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如图1-20，我们知道，在△ABC中，如果AB=AC，那么∠B=∠C。它的逆命题成立吗？为什么？
答案
解：该逆命题成立。
理由如下：
已知在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。
过点A作AD⊥BC，垂足为D，
则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\∠ADB=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC。
即有两个角相等的三角形是等腰三角形，因此该逆命题成立。
理由如下：
已知在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。
过点A作AD⊥BC，垂足为D，
则∠ADB=∠ADC=90°。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C \\∠ADB=∠ADC \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC。
即有两个角相等的三角形是等腰三角形，因此该逆命题成立。
解析
【分析】
首先明确原命题的逆命题为：在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB=AC。要判断该逆命题是否成立，本质是证明“等角对等边”。要证明两条线段相等，常用思路是证明两条线段所在的三角形全等，本题可通过作辅助线构造全等三角形：过点A作BC的垂线，将△ABC分为两个直角三角形，两个三角形具备一组等角（∠B=∠C）、一组直角相等、公共边相等，满足AAS全等判定条件，证得全等后即可推出对应边AB=AC，进而验证逆命题成立。
【解析】
该逆命题成立，理由如下：
已知在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。
过点A作AD⊥BC，垂足为D，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ ADB=∠ ADC \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore AB=AC$
因此有两个角相等的三角形是等腰三角形，原命题的逆命题成立。
【答案】
该逆命题成立，即有两个角相等的三角形是等腰三角形（可简称为“等角对等边”）。
【知识点】
逆命题的定义、等腰三角形的判定、全等三角形的判定（AAS）
【点评】
本题围绕等腰三角形判定定理的推导展开，既考查了逆命题的相关概念，又需要熟练运用全等三角形的判定证明结论，是等腰三角形部分的基础典型题，掌握本题的推导逻辑能加深对等腰三角形性质和判定的区分理解。
【难度系数】
0.7
首先明确原命题的逆命题为：在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB=AC。要判断该逆命题是否成立，本质是证明“等角对等边”。要证明两条线段相等，常用思路是证明两条线段所在的三角形全等，本题可通过作辅助线构造全等三角形：过点A作BC的垂线，将△ABC分为两个直角三角形，两个三角形具备一组等角（∠B=∠C）、一组直角相等、公共边相等，满足AAS全等判定条件，证得全等后即可推出对应边AB=AC，进而验证逆命题成立。
【解析】
该逆命题成立，理由如下：
已知在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。
过点A作AD⊥BC，垂足为D，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ C \\∠ ADB=∠ ADC \\AD=AD\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore AB=AC$
因此有两个角相等的三角形是等腰三角形，原命题的逆命题成立。
【答案】
该逆命题成立，即有两个角相等的三角形是等腰三角形（可简称为“等角对等边”）。
【知识点】
逆命题的定义、等腰三角形的判定、全等三角形的判定（AAS）
【点评】
本题围绕等腰三角形判定定理的推导展开，既考查了逆命题的相关概念，又需要熟练运用全等三角形的判定证明结论，是等腰三角形部分的基础典型题，掌握本题的推导逻辑能加深对等腰三角形性质和判定的区分理解。
【难度系数】
0.7
例 如图1-21,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C$,$AD⊥ BC$,垂足为$D$,$DE// AB$.
(1) $△ ABC$是等腰三角形吗?为什么?
(2) $△ ADE$是等腰三角形吗?为什么?
(1) $△ ABC$是等腰三角形吗?为什么?
(2) $△ ADE$是等腰三角形吗?为什么?
答案
解：(1) $△ ABC$是等腰三角形。
理由如下：
在$△ ABC$中，
$\because ∠ B = ∠ C$，
$\therefore AB = AC$（等角对等边），
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $△ ADE$是等腰三角形。
理由如下：
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB = 90°$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ B = 90°$。
由(1)知$△ ABC$是等腰三角形，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$（等腰三角形底边上的高平分顶角），
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$。
又$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ 2 = ∠ 3$，
$\therefore AE = DE$（等角对等边），
$\therefore △ ADE$是等腰三角形。
理由如下：
在$△ ABC$中，
$\because ∠ B = ∠ C$，
$\therefore AB = AC$（等角对等边），
$\therefore △ ABC$是等腰三角形。
(2) $△ ADE$是等腰三角形。
理由如下：
$\because AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB = 90°$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ B = 90°$。
由(1)知$△ ABC$是等腰三角形，$AD⊥ BC$，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$（等腰三角形底边上的高平分顶角），
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$。
又$\because DE// AB$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ 2 = ∠ 3$，
$\therefore AE = DE$（等角对等边），
$\therefore △ ADE$是等腰三角形。
解析
【分析】
(1) 判断△ABC是否为等腰三角形，可直接依据等腰三角形的判定定理“等角对等边”思考，题目已经给出∠B=∠C的条件，可直接推导得到两边相等，即可得出结论。
(2) 判断△ADE是否为等腰三角形，核心是推导该三角形中有两个内角相等：首先结合(1)的结论和AD⊥BC的条件，利用等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，即∠1=∠2；再结合DE//AB的条件，利用平行线的内错角相等性质可得∠1=∠3，通过等量代换得到△ADE中两个内角相等，再利用等角对等边即可完成判定。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
在△ABC中，
∵∠B = ∠C，
∴AB = AC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形。
(2) △ADE是等腰三角形，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB = 90°，
∴∠1 + ∠B = 90°。
由(1)知△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的高平分顶角），
∴∠1 = ∠2。
又
∵DE//AB，
∴∠1 = ∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠2 = ∠3，
∴AE = DE（等角对等边），
∴△ADE是等腰三角形。
【答案】
(1) △ABC是等腰三角形，理由见解析；
(2) △ADE是等腰三角形，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题型，综合考察了等腰三角形相关定理和平行线性质的应用，解题的核心是通过已知条件完成角度的等量推导，能够帮助学生巩固基础定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
(1) 判断△ABC是否为等腰三角形，可直接依据等腰三角形的判定定理“等角对等边”思考，题目已经给出∠B=∠C的条件，可直接推导得到两边相等，即可得出结论。
(2) 判断△ADE是否为等腰三角形，核心是推导该三角形中有两个内角相等：首先结合(1)的结论和AD⊥BC的条件，利用等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，即∠1=∠2；再结合DE//AB的条件，利用平行线的内错角相等性质可得∠1=∠3，通过等量代换得到△ADE中两个内角相等，再利用等角对等边即可完成判定。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
在△ABC中，
∵∠B = ∠C，
∴AB = AC（等角对等边），
∴△ABC是等腰三角形。
(2) △ADE是等腰三角形，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB = 90°，
∴∠1 + ∠B = 90°。
由(1)知△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形底边上的高平分顶角），
∴∠1 = ∠2。
又
∵DE//AB，
∴∠1 = ∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠2 = ∠3，
∴AE = DE（等角对等边），
∴△ADE是等腰三角形。
【答案】
(1) △ABC是等腰三角形，理由见解析；
(2) △ADE是等腰三角形，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础题型，综合考察了等腰三角形相关定理和平行线性质的应用，解题的核心是通过已知条件完成角度的等量推导，能够帮助学生巩固基础定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
1. 有的三角形是等腰三角形.
如图，∵ ∠B=∠C，
∴ =.
如图，∵ ∠B=∠C，
∴ =.
答案
解：两个角相等
如图，∵ ∠B=∠C，
∴ AB = AC.
如图，∵ ∠B=∠C，
∴ AB = AC.
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的判定定理相关知识，解题思路如下：首先回忆等腰三角形的判定内容：有两个角相等的三角形是等腰三角形，也可简称为“等角对等边”；其次结合图形找到相等的角对应的边，∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，根据等角对等边即可得到相等的边。
【解析】
1. 根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，因此第一个空填“两个角相等”。
2. 在△ABC中，已知∠B=∠C，根据“等角对等边”的判定规则，相等的角所对的边相等，其中∠C的对边为AB，∠B的对边为AC，因此可得AB=AC。
【答案】
两个角相等；AB；AC
【知识点】
等腰三角形的判定；等角对等边
【点评】
本题属于基础概念应用题，侧重对等腰三角形判定定理的直接考察，只要熟记定理内容，能正确对应三角形中角和对边的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形的判定定理相关知识，解题思路如下：首先回忆等腰三角形的判定内容：有两个角相等的三角形是等腰三角形，也可简称为“等角对等边”；其次结合图形找到相等的角对应的边，∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，根据等角对等边即可得到相等的边。
【解析】
1. 根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，因此第一个空填“两个角相等”。
2. 在△ABC中，已知∠B=∠C，根据“等角对等边”的判定规则，相等的角所对的边相等，其中∠C的对边为AB，∠B的对边为AC，因此可得AB=AC。
【答案】
两个角相等；AB；AC
【知识点】
等腰三角形的判定；等角对等边
【点评】
本题属于基础概念应用题，侧重对等腰三角形判定定理的直接考察，只要熟记定理内容，能正确对应三角形中角和对边的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. (1) 如图,在$△ ABC$中,$DE ⊥ AC$,垂足为$D$,$DE$交$AB$于点$E$,$AE=CE$, $∠ AED=60°$,$∠ ACB=80°$,则$∠ BCE$的度数是().
A.$30°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$110°$
A.$30°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$110°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，先利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；再根据AE=CE判定△AEC是等腰三角形，利用等边对等角得到∠ACE和∠A相等；最后用∠ACB的度数减去∠ACE的度数，即可求出∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵$DE⊥AC$，
∴$∠ ADE=90°$，
在$Rt△ ADE$中，$∠ AED=60°$，
∴$∠ A=90°-∠ AED=90°-60°=30°$，
又
∵$AE=CE$，
∴$△ AEC$是等腰三角形，
∴$∠ ACE=∠ A=30°$，
已知$∠ ACB=80°$，
∴$∠ BCE=∠ ACB-∠ ACE=80°-30°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形性质，等腰三角形性质，角的和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用特殊三角形的角的性质推导角的等量关系，解题思路清晰，只要熟练掌握等腰三角形和直角三角形的基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的垂直条件入手，先利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；再根据AE=CE判定△AEC是等腰三角形，利用等边对等角得到∠ACE和∠A相等；最后用∠ACB的度数减去∠ACE的度数，即可求出∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵$DE⊥AC$，
∴$∠ ADE=90°$，
在$Rt△ ADE$中，$∠ AED=60°$，
∴$∠ A=90°-∠ AED=90°-60°=30°$，
又
∵$AE=CE$，
∴$△ AEC$是等腰三角形，
∴$∠ ACE=∠ A=30°$，
已知$∠ ACB=80°$，
∴$∠ BCE=∠ ACB-∠ ACE=80°-30°=50°$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形性质，等腰三角形性质，角的和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用特殊三角形的角的性质推导角的等量关系，解题思路清晰，只要熟练掌握等腰三角形和直角三角形的基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
（2）在$△ ABC$中，已知$∠ A＝40°$，若$△ ABC$是等腰三角形，则$∠ B$的度数是（）。
A.$40°$
B.$70°$
C.$40°$或$70°$
D.$40°$或$70°$或$100°$
[第2(1)题]
[第3(2)题]
A.$40°$
B.$70°$
C.$40°$或$70°$
D.$40°$或$70°$或$100°$
[第2(1)题]
[第3(2)题]
答案
D
解析
【分析】
本题要计算等腰三角形中∠B的度数，已知∠A=40°，但没有明确∠A是顶角还是底角，也没有明确∠B是顶角还是底角，因此需要结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°，分三种情况讨论计算，同时要验证每种情况是否符合三角形的角度要求。
【解析】
已知△ABC是等腰三角形，∠A=40°，分三种情况讨论：
1. 当∠A为等腰三角形的顶角时，∠B和∠C是两个相等的底角：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-40°)÷2=70°$；
2. 当∠A为等腰三角形的底角，且∠B也为底角时：
$∠ B=∠ A=40°$；
3. 当∠A为等腰三角形的底角，且∠B为顶角时，另一个底角$∠ C=∠ A=40°$：
$∠ B=180°-2×∠ A=180°-80°=100°$；
以上三种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，易错点是遗漏分类情况，解题时若题目未明确已知角是等腰三角形的顶角还是底角，一定要全面分类讨论，计算后还要验证是否符合三角形内角和要求，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题要计算等腰三角形中∠B的度数，已知∠A=40°，但没有明确∠A是顶角还是底角，也没有明确∠B是顶角还是底角，因此需要结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°，分三种情况讨论计算，同时要验证每种情况是否符合三角形的角度要求。
【解析】
已知△ABC是等腰三角形，∠A=40°，分三种情况讨论：
1. 当∠A为等腰三角形的顶角时，∠B和∠C是两个相等的底角：
$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-40°)÷2=70°$；
2. 当∠A为等腰三角形的底角，且∠B也为底角时：
$∠ B=∠ A=40°$；
3. 当∠A为等腰三角形的底角，且∠B为顶角时，另一个底角$∠ C=∠ A=40°$：
$∠ B=180°-2×∠ A=180°-80°=100°$；
以上三种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，易错点是遗漏分类情况，解题时若题目未明确已知角是等腰三角形的顶角还是底角，一定要全面分类讨论，计算后还要验证是否符合三角形内角和要求，避免漏解。
【难度系数】
0.6
3.（1）底角等于顶角一半的等腰三角形的顶角度数是________；
（2）如图，在$△ ABC$中，角平分线$BO$和$CO$相交于点$O$，$OE // AB$，$OF // AC$，$BC=4$，则$△ OEF$的周长为________。
（2）如图，在$△ ABC$中，角平分线$BO$和$CO$相交于点$O$，$OE // AB$，$OF // AC$，$BC=4$，则$△ OEF$的周长为________。
答案
(1) $\boldsymbol{90°}$；(2) $\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
（1）本题可利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，通过设未知数列方程求解顶角度数。首先设顶角度数为x，根据题意表示出底角的度数，再根据三个内角和为180°列方程计算即可。
（2）本题需结合角平分线的定义、平行线的性质推导等腰三角形，进而转化线段求解三角形周长。首先根据角平分线得到等角，再由平行线的内错角相等得到新的等角，利用“等角对等边”得出OE=BE、OF=FC，最后将△OEF的周长转化为BC的长度即可求解。
【解析】
（1）设该等腰三角形的顶角度数为$ x $，由题意得底角度数为$ \frac{1}{2}x $。
根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和为180°，可得：
$ x + 2×\frac{1}{2}x = 180° $
化简得$ 2x = 180° $，解得$ x=90° $。
（2）
∵BO平分$ ∠ ABC $，
∴$ ∠ ABO = ∠ OBC $，
∵$ OE // AB $，
∴$ ∠ ABO = ∠ BOE $（两直线平行，内错角相等），
∴$ ∠ OBC = ∠ BOE $，
∴$ BE = OE $（等角对等边）。
同理，
∵CO平分$ ∠ ACB $，
∴$ ∠ ACO = ∠ OCB $，
∵$ OF // AC $，
∴$ ∠ ACO = ∠ COF $（两直线平行，内错角相等），
∴$ ∠ OCB = ∠ COF $，
∴$ FC = OF $（等角对等边）。
∴$ △ OEF $的周长$ = OE + EF + OF = BE + EF + FC = BC = 4 $。
【答案】
(1) $ 90° $；(2) $ 4 $
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
这两道题是等腰三角形判定的典型基础题，第一题运用方程思想求解角度，第二题通过角平分线、平行线的性质推导等腰三角形，实现线段的转化，解题关键是熟练掌握“等角对等边”的判定定理，灵活转化角或线段的关系。
【难度系数】
0.8
（1）本题可利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，通过设未知数列方程求解顶角度数。首先设顶角度数为x，根据题意表示出底角的度数，再根据三个内角和为180°列方程计算即可。
（2）本题需结合角平分线的定义、平行线的性质推导等腰三角形，进而转化线段求解三角形周长。首先根据角平分线得到等角，再由平行线的内错角相等得到新的等角，利用“等角对等边”得出OE=BE、OF=FC，最后将△OEF的周长转化为BC的长度即可求解。
【解析】
（1）设该等腰三角形的顶角度数为$ x $，由题意得底角度数为$ \frac{1}{2}x $。
根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和为180°，可得：
$ x + 2×\frac{1}{2}x = 180° $
化简得$ 2x = 180° $，解得$ x=90° $。
（2）
∵BO平分$ ∠ ABC $，
∴$ ∠ ABO = ∠ OBC $，
∵$ OE // AB $，
∴$ ∠ ABO = ∠ BOE $（两直线平行，内错角相等），
∴$ ∠ OBC = ∠ BOE $，
∴$ BE = OE $（等角对等边）。
同理，
∵CO平分$ ∠ ACB $，
∴$ ∠ ACO = ∠ OCB $，
∵$ OF // AC $，
∴$ ∠ ACO = ∠ COF $（两直线平行，内错角相等），
∴$ ∠ OCB = ∠ COF $，
∴$ FC = OF $（等角对等边）。
∴$ △ OEF $的周长$ = OE + EF + OF = BE + EF + FC = BC = 4 $。
【答案】
(1) $ 90° $；(2) $ 4 $
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
这两道题是等腰三角形判定的典型基础题，第一题运用方程思想求解角度，第二题通过角平分线、平行线的性质推导等腰三角形，实现线段的转化，解题关键是熟练掌握“等角对等边”的判定定理，灵活转化角或线段的关系。
【难度系数】
0.8
