4. 如图，AD//BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD. （第4题）

证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABD = ∠ADB。
∴ AB = AD（等角对等边）。

【分析】
要证明两条边相等，若两条边在同一个三角形中，可优先利用“等角对等边”的等腰三角形判定方法，因此本题目标转化为证明△ABD中∠ABD=∠ADB。首先由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠DBC；再结合AD//BC的条件，根据平行线的性质可得内错角∠ADB=∠DBC；通过等量代换即可得到∠ABD=∠ADB，进而推出AB=AD。
【解析】
证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABD = ∠ADB。
∴ AB = AD（等角对等边）。
【答案】
证明：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠DBC（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABD = ∠ADB。
∴ AB = AD（等角对等边）。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，综合了角平分线、平行线、等腰三角形的相关知识，解题关键是通过角的等量代换得到相等的角，进而推导出边相等，这类角的转化思路是几何证明中的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

5. 如图，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，DE//BC. 求证：DB=EC. (第5题)

证明：
∵ AD = AE，
∴ ∠ADE = ∠AED。
∵ DE // BC，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C。
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC（等角对等边）。
又∵ AD = AE，
∴ AB - AD = AC - AE，
即 DB = EC。

【分析】
要证明DB=EC，我们可以通过推导AB=AC，再结合已知AD=AE作差得到结论。首先由AD=AE，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠ADE=∠AED；再结合DE//BC，利用平行线同位角相等的性质，得到∠ADE=∠B、∠AED=∠C，通过等量代换推出∠B=∠C；接下来根据等腰三角形等角对等边的判定，即可得到AB=AC，最后对相等的线段作差，就能推出DB=EC。
【解析】
证明：
∵ AD = AE，
∴ ∠ADE = ∠AED。
∵ DE // BC，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C。
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC（等角对等边）。
又
∵ AD = AE，
∴ AB - AD = AC - AE，
即 DB = EC。
【答案】
证明：
∵ AD = AE，
∴ ∠ADE = ∠AED。
∵ DE // BC，
∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C。
∴ ∠B = ∠C。
∴ AB = AC（等角对等边）。
又
∵ AD = AE，
∴ AB - AD = AC - AE，
即 DB = EC。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；平行线的性质；等式的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了平行线性质和等腰三角形的相关知识，解题核心是通过角的等量代换推出边的等量关系，能有效锻炼基础逻辑推导能力。
【难度系数】
0.85

6. (1) 如图,在$△ ABC$中,$AD\bot BC$,垂足为$D$,$∠ BAD=∠ CAD$.求证:$AB=AC$.

[第6(1)题]
(2) 如图,在$△ ABC$中,$BD=CD$,$∠ BAD=∠ CAD$.求证:$AB=AC$.

[第6(2)题]

(1) 证明：
∵ $AD\bot BC$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ CAD, \\AD = AD, \\∠ ADB = ∠ ADC,\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（ASA），
∴ $AB = AC$。
---
(2) 证明：
延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
在$△ BDE$和$△ CDA$中，
$\begin{cases}BD = CD, \\∠ BDE = ∠ CDA, \\DE = DA,\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDA$（SAS），
∴ $BE = AC$，$∠ E = ∠ CAD$。
∵ $∠ BAD = ∠ CAD$，
∴ $∠ E = ∠ BAD$，
∴ $AB = BE$（等角对等边），
∴ $AB = AC$。

【分析】
(1) 要证明AB=AC，可通过证明△ABD与△ACD全等来实现。已知AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，结合题目给出的∠BAD=∠CAD，以及公共边AD，满足ASA全等判定条件，证得两三角形全等后即可得到对应边AB=AC。
(2) 本题仅给出AD是中线和角平分线的条件，无法直接证明△ABD和△ACD全等，可采用倍长中线的辅助线方法：延长AD到E使DE=AD，连接BE，先证△BDE和△CDA全等，将AC转化为BE，再结合∠BAD=∠CAD推出∠E=∠BAD，利用等角对等边得到AB=BE，通过等量代换即可证得AB=AC。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AD\bot BC$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ CAD, \\AD = AD, \\∠ ADB = ∠ ADC,\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（ASA），
∴ $AB = AC$。
(2) 证明：
延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$BE$。
在$△ BDE$和$△ CDA$中，
$\begin{cases}BD = CD, \\∠ BDE = ∠ CDA, \\DE = DA,\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDA$（SAS），
∴ $BE = AC$，$∠ E = ∠ CAD$。
∵ $∠ BAD = ∠ CAD$，
∴ $∠ E = ∠ BAD$，
∴ $AB = BE$（等角对等边），
∴ $AB = AC$。
【答案】
(1) $AB=AC$，得证；
(2) $AB=AC$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等角对等边、倍长中线法
【点评】
本题分两个层次考查三角形相关知识，第一问属于基础题，直接利用角边角判定全等即可求解；第二问需要灵活运用倍长中线的辅助线构造全等三角形实现边的转化，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.7