你是怎样理解下列三个方程的？
(1) $2x+4=0$；
(2) $2x+4=1$；
(3) $2x+4=-1$。

解：
我们可以结合一次函数$y=2x+4$来理解这三个方程：
(1) 方程$2x+4=0$的解，是一次函数$y=2x+4$当函数值$y=0$时对应的自变量$x$的值，即直线$y=2x+4$与$x$轴交点的横坐标。
解方程得：$x=-2$。
(2) 方程$2x+4=1$的解，是一次函数$y=2x+4$当函数值$y=1$时对应的自变量$x$的值，即直线$y=2x+4$与直线$y=1$交点的横坐标。
解方程得：$2x=-3$，$x=-\dfrac{3}{2}$。
(3) 方程$2x+4=-1$的解，是一次函数$y=2x+4$当函数值$y=-1$时对应的自变量$x$的值，即直线$y=2x+4$与直线$y=-1$交点的横坐标。
解方程得：$2x=-5$，$x=-\dfrac{5}{2}$。

【分析】
首先观察三个方程的结构特点：三个方程左侧均为相同的一次式$2x+4$，可对应一次函数$y=2x+4$，右侧为不同的常数，本质是求一次函数取不同固定函数值时对应的自变量$x$的取值；从函数图像的角度理解，就是求直线$y=2x+4$与对应水平直线交点的横坐标，最后再按照一元一次方程的求解步骤分别计算每个方程的解即可。
【解析】
我们结合一次函数$y=2x+4$来理解这三个方程：
(1) 方程$2x+4=0$的解，是一次函数$y=2x+4$当函数值$y=0$时对应的自变量$x$的值，即直线$y=2x+4$与$x$轴交点的横坐标。
解方程：移项得$2x=-4$，系数化为1得$x=-2$。
(2) 方程$2x+4=1$的解，是一次函数$y=2x+4$当函数值$y=1$时对应的自变量$x$的值，即直线$y=2x+4$与直线$y=1$交点的横坐标。
解方程：移项得$2x=1-4=-3$，系数化为1得$x=-\dfrac{3}{2}$。
(3) 方程$2x+4=-1$的解，是一次函数$y=2x+4$当函数值$y=-1$时对应的自变量$x$的值，即直线$y=2x+4$与直线$y=-1$交点的横坐标。
解方程：移项得$2x=-1-4=-5$，系数化为1得$x=-\dfrac{5}{2}$。
【答案】
(1) $2x+4=0$的解是一次函数$y=2x+4$中$y=0$时对应的$x$值，即直线$y=2x+4$与$x$轴交点的横坐标，解为$\boldsymbol{x=-2}$；
(2) $2x+4=1$的解是一次函数$y=2x+4$中$y=1$时对应的$x$值，即直线$y=2x+4$与直线$y=1$交点的横坐标，解为$\boldsymbol{x=-\dfrac{3}{2}}$；
(3) $2x+4=-1$的解是一次函数$y=2x+4$中$y=-1$时对应的$x$值，即直线$y=2x+4$与直线$y=-1$交点的横坐标，解为$\boldsymbol{x=-\dfrac{5}{2}}$。
【知识点】
一元一次方程求解；一次函数与一元一次方程的联系；一次函数图像性质
【点评】
本题将一元一次方程和一次函数相结合，既考查了一元一次方程的基础求解能力，又引导学生建立代数与几何的对应关系，帮助理解方程的几何意义，强化数形结合的数学思维。
【难度系数】
0.8

例 已知一次函数$y=2x+3$的图象与正比例函数$y=mx$（$m$为常数，$m≠0$）的图象交点的横坐标是－2.
（1）求$m$的值；
（2）写出关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - y = -3, \\ mx - y = 0\end{cases}$的解.

解：
（1）将$x=-2$代入$y=2x+3$，得
$y=2×(-2)+3=-1$
因此两个函数图象的交点坐标为$(-2,-1)$。
把$(-2,-1)$代入$y=mx$，得
$-1=-2m$
解得$m=\frac{1}{2}$。
（2）因为所求方程组对应的两个一次函数图象的交点坐标就是该方程组的解，
所以方程组$\begin{cases}2x - y = -3, \\ mx - y = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2 \\ y=-1\end{cases}$。

【分析】
（1）已知两个函数交点的横坐标，可先将横坐标代入一次函数表达式求出交点的纵坐标，得到完整的交点坐标，再将交点坐标代入正比例函数表达式，即可求出未知系数m的值。
（2）根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数对应的二元一次方程，因此就是由这两个方程组成的方程组的解，结合第一问得到的交点坐标直接写出解即可。
【解析】
（1）将$x=-2$代入$y=2x+3$，得：
$y=2×(-2)+3=-1$
因此两个函数图象的交点坐标为$(-2,-1)$。
把$(-2,-1)$代入$y=mx$，得：
$-1=-2m$
解得$m=\frac{1}{2}$。
（2）因为二元一次方程组中两个方程对应的一次函数图象的交点坐标就是该方程组的解，
所以方程组$\begin{cases}2x - y = -3, \\ mx - y = 0\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2 \\ y=-1\end{cases}$。
【答案】
（1）$m=\frac{1}{2}$；
（2）$\begin{cases}x=-2 \\ y=-1\end{cases}$
【知识点】
一次函数交点的意义，待定系数法，一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题是一次函数和二元一次方程结合的基础题型，核心是理解一次函数图象交点与对应方程组解的对应关系，熟练运用代入法计算即可得分。
【难度系数】
0.8

（1）以方程$2x-3y=6$的解$(x,y)$为坐标的所有点组成的图形是函数 ______ 的图象；以方程$x+y=4$的解$(x,y)$为坐标的所有点组成的图形是函数 ______ 的图象；用函数观点看，解方程组$\begin{cases}2x-3y=6, \\x+y=4\end{cases}$的含义是解得当自变量取 ______ 时，函数 ______ 和函数 ______ 有相同的函数值 ______ 。

解：
将方程$2x-3y=6$变形，可得$y=\frac{2}{3}x - 2$；
将方程$x+y=4$变形，可得$y=-x+4$；
解方程组$\begin{cases}2x-3y=6 \\x+y=4\end{cases}$：
由$x+y=4$得$y=4-x$，代入$2x-3y=6$，
$2x-3(4-x)=6$，
$2x-12+3x=6$，
$5x=18$，
解得$x=\frac{18}{5}$，
将$x=\frac{18}{5}$代入$y=4-x$，得$y=\frac{2}{5}$。
依次填入：$\boldsymbol{y=\frac{2}{3}x - 2}$；$\boldsymbol{y=-x+4}$；$\boldsymbol{\frac{18}{5}}$；$\boldsymbol{y=\frac{2}{3}x - 2}$；$\boldsymbol{y=-x+4}$；$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$。

【分析】
解决这道题首先要明确二元一次方程和一次函数的对应关系：任意二元一次方程都可以变形为用含x的代数式表示y的形式，得到对应的一次函数解析式，方程的所有解对应函数图象上的所有点。其次，从函数角度看，二元一次方程组的解就是两个对应一次函数图象交点的坐标，横坐标为自变量x的取值，纵坐标为两个函数相等的函数值。解题时先把两个二元一次方程变形为一次函数形式，再解方程组得到x、y的值即可完成填空。
【解析】
1. 将方程$2x-3y=6$变形为用x表示y的形式：
移项得$-3y=-2x+6$，两边同时除以$-3$，可得$y=\frac{2}{3}x - 2$，因此以方程$2x-3y=6$的解为坐标的点组成的图形是函数$y=\frac{2}{3}x - 2$的图象。
2. 将方程$x+y=4$变形为用x表示y的形式：
移项得$y=-x+4$，因此以方程$x+y=4$的解为坐标的点组成的图形是函数$y=-x+4$的图象。
3. 解方程组$\begin{cases}2x-3y=6 \\x+y=4\end{cases}$：
将$y=4-x$代入$2x-3y=6$，得$2x-3(4-x)=6$，
去括号得$2x-12+3x=6$，
合并同类项得$5x=18$，
解得$x=\frac{18}{5}$，
把$x=\frac{18}{5}$代入$y=4-x$，得$y=4-\frac{18}{5}=\frac{2}{5}$。
因此从函数观点看，解这个方程组的含义是当自变量取$\frac{18}{5}$时，函数$y=\frac{2}{3}x - 2$和函数$y=-x+4$有相同的函数值$\frac{2}{5}$。
【答案】
$y=\frac{2}{3}x - 2$；$y=-x+4$；$\frac{18}{5}$；$y=\frac{2}{3}x - 2$；$y=-x+4$；$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 二元一次方程与一次函数的转化
2. 一次函数与二元一次方程组的关系
3. 代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程、二元一次方程组的对应关系，需要掌握将二元一次方程变形为一次函数解析式的方法，理解方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，属于基础概念应用题，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8

（2）如图，函数$y=k_1x+b_1$与$y=k_2x+b_2$的图象的交点坐标可以看作方程组的解。
[第1(2)题]

解：
$\begin{cases} k_1x - y = -b_1 \\ k_2x - y = -b_2 \end{cases}$

【分析】
解题时首先要明确两个核心对应关系：①每个一次函数的解析式都可以转化为一个二元一次方程；②两个一次函数图象的交点坐标，是同时满足两个函数解析式的x、y的取值，也就是两个函数对应的二元一次方程组成的方程组的解。接下来只需要将两个一次函数解析式变形为“含x、y的项在等号左侧，常数项在等号右侧”的二元一次方程形式，联立即可得到所求方程组。
【解析】
先对两个一次函数解析式进行移项变形：
对于$y=k_1x+b_1$，将y移到等号右侧，$b_1$移到等号左侧，可得：$k_1x - y = -b_1$；
对于$y=k_2x+b_2$，同理移项可得：$k_2x - y = -b_2$。
因为两个一次函数图象的交点的横、纵坐标同时满足上述两个方程，因此交点坐标就是这两个方程联立组成的方程组的解。
【答案】
$\begin{cases} k_1x - y = -b_1 \\ k_2x - y = -b_2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系；二元一次方程组的解的意义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查一次函数与二元一次方程组的对应联系，解题的关键是理解一次函数图象交点的坐标与对应方程组的解的等价关系，熟练掌握相关概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.8

2. 已知一次函数$y=ax+5$和$y=-x+b$的图象相交于点$P(1,2)$。
（1）直接写出方程组$\begin{cases}ax - y = -5, \\ y + x = b\end{cases}$的解；
（2）求$a,b$的值。

解：
(1) 方程组$\begin{cases}ax - y = -5, \\ y + x = b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$。
(2) 将点$P(1,2)$代入$y=ax+5$，得：
$2 = a + 5$
解得$a=-3$。
将点$P(1,2)$代入$y=-x+b$，得：
$2 = -1 + b$
解得$b=3$。

【分析】
（1）解题核心是理解一次函数图象交点与二元一次方程组解的关系：两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，将解析式变形为方程组形式后，交点坐标就是该方程组的解，已知两函数交于P(1,2)，可直接得到方程组的解。
（2）若点在一次函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数的解析式，因此将P点坐标分别代入两个一次函数表达式，即可得到关于a、b的一元一次方程，解方程就能求出a、b的值。
【解析】
（1）
∵一次函数$y=ax+5$和$y=-x+b$的图象相交于点$P(1,2)$，
∴点$P(1,2)$同时满足两个一次函数的解析式，
将两个解析式变形为$\begin{cases}ax - y = -5 \\ x + y = b\end{cases}$，
∴方程组$\begin{cases}ax - y = -5 \\ y + x = b\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$。
（2）将点$P(1,2)$代入$y=ax+5$，得：
$2 = a + 5$
解得$a=-3$。
将点$P(1,2)$代入$y=-x+b$，得：
$2 = -1 + b$
解得$b=3$。
【答案】
（1）$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$
（2）$a=-3$，$b=3$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 待定系数法
3. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，重点考察一次函数和二元一次方程组的对应关系，以及待定系数法求参数的应用，熟练掌握“两个一次函数的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”这一规律是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85