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一、选择题
1. 下列解方程过程中，变形正确的是 （
A.由 $2x - 1 = 3$ 得 $2x = 3 - 1$
B.由 $2x - 3(x + 4) = 5$ 得 $2x - 3x - 4 = 5$
C.由 $-75x = 76$ 得 $x = -\dfrac{75}{76}$
D.由 $2x - (x - 1) = 1$ 得 $2x - x = 0$
1. 下列解方程过程中，变形正确的是 （
D
）A.由 $2x - 1 = 3$ 得 $2x = 3 - 1$
B.由 $2x - 3(x + 4) = 5$ 得 $2x - 3x - 4 = 5$
C.由 $-75x = 76$ 得 $x = -\dfrac{75}{76}$
D.由 $2x - (x - 1) = 1$ 得 $2x - x = 0$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查一元一次方程变形的正误判断，解题时需结合等式的性质、去括号法则，逐个分析每个选项的变形是否符合规则，找出正确选项。具体思考步骤为：对每个选项，先判断变形类型（移项/去括号/系数化为1），再对照对应规则验证对错。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：由$2x-1=3$移项时，$-1$移到等号右侧需变号，应为$2x=3+1$，故A变形错误；
B选项：由$2x-3(x+4)=5$去括号时，$-3$要与括号内每一项相乘，应为$2x-3x-12=5$，故B变形错误；
C选项：由$-75x=76$系数化为1时，等号两边同时除以$-75$，得$x=-\dfrac{76}{75}$，分子分母位置颠倒，故C变形错误；
D选项：由$2x-(x-1)=1$先去括号得$2x-x+1=1$，再将$+1$移到等号右侧变号，得$2x-x=1-1$，即$2x-x=0$，故D变形正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；去括号法则；解一元一次方程
【点评】
本题是解方程的基础题型，重点考查解方程过程中容易出错的变形环节，熟练掌握移项变号、去括号的符号规则、系数化为1的运算要求是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次方程变形的正误判断，解题时需结合等式的性质、去括号法则，逐个分析每个选项的变形是否符合规则，找出正确选项。具体思考步骤为：对每个选项，先判断变形类型（移项/去括号/系数化为1），再对照对应规则验证对错。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：由$2x-1=3$移项时，$-1$移到等号右侧需变号，应为$2x=3+1$，故A变形错误；
B选项：由$2x-3(x+4)=5$去括号时，$-3$要与括号内每一项相乘，应为$2x-3x-12=5$，故B变形错误；
C选项：由$-75x=76$系数化为1时，等号两边同时除以$-75$，得$x=-\dfrac{76}{75}$，分子分母位置颠倒，故C变形错误；
D选项：由$2x-(x-1)=1$先去括号得$2x-x+1=1$，再将$+1$移到等号右侧变号，得$2x-x=1-1$，即$2x-x=0$，故D变形正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；去括号法则；解一元一次方程
【点评】
本题是解方程的基础题型，重点考查解方程过程中容易出错的变形环节，熟练掌握移项变号、去括号的符号规则、系数化为1的运算要求是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 若$2(a - 3)$的值与$\frac{1}{6}$互为倒数，则$a$的值为（
A.$-1$
B.$-3$
C.$-5$
D.$6$
D
）A.$-1$
B.$-3$
C.$-5$
D.$6$
答案
2.D
解析
【分析】
解题首先要回忆倒数的性质：互为倒数的两个数的乘积为1。首先根据这个性质列出关于a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可得到a的值。
【解析】
∵ 互为倒数的两个数乘积为1，且$2(a - 3)$与$\frac{1}{6}$互为倒数
∴ $2(a-3) × \frac{1}{6} = 1$
化简左边得：$\frac{1}{3}(a-3) = 1$
等式两边同时乘3得：$a-3 = 3$
移项得：$a = 3 + 3 = 6$
因此a的值为6，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
倒数的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心是利用倒数的性质建立方程，只要熟练掌握倒数的概念和一元一次方程的求解步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题首先要回忆倒数的性质：互为倒数的两个数的乘积为1。首先根据这个性质列出关于a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可得到a的值。
【解析】
∵ 互为倒数的两个数乘积为1，且$2(a - 3)$与$\frac{1}{6}$互为倒数
∴ $2(a-3) × \frac{1}{6} = 1$
化简左边得：$\frac{1}{3}(a-3) = 1$
等式两边同时乘3得：$a-3 = 3$
移项得：$a = 3 + 3 = 6$
因此a的值为6，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
倒数的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心是利用倒数的性质建立方程，只要熟练掌握倒数的概念和一元一次方程的求解步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 若关于$x$的方程$2(x+\frac{1}{2}a)-4=0$的解是$x=-2$，则$a$等于（
A.$-8$
B.$0$
C.$2$
D.$8$
D
）A.$-8$
B.$0$
C.$2$
D.$8$
答案
3.D
解析
【分析】
已知方程的解求参数，核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题思路为：第一步，将已知解$x=-2$代入原方程，把原方程转化为只含未知数$a$的一元一次方程；第二步，解这个关于$a$的一元一次方程，即可得到$a$的取值。
【解析】
把$x=-2$代入方程$2(x+\frac{1}{2}a)-4=0$，可得：
$\displaystyle 2×(-2+\frac{1}{2}a)-4=0$
展开括号计算：
$-4+a-4=0$
合并同类项：
$a-8=0$
移项得：
$a=8$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查利用方程的解求未知参数，解题关键是牢记方程解的定义，将已知解代入原方程转化为关于参数的一元一次方程求解即可，计算时注意遵守去括号的运算规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
已知方程的解求参数，核心是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题思路为：第一步，将已知解$x=-2$代入原方程，把原方程转化为只含未知数$a$的一元一次方程；第二步，解这个关于$a$的一元一次方程，即可得到$a$的取值。
【解析】
把$x=-2$代入方程$2(x+\frac{1}{2}a)-4=0$，可得：
$\displaystyle 2×(-2+\frac{1}{2}a)-4=0$
展开括号计算：
$-4+a-4=0$
合并同类项：
$a-8=0$
移项得：
$a=8$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查利用方程的解求未知参数，解题关键是牢记方程解的定义，将已知解代入原方程转化为关于参数的一元一次方程求解即可，计算时注意遵守去括号的运算规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
4.已知关于$ x $的方程$ 3x - m + 1 = -2 $的解是$ x = 4 $，则$ m $的值为（
A.9
B.11
C.13
D.15
D
）A.9
B.11
C.13
D.15
答案
4.D
解析
【分析】
要解这道题，首先需明确一元一次方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=4是原方程的解，我们可以直接把x=4代入原方程，此时原方程就转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，就能求出m的值。
【解析】
∵ x=4是方程$3x - m + 1 = -2$的解
∴ 将x=4代入原方程，得：
$3×4 - m + 1 = -2$
计算左边常数项：$12 - m + 1 = -2$，即$13 - m = -2$
移项，得：$m = 13 + 2$
合并同类项，得：$m = 15$
因此选择D选项。
【答案】D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程的解的定义将已知解代入原方程，把求参数的问题转化为解一元一次方程的问题，计算难度较低，掌握相关概念和基本解方程步骤即可得分。
【难度系数】
0.9
要解这道题，首先需明确一元一次方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=4是原方程的解，我们可以直接把x=4代入原方程，此时原方程就转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，就能求出m的值。
【解析】
∵ x=4是方程$3x - m + 1 = -2$的解
∴ 将x=4代入原方程，得：
$3×4 - m + 1 = -2$
计算左边常数项：$12 - m + 1 = -2$，即$13 - m = -2$
移项，得：$m = 13 + 2$
合并同类项，得：$m = 15$
因此选择D选项。
【答案】D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用方程的解的定义将已知解代入原方程，把求参数的问题转化为解一元一次方程的问题，计算难度较低，掌握相关概念和基本解方程步骤即可得分。
【难度系数】
0.9
5. 若代数式$\frac{a+3}{5}$比$\frac{2a-3}{8}$的值多1，则$a$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$-2$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$2$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$-2$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$2$
答案
5.C
解析
【分析】
首先根据题目中“代数式$\frac{a+3}{5}$比$\frac{2a-3}{8}$的值多1”的表述，提取等量关系：$\frac{a+3}{5} - \frac{2a-3}{8} = 1$，接下来按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步计算即可求出$a$的值。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{a+3}{5} - \frac{2a-3}{8} = 1$
1. 去分母：方程两边同时乘5和8的最小公倍数40，得
$8(a+3) - 5(2a-3) = 40$
2. 去括号（注意符号变化）：
$8a + 24 - 10a + 15 = 40$
3. 合并同类项：
$-2a + 39 = 40$
4. 移项：
$-2a = 40 - 39$
$-2a = 1$
5. 系数化为1：
$a = -\frac{1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程；代数式大小关系
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确将题干中的数量关系转化为一元一次方程，计算过程中要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号时若括号前是负号，括号内各项都要变号，避免因计算细节失误丢分。
【难度系数】
0.7
首先根据题目中“代数式$\frac{a+3}{5}$比$\frac{2a-3}{8}$的值多1”的表述，提取等量关系：$\frac{a+3}{5} - \frac{2a-3}{8} = 1$，接下来按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步计算即可求出$a$的值。
【解析】
根据题意列方程：
$\frac{a+3}{5} - \frac{2a-3}{8} = 1$
1. 去分母：方程两边同时乘5和8的最小公倍数40，得
$8(a+3) - 5(2a-3) = 40$
2. 去括号（注意符号变化）：
$8a + 24 - 10a + 15 = 40$
3. 合并同类项：
$-2a + 39 = 40$
4. 移项：
$-2a = 40 - 39$
$-2a = 1$
5. 系数化为1：
$a = -\frac{1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
列一元一次方程；解一元一次方程；代数式大小关系
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确将题干中的数量关系转化为一元一次方程，计算过程中要注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号时若括号前是负号，括号内各项都要变号，避免因计算细节失误丢分。
【难度系数】
0.7
6. 娇娇妈妈去银行存款，银行三年定期储蓄的年利率是3.75%.已知娇娇妈妈到期后取出的本息和共89 000元，设她存入银行的本金为x元，则下列方程中，正确的是（
A.$x · 3.75\% × 3 = 89\ 000$
B.$x + x · 3.75\% × 3 = 89\ 000$
C.$x · (1 + 3.75\%) × 3 = 89\ 000$
D.$(1 + 3.75\% x) × 3 = 89\ 000$
B
）A.$x · 3.75\% × 3 = 89\ 000$
B.$x + x · 3.75\% × 3 = 89\ 000$
C.$x · (1 + 3.75\%) × 3 = 89\ 000$
D.$(1 + 3.75\% x) × 3 = 89\ 000$
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确储蓄问题的核心数量关系：定期存款按单利计算利息，利息=本金×年利率×存款年数，而本息和是本金与利息的总和。已知本金为x元，存期3年，年利率3.75%，本息和为89000元，只需先求出总利息，再根据“本金+利息=本息和”的等量关系列方程，最后对应选项判断即可。
【解析】
第一步，计算三年的总利息：根据利息公式，利息=本金×年利率×存期，代入数据得总利息为$x·3.75\% ×3$。
第二步，根据本息和的定义列方程：本息和=本金+利息，已知本息和为89000元，代入得方程：$x + x·3.75\% ×3 = 89000$，与选项B一致。
【答案】
B
【知识点】
1. 利息计算
2. 本息和公式
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题重点考查储蓄问题中基本数量关系的应用，解题关键是明确利息和本息和的区别，牢记单利计算模式下的利息公式，不要混淆单利与复利的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确储蓄问题的核心数量关系：定期存款按单利计算利息，利息=本金×年利率×存款年数，而本息和是本金与利息的总和。已知本金为x元，存期3年，年利率3.75%，本息和为89000元，只需先求出总利息，再根据“本金+利息=本息和”的等量关系列方程，最后对应选项判断即可。
【解析】
第一步，计算三年的总利息：根据利息公式，利息=本金×年利率×存期，代入数据得总利息为$x·3.75\% ×3$。
第二步，根据本息和的定义列方程：本息和=本金+利息，已知本息和为89000元，代入得方程：$x + x·3.75\% ×3 = 89000$，与选项B一致。
【答案】
B
【知识点】
1. 利息计算
2. 本息和公式
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题重点考查储蓄问题中基本数量关系的应用，解题关键是明确利息和本息和的区别，牢记单利计算模式下的利息公式，不要混淆单利与复利的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
7.已知方程$3x + 8 = \frac{x}{4} - a$的解满足$|x - 2| = 0$，则$a$的值为（
A.$-\frac{27}{2}$
B.$-\frac{1}{28}$
C.$-\frac{1}{14}$
D.$4$
A
）A.$-\frac{27}{2}$
B.$-\frac{1}{28}$
C.$-\frac{1}{14}$
D.$4$
答案
7.A
解析
【分析】
解题分两步走：第一步，先根据绝对值的性质，由|x-2|=0求出x的值，因为绝对值为0时，绝对值内的代数式等于0；第二步，将求出的x代入方程$3x + 8 = \frac{x}{4} - a$，此时方程变为只含参数a的一元一次方程，解这个方程就能得到a的值。
【解析】
1. 求解x的值：
已知$|x - 2| = 0$，根据绝对值的性质，可得：
$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
2. 将$x=2$代入方程$3x + 8 = \frac{x}{4} - a$求a：
把$x=2$代入方程，得：
$3×2 + 8 = \frac{2}{4} - a$
计算左边：$3×2+8=6+8=14$，右边化简得$\frac{1}{2} - a$，因此等式为：
$14 = \frac{1}{2} - a$
移项得：$a = \frac{1}{2} - 14$
通分计算：$a = \frac{1}{2} - \frac{28}{2} = -\frac{27}{2}$
因此a的值为$-\frac{27}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查对绝对值性质和一元一次方程解的定义的理解，只要先求出x的值再代入原方程求解参数即可，计算时注意移项要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解题分两步走：第一步，先根据绝对值的性质，由|x-2|=0求出x的值，因为绝对值为0时，绝对值内的代数式等于0；第二步，将求出的x代入方程$3x + 8 = \frac{x}{4} - a$，此时方程变为只含参数a的一元一次方程，解这个方程就能得到a的值。
【解析】
1. 求解x的值：
已知$|x - 2| = 0$，根据绝对值的性质，可得：
$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
2. 将$x=2$代入方程$3x + 8 = \frac{x}{4} - a$求a：
把$x=2$代入方程，得：
$3×2 + 8 = \frac{2}{4} - a$
计算左边：$3×2+8=6+8=14$，右边化简得$\frac{1}{2} - a$，因此等式为：
$14 = \frac{1}{2} - a$
移项得：$a = \frac{1}{2} - 14$
通分计算：$a = \frac{1}{2} - \frac{28}{2} = -\frac{27}{2}$
因此a的值为$-\frac{27}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是考查对绝对值性质和一元一次方程解的定义的理解，只要先求出x的值再代入原方程求解参数即可，计算时注意移项要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
8.小晨与阿波下棋(假设没有平局),小晨胜一盘记2分,阿波胜一盘记3分,下了10盘后,两人得分相等,则阿波胜的盘数是 (
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
8.C
解析
【分析】
这是一道积分类的一元一次方程应用题，解题关键是找到题目中的等量关系：下10盘后两人得分相等。我们可以先设阿波胜的盘数为未知数，用总盘数减去阿波胜的盘数得到小晨胜的盘数，再分别按照两人的计分规则表示出各自的总得分，根据得分相等列方程求解即可。
【解析】
解：设阿波胜了$x$盘，因为无平局且共下10盘，所以小晨胜了$(10-x)$盘。
根据两人得分相等的关系可列方程：
$3x=2(10-x)$
展开右边得：$3x=20-2x$
移项得：$3x+2x=20$
合并同类项得：$5x=20$
系数化为1得：$x=4$
即阿波胜的盘数是4盘。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，核心是找准等量关系，熟练掌握列一元一次方程解应用题的基本步骤就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
这是一道积分类的一元一次方程应用题，解题关键是找到题目中的等量关系：下10盘后两人得分相等。我们可以先设阿波胜的盘数为未知数，用总盘数减去阿波胜的盘数得到小晨胜的盘数，再分别按照两人的计分规则表示出各自的总得分，根据得分相等列方程求解即可。
【解析】
解：设阿波胜了$x$盘，因为无平局且共下10盘，所以小晨胜了$(10-x)$盘。
根据两人得分相等的关系可列方程：
$3x=2(10-x)$
展开右边得：$3x=20-2x$
移项得：$3x+2x=20$
合并同类项得：$5x=20$
系数化为1得：$x=4$
即阿波胜的盘数是4盘。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，核心是找准等量关系，熟练掌握列一元一次方程解应用题的基本步骤就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
9.近年来,网购的蓬勃发展方便了人们的生活.某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送,若每个快递员派送10件,则还剩6件;若每个快递员派送12件,则还差6件.该分派站现有包裹（
A.60件
B.66件
C.68件
D.72件
B
）A.60件
B.66件
C.68件
D.72件
答案
9.B
解析
【分析】
本题属于分配类一元一次方程应用题，解题时首先要找准题目中的不变量：快递员人数和包裹总数量均固定不变。我们可以先设快递员人数为未知数，根据两种派送方案对应的包裹总数量相等列出方程，先求解出快递员人数，再代入任意一种派送方案即可算出包裹总数量。
【解析】
解：设该分派站现有$ x $名快递员。
由两种派送方案下包裹总数量相等，可列方程：
$ 10x + 6 = 12x - 6 $
移项，得：$ 10x - 12x = -6 - 6 $
合并同类项，得：$ -2x = -12 $
系数化为1，得：$ x = 6 $
则包裹总数量为：$ 10 × 6 + 6 = 66 $（件）
验证：若每个快递员派送12件，$ 12×6 -6=66 $（件），符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 分配类问题等量关系
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，解题核心是抓住不变量建立等量关系，只要熟练掌握一元一次方程的求解步骤，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题属于分配类一元一次方程应用题，解题时首先要找准题目中的不变量：快递员人数和包裹总数量均固定不变。我们可以先设快递员人数为未知数，根据两种派送方案对应的包裹总数量相等列出方程，先求解出快递员人数，再代入任意一种派送方案即可算出包裹总数量。
【解析】
解：设该分派站现有$ x $名快递员。
由两种派送方案下包裹总数量相等，可列方程：
$ 10x + 6 = 12x - 6 $
移项，得：$ 10x - 12x = -6 - 6 $
合并同类项，得：$ -2x = -12 $
系数化为1，得：$ x = 6 $
则包裹总数量为：$ 10 × 6 + 6 = 66 $（件）
验证：若每个快递员派送12件，$ 12×6 -6=66 $（件），符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 分配类问题等量关系
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，解题核心是抓住不变量建立等量关系，只要熟练掌握一元一次方程的求解步骤，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
10. 一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用$1 m^3$钢材可以做40个A部件或240个B部件。现要用$6 m^3$钢材做A，B两种部件，恰好配成若干套仪器，则下列说法正确的是（
A.用$4 m^3$钢材做B部件
B.用$2 m^3$钢材做A部件
C.配成仪器480套
D.配成仪器160套
D
）A.用$4 m^3$钢材做B部件
B.用$2 m^3$钢材做A部件
C.配成仪器480套
D.配成仪器160套
答案
10.D
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程配套应用题，解题核心是抓住配套的数量比例关系：1套仪器需要1个A部件、3个B部件，因此生产的B部件总数量必须是A部件总数量的3倍才能恰好配套。我们可以先设做A部件的钢材体积为未知数，用钢材总体积表示出做B部件的钢材体积，再分别表示出A、B部件的总数量，根据3倍的等量关系列方程求解，最后验证各选项即可。
【解析】
解：设用$x \, m^3$钢材做A部件，则用$(6-x) \, m^3$钢材做B部件。
根据恰好配套时“B部件总数量=3×A部件总数量”，列方程：
$240(6-x) = 3×40x$
化简得：
$1440 - 240x = 120x$
移项合并同类项：
$360x = 1440$
解得：$x=4$
即做A部件的钢材为$4 \, m^3$，做B部件的钢材为$6-4=2 \, m^3$。
生产的A部件总数量为$4×40=160$个，因1个A部件配1套仪器，故共配成仪器160套。
逐一判断选项：
A. 做B部件的钢材为$2 \, m^3$，错误；
B. 做A部件的钢材为$4 \, m^3$，错误；
C. 配成仪器160套，错误；
D. 配成仪器160套，正确。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题
【点评】
本题是常见的配套类实际应用题，解题关键是准确提取配套对应的数量等量关系，结合总量设未知数列方程求解，理清逻辑后计算难度较低。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元一次方程配套应用题，解题核心是抓住配套的数量比例关系：1套仪器需要1个A部件、3个B部件，因此生产的B部件总数量必须是A部件总数量的3倍才能恰好配套。我们可以先设做A部件的钢材体积为未知数，用钢材总体积表示出做B部件的钢材体积，再分别表示出A、B部件的总数量，根据3倍的等量关系列方程求解，最后验证各选项即可。
【解析】
解：设用$x \, m^3$钢材做A部件，则用$(6-x) \, m^3$钢材做B部件。
根据恰好配套时“B部件总数量=3×A部件总数量”，列方程：
$240(6-x) = 3×40x$
化简得：
$1440 - 240x = 120x$
移项合并同类项：
$360x = 1440$
解得：$x=4$
即做A部件的钢材为$4 \, m^3$，做B部件的钢材为$6-4=2 \, m^3$。
生产的A部件总数量为$4×40=160$个，因1个A部件配1套仪器，故共配成仪器160套。
逐一判断选项：
A. 做B部件的钢材为$2 \, m^3$，错误；
B. 做A部件的钢材为$4 \, m^3$，错误；
C. 配成仪器160套，错误；
D. 配成仪器160套，正确。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题
【点评】
本题是常见的配套类实际应用题，解题关键是准确提取配套对应的数量等量关系，结合总量设未知数列方程求解，理清逻辑后计算难度较低。
【难度系数】
0.7
11. 若6的倒数等于2x+2，则x的值为
$-\dfrac{11}{12}$
.答案
11.$-\dfrac{11}{12}$
解析
【分析】
解题首先要明确倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，先求出6的倒数；再根据题目给出的等量关系“6的倒数等于2x+2”列出一元一次方程，最后按照解一元一次方程的步骤（移项、合并同类项、系数化为1）求解x的值即可，计算时注意遵循分数运算的规则。
【解析】
解：根据倒数的定义，可得6的倒数为$\dfrac{1}{6}$。
结合题意列方程：
$2x + 2 = \dfrac{1}{6}$
移项得：
$2x = \dfrac{1}{6} - 2$
计算等号右侧：$\dfrac{1}{6} - 2 = \dfrac{1}{6} - \dfrac{12}{6} = -\dfrac{11}{6}$
系数化为1得：
$x = -\dfrac{11}{6} ÷ 2 = -\dfrac{11}{12}$
【答案】
$-\dfrac{11}{12}$
【知识点】
1.倒数的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查倒数概念的掌握和简单一元一次方程的求解能力，解题的关键是正确根据题意列出方程，计算时注意分数通分、运算符号的准确性，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，先求出6的倒数；再根据题目给出的等量关系“6的倒数等于2x+2”列出一元一次方程，最后按照解一元一次方程的步骤（移项、合并同类项、系数化为1）求解x的值即可，计算时注意遵循分数运算的规则。
【解析】
解：根据倒数的定义，可得6的倒数为$\dfrac{1}{6}$。
结合题意列方程：
$2x + 2 = \dfrac{1}{6}$
移项得：
$2x = \dfrac{1}{6} - 2$
计算等号右侧：$\dfrac{1}{6} - 2 = \dfrac{1}{6} - \dfrac{12}{6} = -\dfrac{11}{6}$
系数化为1得：
$x = -\dfrac{11}{6} ÷ 2 = -\dfrac{11}{12}$
【答案】
$-\dfrac{11}{12}$
【知识点】
1.倒数的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查倒数概念的掌握和简单一元一次方程的求解能力，解题的关键是正确根据题意列出方程，计算时注意分数通分、运算符号的准确性，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
12.方程$(2a - 1)x^2 + 3x + 1 = 4$是关于x的一元一次方程，则$a=$
$\dfrac{1}{2}$
。答案
12.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要解这道题，首先需明确一元一次方程的核心特征：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0。本题给出的方程含有$x^2$项，要使它成为一元一次方程，必须让二次项的系数等于0来消去二次项，再求解a的值，最后验证结果是否满足一次项系数不为0的要求即可。
【解析】
因为方程$(2a - 1)x^2 + 3x + 1 = 4$是关于$x$的一元一次方程，所以方程中$x$的最高次数只能为1，即二次项系数为0，可得：
$2a - 1 = 0$
解这个关于$a$的方程：
移项得$2a = 1$
系数化为1得$a = \dfrac{1}{2}$
验证：当$a=\dfrac{1}{2}$时，原方程化为$3x+1=4$，是一元一次方程，符合题意。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.一元一次方程的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题考察一元一次方程的基本概念，解题关键是抓住“未知数最高次数为1”的核心要求，易错点是容易遗漏二次项系数需为0的条件，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先需明确一元一次方程的核心特征：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0。本题给出的方程含有$x^2$项，要使它成为一元一次方程，必须让二次项的系数等于0来消去二次项，再求解a的值，最后验证结果是否满足一次项系数不为0的要求即可。
【解析】
因为方程$(2a - 1)x^2 + 3x + 1 = 4$是关于$x$的一元一次方程，所以方程中$x$的最高次数只能为1，即二次项系数为0，可得：
$2a - 1 = 0$
解这个关于$a$的方程：
移项得$2a = 1$
系数化为1得$a = \dfrac{1}{2}$
验证：当$a=\dfrac{1}{2}$时，原方程化为$3x+1=4$，是一元一次方程，符合题意。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.一元一次方程的定义 2.解一元一次方程
【点评】
本题考察一元一次方程的基本概念，解题关键是抓住“未知数最高次数为1”的核心要求，易错点是容易遗漏二次项系数需为0的条件，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.8
13.关于$x$的方程$2(x-a)=x-1$的解为$4a+b$,则关于$x$的方程$2(ax-b)-1\ 973=-bx+4a+55$的解$x=$
$-2\ 026$
.答案
13.$-2\ 026$
解析
【分析】
首先求解第一个含参数$a$的一元一次方程，结合题目给出的解的表达式，推导得到$a$与$b$的数量关系；再将第二个关于$x$的方程整理，把得到的$a$、$b$关系式整体代入，即可求出$x$的值，无需单独计算$a$、$b$的具体数值，简化运算。
【解析】
1. 推导$a$、$b$的数量关系
解方程$2(x-a)=x-1$：
去括号，得$2x - 2a = x - 1$
移项、合并同类项，得$x = 2a - 1$
由题意，该方程的解为$4a + b$，因此：
$2a - 1 = 4a + b$
整理得$2a + b = -1$
2. 求解第二个方程
对$2(ax - b) - 1973 = -bx + 4a + 55$整理：
去括号，得$2ax - 2b - 1973 = -bx + 4a + 55$
移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边：
$2ax + bx = 4a + 2b + 55 + 1973$
左边提取公因式$x$，右边变形得：
$x(2a + b) = 2(2a + b) + 2028$
将$2a + b = -1$整体代入上式：
$-x = 2×(-1) + 2028$
计算得$-x = 2026$，即$x = -2026$
【答案】
$-2026$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；整体代入求值
【点评】
本题重点考查一元一次方程解的意义，解题的核心是通过第一个方程得到$a$和$b$的关系，再用整体代入法简化第二个方程的求解，能有效考查学生的代数运算和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
首先求解第一个含参数$a$的一元一次方程，结合题目给出的解的表达式，推导得到$a$与$b$的数量关系；再将第二个关于$x$的方程整理，把得到的$a$、$b$关系式整体代入，即可求出$x$的值，无需单独计算$a$、$b$的具体数值，简化运算。
【解析】
1. 推导$a$、$b$的数量关系
解方程$2(x-a)=x-1$：
去括号，得$2x - 2a = x - 1$
移项、合并同类项，得$x = 2a - 1$
由题意，该方程的解为$4a + b$，因此：
$2a - 1 = 4a + b$
整理得$2a + b = -1$
2. 求解第二个方程
对$2(ax - b) - 1973 = -bx + 4a + 55$整理：
去括号，得$2ax - 2b - 1973 = -bx + 4a + 55$
移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边：
$2ax + bx = 4a + 2b + 55 + 1973$
左边提取公因式$x$，右边变形得：
$x(2a + b) = 2(2a + b) + 2028$
将$2a + b = -1$整体代入上式：
$-x = 2×(-1) + 2028$
计算得$-x = 2026$，即$x = -2026$
【答案】
$-2026$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；整体代入求值
【点评】
本题重点考查一元一次方程解的意义，解题的核心是通过第一个方程得到$a$和$b$的关系，再用整体代入法简化第二个方程的求解，能有效考查学生的代数运算和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
14.甲、乙两人在 400 m 环形跑道上练习跑步，甲的速度是 5 m/s，乙的速度是 7 m/s.两人站在同一起点，同时同向出发，那么当乙第一次恰好追上甲时，甲跑了
$1\ 000$
m.答案
14.$1\ 000$
解析
【分析】
这是环形跑道同向追及问题，解题思路清晰：①同向出发时，快的人第一次追上慢的人，两者的路程差刚好是环形跑道1圈的长度，也就是400m；②可以先通过“追及时间=路程差÷速度差”算出乙追上甲的时间，也可以列一元一次方程，利用“乙跑的路程-甲跑的路程=400m”的等量关系求解追及时间；③最后用甲的速度乘追及时间，即可算出甲跑的总路程。
【解析】
方法一（算术法）：
1. 计算甲乙的速度差：$7-5=2\ \mathrm{m/s}$
2. 乙第一次追上甲时比甲多跑1圈共400m，追及时间为：$400÷2=200\ \mathrm{s}$
3. 甲跑的路程为：$5×200=1000\ \mathrm{m}$
方法二（方程法）：
设经过$t$秒乙第一次追上甲。
乙比甲多跑400m，据此列方程：
$7t - 5t = 400$
合并同类项得：$2t=400$
解得：$t=200$
则甲跑的路程为：$5×200=1000\ \mathrm{m}$
【答案】
$1000$
【知识点】
环形跑道追及问题；一元一次方程的应用；路程速度时间关系
【点评】
本题是行程类基础题型，解题核心是抓住同向追及第一次相遇时的路程差为跑道周长，只要理清路程、速度、时间三者的关系，用算术法或方程法都能顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是环形跑道同向追及问题，解题思路清晰：①同向出发时，快的人第一次追上慢的人，两者的路程差刚好是环形跑道1圈的长度，也就是400m；②可以先通过“追及时间=路程差÷速度差”算出乙追上甲的时间，也可以列一元一次方程，利用“乙跑的路程-甲跑的路程=400m”的等量关系求解追及时间；③最后用甲的速度乘追及时间，即可算出甲跑的总路程。
【解析】
方法一（算术法）：
1. 计算甲乙的速度差：$7-5=2\ \mathrm{m/s}$
2. 乙第一次追上甲时比甲多跑1圈共400m，追及时间为：$400÷2=200\ \mathrm{s}$
3. 甲跑的路程为：$5×200=1000\ \mathrm{m}$
方法二（方程法）：
设经过$t$秒乙第一次追上甲。
乙比甲多跑400m，据此列方程：
$7t - 5t = 400$
合并同类项得：$2t=400$
解得：$t=200$
则甲跑的路程为：$5×200=1000\ \mathrm{m}$
【答案】
$1000$
【知识点】
环形跑道追及问题；一元一次方程的应用；路程速度时间关系
【点评】
本题是行程类基础题型，解题核心是抓住同向追及第一次相遇时的路程差为跑道周长，只要理清路程、速度、时间三者的关系，用算术法或方程法都能顺利求解。
【难度系数】
0.8
15. 若代数式$(2x^2 + 3ax - y) - 2(bx^2 - 3x + 2y - 1)$的值与字母$x$的取值无关，则代数式$(a - b) - (a + b)$的值是
$-2$
。答案
15.$-2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需理解“代数式的值与字母x的取值无关”的含义：即代数式中所有含x的项的系数都为0，x的取值不会影响最终结果。解题分三步进行：第一步，对给定的含x的代数式去括号、合并同类项，整理为按x的降幂排列的形式；第二步，根据与x取值无关的条件，令x的二次项、一次项系数分别等于0，列方程求出a、b的值；第三步，化简目标后代入a、b的值计算结果。
【解析】
首先化简给定的代数式：
$\begin{aligned}&(2x^2 + 3ax - y) - 2(bx^2 - 3x + 2y - 1)\\=&2x^2 + 3ax - y - 2bx^2 + 6x - 4y + 2\\=&(2 - 2b)x^2 + (3a + 6)x - 5y + 2\end{aligned}$
因为代数式的值与x取值无关，所以x的各次项系数均为0，可得：
$\begin{cases}2 - 2b = 0\\3a + 6 = 0\end{cases}$
解得：$b=1$，$a=-2$。
再化简目标代数式：
$\begin{aligned}(a - b) - (a + b)&=a - b - a - b\\&=-2b\end{aligned}$
将$b=1$代入得：$-2×1=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
整式的加减；代数式无关类问题；代数式求值
【点评】
本题是整式加减的典型常考题，解题核心是掌握“代数式的值与某字母无关等价于该字母的所有次项系数为0”的规律，按照先化简原式求参数、再代入目标式计算的固定逻辑解题即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需理解“代数式的值与字母x的取值无关”的含义：即代数式中所有含x的项的系数都为0，x的取值不会影响最终结果。解题分三步进行：第一步，对给定的含x的代数式去括号、合并同类项，整理为按x的降幂排列的形式；第二步，根据与x取值无关的条件，令x的二次项、一次项系数分别等于0，列方程求出a、b的值；第三步，化简目标后代入a、b的值计算结果。
【解析】
首先化简给定的代数式：
$\begin{aligned}&(2x^2 + 3ax - y) - 2(bx^2 - 3x + 2y - 1)\\=&2x^2 + 3ax - y - 2bx^2 + 6x - 4y + 2\\=&(2 - 2b)x^2 + (3a + 6)x - 5y + 2\end{aligned}$
因为代数式的值与x取值无关，所以x的各次项系数均为0，可得：
$\begin{cases}2 - 2b = 0\\3a + 6 = 0\end{cases}$
解得：$b=1$，$a=-2$。
再化简目标代数式：
$\begin{aligned}(a - b) - (a + b)&=a - b - a - b\\&=-2b\end{aligned}$
将$b=1$代入得：$-2×1=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
整式的加减；代数式无关类问题；代数式求值
【点评】
本题是整式加减的典型常考题，解题核心是掌握“代数式的值与某字母无关等价于该字母的所有次项系数为0”的规律，按照先化简原式求参数、再代入目标式计算的固定逻辑解题即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
