斌领先小强的路程为直道BC的长度85m；第二步利用追及问题的核心等量关系“快者路程=慢者路程+路程差”，列方程求出追及时间；第三步计算小强追上小斌时跑的总路程，沿跑道分段减去各段长度，即可判断所在位置。
【解析】
设小强第一次追上小斌时用时为t秒。
根据追及问题等量关系：小强跑的路程 = 小斌跑的路程 + 两人初始路程差，列方程：
$12t = 7t + 85$
解得：$t=17$
此时小强跑的总路程为：$12×17=204\ \mathrm{m}$
从B点沿逆时针方向分段计算：
① 直道BC长85m，$204 - 85=119\ \mathrm{m}$，即跑完BC直道后还跑了119m；
② 接下来的半圆跑道CD长122m，$119＜122$，说明此时还在CD半圆跑道上。
【答案】
C
【知识点】
环形追及问题，一元一次方程的应用，行程问题计算
【点评】
本题将行程追及问题和环形跑道结合，解题的关键是准确判断初始路程差，再结合追及公式求解，最后通过分段计算确定位置，需注意跑步方向对路程差的影响，避免方向判断错误。
【难度系数】
0.7
这是一道环形跑道的追及问题，解题思路分三步：第一步先确定两人初始的路程差，观察位置可知，逆时针跑步时，小斌在C处，小强在B处，小斌领先小强的路程为直道BC的长度85m；第二步利用追及问题的核心等量关系“快者路程=慢者路程+路程差”，列方程求出追及时间；第三步计算小强追上小斌时跑的总路程，沿跑道分段减去各段长度，即可判断所在位置。
【解析】
设小强第一次追上小斌时用时为t秒。
根据追及问题等量关系：小强跑的路程 = 小斌跑的路程 + 两人初始路程差，列方程：
$12t = 7t + 85$
解得：$t=17$
此时小强跑的总路程为：$12×17=204\ \mathrm{m}$
从B点沿逆时针方向分段计算：
① 直道BC长85m，$204 - 85=119\ \mathrm{m}$，即跑完BC直道后还跑了119m；
② 接下来的半圆跑道CD长122m，$119＜122$，说明此时还在CD半圆跑道上。
【答案】
C
【知识点】
环形追及问题，一元一次方程的应用，行程问题计算
【点评】
本题将行程追及问题和环形跑道结合，解题的关键是准确判断初始路程差，再结合追及公式求解，最后通过分段计算确定位置，需注意跑步方向对路程差的影响，避免方向判断错误。
【难度系数】
0.7
6.已知A，B两地相距200 km，甲车的速度为70 km/h，乙车的速度为50 km/h.
(1)若两车分别从A，B两地同时同向而行（甲车在乙车后面），经过多长时间甲车追上乙车？
(2)若两车同时从A，B两地相向而行，经过多长时间两车相距20 km？
(1)若两车分别从A，B两地同时同向而行（甲车在乙车后面），经过多长时间甲车追上乙车？
(2)若两车同时从A，B两地相向而行，经过多长时间两车相距20 km？
答案
(1)设经过 $x$ h 甲车追上乙车. 由题意得 $70x=200+50x$,解得 $x=10$. 答:经过 10 h 甲车追上乙车.
(2)设经过 $y$ h 两车相距 20 km, 若两车相遇前相距20 km,则 $70y+50y+20=200$,解得 $y=\dfrac{3}{2}$;若两车相遇后相距 20 km,则 $70y+50y-20=200$,解得 $y=\dfrac{11}{6}$.
答:经过 $\dfrac{3}{2}$ h 或 $\dfrac{11}{6}$ h 后两车相距 20 km.
(2)设经过 $y$ h 两车相距 20 km, 若两车相遇前相距20 km,则 $70y+50y+20=200$,解得 $y=\dfrac{3}{2}$;若两车相遇后相距 20 km,则 $70y+50y-20=200$,解得 $y=\dfrac{11}{6}$.
答:经过 $\dfrac{3}{2}$ h 或 $\dfrac{11}{6}$ h 后两车相距 20 km.
解析
【分析】
本题属于行程类应用题，解题思路如下：
(1)第一问是同向追及问题，甲车速度比乙车快，初始时甲车在乙车后方200km处，追上时甲车行驶的总路程等于乙车行驶的路程加上初始的200km距离差，据此列一元一次方程求解即可。
(2)第二问是相向行驶的相距问题，两车相距20km存在两种情况：①两车还没相遇时，一共行驶的路程加上20km等于总路程200km；②两车相遇后继续行驶错开，一共行驶的路程减去20km等于总路程200km，需要分两种情况列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1)设经过$x$ h甲车追上乙车。
追及时甲车行驶路程为$70x$ km，乙车行驶路程为$50x$ km，根据等量关系列方程：
$70x = 200 + 50x$
移项得：$70x - 50x = 200$
即$20x = 200$，解得$x = 10$。
(2)设经过$y$ h两车相距20 km，分两种情况讨论：
①相遇前相距20 km：两车行驶的总路程加20 km等于总路程，列方程：
$70y + 50y + 20 = 200$
化简得：$120y = 180$，解得$y = \frac{3}{2}$。
②相遇后相距20 km：两车行驶的总路程减20 km等于总路程，列方程：
$70y + 50y - 20 = 200$
化简得：$120y = 220$，解得$y = \frac{11}{6}$。
【答案】
(1)经过10 h甲车追上乙车；
(2)经过$\frac{3}{2}$ h或$\frac{11}{6}$ h两车相距20 km。
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；分类讨论思想
【点评】
本题考查行程问题中追及、相遇场景的方程应用，核心是找准不同行驶场景下的路程等量关系，第二问需要注意分类讨论相遇前后两种相距的情况，避免因考虑不全面导致漏解。
【难度系数】
0.6
本题属于行程类应用题，解题思路如下：
(1)第一问是同向追及问题，甲车速度比乙车快，初始时甲车在乙车后方200km处，追上时甲车行驶的总路程等于乙车行驶的路程加上初始的200km距离差，据此列一元一次方程求解即可。
(2)第二问是相向行驶的相距问题，两车相距20km存在两种情况：①两车还没相遇时，一共行驶的路程加上20km等于总路程200km；②两车相遇后继续行驶错开，一共行驶的路程减去20km等于总路程200km，需要分两种情况列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1)设经过$x$ h甲车追上乙车。
追及时甲车行驶路程为$70x$ km，乙车行驶路程为$50x$ km，根据等量关系列方程：
$70x = 200 + 50x$
移项得：$70x - 50x = 200$
即$20x = 200$，解得$x = 10$。
(2)设经过$y$ h两车相距20 km，分两种情况讨论：
①相遇前相距20 km：两车行驶的总路程加20 km等于总路程，列方程：
$70y + 50y + 20 = 200$
化简得：$120y = 180$，解得$y = \frac{3}{2}$。
②相遇后相距20 km：两车行驶的总路程减20 km等于总路程，列方程：
$70y + 50y - 20 = 200$
化简得：$120y = 220$，解得$y = \frac{11}{6}$。
【答案】
(1)经过10 h甲车追上乙车；
(2)经过$\frac{3}{2}$ h或$\frac{11}{6}$ h两车相距20 km。
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；分类讨论思想
【点评】
本题考查行程问题中追及、相遇场景的方程应用，核心是找准不同行驶场景下的路程等量关系，第二问需要注意分类讨论相遇前后两种相距的情况，避免因考虑不全面导致漏解。
【难度系数】
0.6
