如图1-22,在△ABC中,如果AB=AC,增加一个什么条件,能使△ABC是一个等边三角形？

解：本题答案不唯一，以下任意一个条件均可使△ABC成为等边三角形：
1. 添加条件：$AB=BC$
已知$AB=AC$，结合$AB=BC$可得$AB=AC=BC$，根据等边三角形的定义，$△ ABC$是等边三角形。
2. 添加条件：$∠ A=60°$
已知$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，结合$∠ A=60°$，根据“有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形”，可得$△ ABC$是等边三角形。
同理，添加$∠ B=60°$或$∠ C=60°$也可证得$△ ABC$为等边三角形。

【分析】
首先明确题目已知△ABC中AB=AC，即△ABC已经是等腰三角形。要使等腰三角形变为等边三角形，可结合等边三角形的两类判定思路思考：第一类是根据“三边相等的三角形是等边三角形”，添加第三边与已知两边相等的条件即可；第二类是根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，添加任意一个内角为60°的条件即可，按照这两个思路就能找到符合要求的添加条件。
【解析】
本题答案不唯一，以下条件任选其一即可：
1. 添加条件$\boldsymbol{AB=BC}$：
已知$AB=AC$，结合$AB=BC$，可得$AB=AC=BC$，根据等边三角形的定义，三边相等的三角形是等边三角形，因此$△ ABC$是等边三角形。
2. 添加条件$\boldsymbol{∠ A=60°}$：
已知$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，结合“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”的判定定理，可得$△ ABC$是等边三角形。
同理，添加$∠ B=60°$或$∠ C=60°$，也可证得$△ ABC$为等边三角形。
【答案】
答案不唯一，示例：$AB=BC$（或$∠ A=60°$、$∠ B=60°$、$∠ C=60°$，任选其一即可）
【知识点】
1. 等边三角形的判定
2. 等腰三角形的定义
【点评】
本题属于条件开放型题目，核心考查等边三角形判定方法的灵活运用，解题时需要结合已给出的等腰三角形条件，对应判定定理添加合适的条件，能够帮助学生巩固特殊三角形的判定相关知识。
【难度系数】
0.9

例 求证:在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边是斜边的一半.

已知：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$。
求证：$BC=\dfrac{1}{2}AB$。
证明：
延长$BC$到点$D$，使$CD=BC$，连接$AD$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD=90°$。
在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}BC=DC \\∠ ACB=∠ ACD \\AC=AC\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AB=AD$。
$\because ∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-30°=60°$，
$\therefore △ ABD$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
$\therefore BD=AB$。
又$\because BD=BC+CD=2BC$，
$\therefore 2BC=AB$，
即$BC=\dfrac{1}{2}AB$。

【分析】
首先明确本题的已知条件为Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，需要证明30°角所对的直角边BC等于斜边AB的一半，即证AB=2BC。我们可以通过构造辅助线得到长度为2BC的线段，再证明该线段与AB相等：延长BC至点D使CD=BC，此时BD=2BC，接下来只需证明BD=AB即可。先利用SAS判定△ABC和△ADC全等，可得AB=AD，即△ABD为等腰三角形；再结合直角三角形两锐角互余算出∠B=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△ABD是等边三角形，因此AB=BD，即可推导出最终结论。
【解析】
已知：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$。
求证：$BC=\dfrac{1}{2}AB$。
证明：
延长$BC$到点$D$，使$CD=BC$，连接$AD$。
$\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACD=90°$。
在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\begin{cases}BC=DC \\∠ ACB=∠ ACD \\AC=AC\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AB=AD$。
$\because ∠ BAC=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-30°=60°$，
$\therefore △ ABD$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
$\therefore BD=AB$。
又$\because BD=BC+CD=2BC$，
$\therefore 2BC=AB$，
即$BC=\dfrac{1}{2}AB$。
【答案】
$BC=\dfrac{1}{2}AB$，得证。
【知识点】
1. 三角形全等的SAS判定
2. 等边三角形的判定
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形30°角性质的经典证明题，解题核心是通过构造辅助线将线段倍分关系的证明转化为等量关系的推导，考察了学生对全等三角形、等边三角形相关性质与判定的综合运用能力，是几何基础证明的典型题型。
【难度系数】
0.7

1.（1）等边三角形的各角________.
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ \_\_\_\_\_\_=∠ \_\_\_\_\_\_=∠ \_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_°$.
（2）______的三角形是等边三角形.
$\because \_\_\_\_\_\_$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形.
（3）______的等腰三角形是等边三角形.
$\because AB=AC,∠ \_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形.
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边是________.
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°,∠ A=30°$，
$\therefore BC=\_\_\_\_\_\_$.

解：
(1) 都相等，且均为$60°$
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°$.
(2) 三个角都相等
$\because △ ABC$中，$∠ A=∠ B=∠ C$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形.
(3) 有一个角是$60°$
$\because AB=AC, ∠ A = 60°$,
$\therefore △ ABC$是等边三角形.
(4) 斜边的一半
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°, ∠ A=30°$,
$\therefore BC=\frac{1}{2}AB$.

【分析】
本题属于基础识记类题目，核心考察等边三角形的性质、判定定理以及含30°角的直角三角形的特殊性质，解题时对应回忆相关定理内容逐空填写即可：
1. 第（1）问对应等边三角形的角的性质，直接套用等边三角形内角的特征填空；
2. 第（2）问对应等边三角形的判定定理，填写判定所需的角的条件即可；
3. 第（3）问对应等腰三角形推等边三角形的判定规则，补充60°角的条件即可；
4. 第（4）问对应特殊直角三角形的性质，填写30°锐角对应的边的数量关系即可。
【解析】
（1）根据等边三角形的性质，等边三角形的各角都相等，且均为$60°$；
已知$△ ABC$是等边三角形，因此三个内角相等，可得$\therefore ∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°$。
（2）根据等边三角形的判定定理，三个角都相等的三角形是等边三角形；
当$△ ABC$满足$∠ A=∠ B=∠ C$时，即可判定$△ ABC$是等边三角形。
（3）根据等边三角形的判定定理，有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形；
已知$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，补充条件$∠ A = 60°$，即可判定$△ ABC$是等边三角形。
（4）根据含30°角的直角三角形的性质，在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边是斜边的一半；
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°,∠ A=30°$，$∠A$所对的直角边为$BC$，斜边为$AB$，因此$BC=\frac{1}{2}AB$。
【答案】
(1) 都相等，且均为$60°$；A，B，C，60
(2) 三个角都相等；$△ ABC$中，$∠ A=∠ B=∠ C$
(3) 有一个角是$60°$；A，60
(4) 斜边的一半；$\frac{1}{2}AB$
【知识点】
等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题侧重基础概念的考察，涉及的都是几何中常用的基础定理，熟练掌握这类结论是后续解决复杂等边三角形、直角三角形相关几何题的核心前提。
【难度系数】
0.9

2. 一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是$60°$，这个三角形是()。

A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C.有$30°$锐角的直角三角形
D.直角三角形

B

【分析】
解题时先从“轴对称图形”的条件入手：三角形如果是轴对称图形，说明它一定是等腰三角形（只有等腰三角形满足沿某条直线对折后两边完全重合的要求）；再结合已知的60°内角，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，就能推导出三角形三个内角的度数，最终确定三角形的类型。
【解析】
步骤1：判断三角形的基础类型
因为该三角形是轴对称图形，所以这个三角形是等腰三角形（等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线所在的直线）。
步骤2：结合60°内角推导三角形类型
已知等腰三角形有一个内角为60°，分两种情况讨论：
① 若60°是顶角：则两个底角的度数均为$\frac{180°-60°}{2}=60°$，三个内角均为60°，是等边三角形；
② 若60°是底角：则另一个底角也为60°，顶角度数为$180°-60°×2=60°$，三个内角仍均为60°，是等边三角形。
综上，这个三角形是等边三角形。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形的定义；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考察轴对称图形的性质与等边三角形的判定，解题的关键是先由轴对称的性质确定三角形为等腰三角形，再结合已知角的度数推导即可。
【难度系数】
0.9

3. (1) 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC=AC$，$AD$是中线，点$E$在边$AC$上，$AE=AD$，则$∠ EDC=$°；

[第3(1)题]
(2) 以正方形$ABCD$的一边$CD$为边向外作等边三角形$CDE$，则$∠ AEB=$°；

[第3(2)题]

(1) $\boldsymbol{15}$；(2) $\boldsymbol{30}$

【分析】
(1) 首先根据三边相等判断△ABC是等边三角形，得到内角度数为60°；再利用等边三角形三线合一的性质，得到AD垂直BC、∠DAC为30°；接着由AD=AE可知△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形内角和算出∠ADE的度数，最后用直角∠ADC减去∠ADE即可得到∠EDC的度数。
(2) 首先根据正方形性质得到CD与AD、BC长度相等，正方形内角为90°；再结合等边三角形性质得到CD=DE=CE，等边三角形内角为60°，进而推出△ADE、△BCE为等腰三角形，算出∠DEA、∠CEB的度数，最后用等边三角形的∠DEC减去这两个角的度数即可得到∠AEB的度数。
【解析】
(1) 解：
∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵AD是等边△ABC的中线，根据三线合一性质，
∴AD⊥BC，$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，即$∠ ADC=90°$，
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∴$∠ ADE=∠ AED=(180°-∠ DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°$，
∴$∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=90°-75°=15°$。
(2) 解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，$∠ ADC=∠ BCD=90°$，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD=DE=CE，$∠ CDE=∠ DCE=∠ DEC=60°$，
∴AD=DE，BC=CE，$∠ ADE=90°+60°=150°$，$∠ BCE=90°+60°=150°$，
∴△ADE、△BCE均为等腰三角形，
∴$∠ DEA=(180°-150°)÷2=15°$，$∠ CEB=(180°-150°)÷2=15°$，
∴$∠ AEB=∠ DEC-∠ DEA-∠ CEB=60°-15°-15°=30°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；(2) $\boldsymbol{30}$
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质
【点评】
这两道题属于特殊图形性质的基础综合题，解题核心是熟练运用等边三角形、等腰三角形、正方形的边和角的相关性质，通过角度的转化与和差计算得到结果，是等腰三角形章节的常见题型。
【难度系数】
0.7