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5. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AE$是中线，$BF$是角平分线，$∠ C=70°$.求$∠ BAE$和$∠ 1$的度数. 
答案
解：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C = 70°$，
$△ ABC$是等腰三角形。
∵ $AE$是等腰$△ ABC$底边$BC$上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，得：
$AE⊥ BC$，$AE$平分$∠ BAC$。
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 70° - 70° = 40°$，
∴ $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。
∵ $BF$是$∠ ABC$的角平分线，
∴ $∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
∵ $AE⊥ BC$，
∴ $∠ AEB = 90°$，
根据三角形外角的性质，$∠ 1 = ∠ FBC + ∠ AEB = 35° + 90° = 125°$。
综上，$∠ BAE = 20°$，$∠ 1 = 125°$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C = 70°$，
$△ ABC$是等腰三角形。
∵ $AE$是等腰$△ ABC$底边$BC$上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，得：
$AE⊥ BC$，$AE$平分$∠ BAC$。
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 70° - 70° = 40°$，
∴ $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。
∵ $BF$是$∠ ABC$的角平分线，
∴ $∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
∵ $AE⊥ BC$，
∴ $∠ AEB = 90°$，
根据三角形外角的性质，$∠ 1 = ∠ FBC + ∠ AEB = 35° + 90° = 125°$。
综上，$∠ BAE = 20°$，$∠ 1 = 125°$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合∠C=70°，利用等腰三角形等边对等角的性质可求出∠ABC的度数，再用三角形内角和定理算出顶角∠BAC的度数；接着根据等腰三角形三线合一的性质，中线AE同时是顶角的角平分线和底边上的高，即可求出∠BAE的度数。求∠1时，先根据角平分线的定义算出∠FBC的度数，再观察∠1是含∠AEB和∠FBC的三角形的外角，利用三角形外角的性质即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C = 70°$，$△ ABC$是等腰三角形。
∵ $AE$是等腰$△ ABC$底边$BC$上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，得：
$AE⊥ BC$，$AE$平分$∠ BAC$。
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 70° - 70° = 40°$，
∴ $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。
∵ $BF$是$∠ ABC$的角平分线，
∴ $∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
∵ $AE⊥ BC$，
∴ $∠ AEB = 90°$，
根据三角形外角的性质，$∠ 1 = ∠ FBC + ∠ AEB = 35° + 90° = 125°$。
【答案】
$∠ BAE = 20°$，$∠ 1 = 125°$
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类几何题，核心考查等腰三角形三线合一性质的应用，同时结合了角平分线、三角形外角的相关性质，解题的关键是准确梳理各角之间的数量关系，熟练运用等腰三角形的特殊性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合∠C=70°，利用等腰三角形等边对等角的性质可求出∠ABC的度数，再用三角形内角和定理算出顶角∠BAC的度数；接着根据等腰三角形三线合一的性质，中线AE同时是顶角的角平分线和底边上的高，即可求出∠BAE的度数。求∠1时，先根据角平分线的定义算出∠FBC的度数，再观察∠1是含∠AEB和∠FBC的三角形的外角，利用三角形外角的性质即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC = ∠ C = 70°$，$△ ABC$是等腰三角形。
∵ $AE$是等腰$△ ABC$底边$BC$上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，得：
$AE⊥ BC$，$AE$平分$∠ BAC$。
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 70° - 70° = 40°$，
∴ $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$。
∵ $BF$是$∠ ABC$的角平分线，
∴ $∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 70° = 35°$。
∵ $AE⊥ BC$，
∴ $∠ AEB = 90°$，
根据三角形外角的性质，$∠ 1 = ∠ FBC + ∠ AEB = 35° + 90° = 125°$。
【答案】
$∠ BAE = 20°$，$∠ 1 = 125°$
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算类几何题，核心考查等腰三角形三线合一性质的应用，同时结合了角平分线、三角形外角的相关性质，解题的关键是准确梳理各角之间的数量关系，熟练运用等腰三角形的特殊性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$. 在$△ PBC$中，$PB=PC$.
（1）求证：$∠ ABP=∠ ACP$.
（2）连接$AP$，求证：$AP⊥ BC$.
（1）求证：$∠ ABP=∠ ACP$.
（2）连接$AP$，求证：$AP⊥ BC$.
答案
证明：(1)
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC=∠ ACB$（等边对等角）。
∵ $PB=PC$，
∴ $∠ PBC=∠ PCB$（等边对等角）。
∴ $∠ ABC - ∠ PBC = ∠ ACB - ∠ PCB$，
即 $∠ ABP=∠ ACP$。
(2) 连接$AP$，
在$△ ABP$和$△ ACP$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\PB=PC \\AP=AP\end{array} $
∴ $△ ABP ≌ △ ACP$（SSS）。
∴ $∠ BAP=∠ CAP$，即$AP$平分$∠ BAC$。
又∵ $AB=AC$，由等腰三角形“三线合一”的性质，
∴ $AP⊥ BC$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC=∠ ACB$（等边对等角）。
∵ $PB=PC$，
∴ $∠ PBC=∠ PCB$（等边对等角）。
∴ $∠ ABC - ∠ PBC = ∠ ACB - ∠ PCB$，
即 $∠ ABP=∠ ACP$。
(2) 连接$AP$，
在$△ ABP$和$△ ACP$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\PB=PC \\AP=AP\end{array} $
∴ $△ ABP ≌ △ ACP$（SSS）。
∴ $∠ BAP=∠ CAP$，即$AP$平分$∠ BAC$。
又∵ $AB=AC$，由等腰三角形“三线合一”的性质，
∴ $AP⊥ BC$。
解析
【分析】
（1）要证明∠ABP=∠ACP，可利用等腰三角形等边对等角的性质推导：已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，对应底角∠ABC=∠ACB；同理PB=PC可得△PBC是等腰三角形，对应底角∠PBC=∠PCB，将两个等式左右分别相减，即可得到要证的结论。
（2）要证明AP⊥BC，结合△ABC是等腰三角形的特征，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明AP是∠BAC的角平分线即可。要证AP平分∠BAC，可通过证明△ABP≌△ACP实现：已知AB=AC、PB=PC，加上公共边AP=AP，可通过SSS判定两个三角形全等，进而得到对应角∠BAP=∠CAP，最后结合三线合一即可推出AP⊥BC。
【解析】
(1)
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC=∠ ACB$（等边对等角）。
∵ $PB=PC$，
∴ $∠ PBC=∠ PCB$（等边对等角）。
∴ $∠ ABC - ∠ PBC = ∠ ACB - ∠ PCB$，
即 $∠ ABP=∠ ACP$。
(2) 连接$AP$，
在$△ ABP$和$△ ACP$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\PB=PC \\AP=AP\end{array} $
∴ $△ ABP ≌ △ ACP$（SSS）。
∴ $∠ BAP=∠ CAP$，即$AP$平分$∠ BAC$。
又
∵ $AB=AC$，由等腰三角形“三线合一”的性质，
∴ $AP⊥ BC$。
【答案】
(1) $∠ABP=∠ACP$得证；
(2) $AP⊥BC$得证。
【知识点】
1. 等边对等角
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题是巩固等腰三角形相关性质的典型基础题，解题思路清晰，需要注意证明过程的逻辑连贯性，熟练掌握等腰三角形的性质和SSS全等判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）要证明∠ABP=∠ACP，可利用等腰三角形等边对等角的性质推导：已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，对应底角∠ABC=∠ACB；同理PB=PC可得△PBC是等腰三角形，对应底角∠PBC=∠PCB，将两个等式左右分别相减，即可得到要证的结论。
（2）要证明AP⊥BC，结合△ABC是等腰三角形的特征，根据等腰三角形三线合一的性质，只需证明AP是∠BAC的角平分线即可。要证AP平分∠BAC，可通过证明△ABP≌△ACP实现：已知AB=AC、PB=PC，加上公共边AP=AP，可通过SSS判定两个三角形全等，进而得到对应角∠BAP=∠CAP，最后结合三线合一即可推出AP⊥BC。
【解析】
(1)
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ ABC=∠ ACB$（等边对等角）。
∵ $PB=PC$，
∴ $∠ PBC=∠ PCB$（等边对等角）。
∴ $∠ ABC - ∠ PBC = ∠ ACB - ∠ PCB$，
即 $∠ ABP=∠ ACP$。
(2) 连接$AP$，
在$△ ABP$和$△ ACP$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\PB=PC \\AP=AP\end{array} $
∴ $△ ABP ≌ △ ACP$（SSS）。
∴ $∠ BAP=∠ CAP$，即$AP$平分$∠ BAC$。
又
∵ $AB=AC$，由等腰三角形“三线合一”的性质，
∴ $AP⊥ BC$。
【答案】
(1) $∠ABP=∠ACP$得证；
(2) $AP⊥BC$得证。
【知识点】
1. 等边对等角
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题是巩固等腰三角形相关性质的典型基础题，解题思路清晰，需要注意证明过程的逻辑连贯性，熟练掌握等腰三角形的性质和SSS全等判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
