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3. 在同一平面直角坐标系中画出一次函数 $y_1=\frac{1}{2}x-3$ 和 $y_2=-x+6$ 的图象. 观察图象并回答下列问题：
（1）当 $x$ 为何值时，$y_1=y_2$？
（2）当 $x$ 为何值时，$y_1＞y_2$？
（1）当 $x$ 为何值时，$y_1=y_2$？
（2）当 $x$ 为何值时，$y_1＞y_2$？
答案
解：
绘制图象：
对于一次函数$y_1=\frac{1}{2}x-3$，取点$(0,-3)$和$(6,0)$，过两点画直线；
对于一次函数$y_2=-x+6$，取点$(0,6)$和$(6,0)$，过两点画直线。
联立两个函数对应的二元一次方程，得方程组：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-3 \\y=-x+6\end{cases}$
将两式等号右侧相等，得$\frac{1}{2}x - 3 = -x + 6$，
移项整理得$\frac{3}{2}x=9$，
解得$x=6$，代入得$y=0$，即两直线交点坐标为$(6,0)$。
(1) 两函数图象交点的横坐标为6，因此当$x=6$时，$y_1=y_2$。
(2) 观察图象可知，当$x＞6$时，直线$y_1=\frac{1}{2}x-3$位于直线$y_2=-x+6$的上方，因此当$x＞6$时，$y_1＞y_2$。
绘制图象：
对于一次函数$y_1=\frac{1}{2}x-3$，取点$(0,-3)$和$(6,0)$，过两点画直线；
对于一次函数$y_2=-x+6$，取点$(0,6)$和$(6,0)$，过两点画直线。
联立两个函数对应的二元一次方程，得方程组：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-3 \\y=-x+6\end{cases}$
将两式等号右侧相等，得$\frac{1}{2}x - 3 = -x + 6$，
移项整理得$\frac{3}{2}x=9$，
解得$x=6$，代入得$y=0$，即两直线交点坐标为$(6,0)$。
(1) 两函数图象交点的横坐标为6，因此当$x=6$时，$y_1=y_2$。
(2) 观察图象可知，当$x＞6$时，直线$y_1=\frac{1}{2}x-3$位于直线$y_2=-x+6$的上方，因此当$x＞6$时，$y_1＞y_2$。
解析
【分析】
解题时首先要掌握一次函数图象的画法：一次函数图象是直线，通常选取与x轴、y轴的交点两点连线即可快速画图。对于问题(1)，$y_1=y_2$的本质是两个函数图象的交点，交点的横坐标就是所求x值，可通过联立两个函数解析式组成方程组求解，也可直接读取图象交点横坐标。对于问题(2)，$y_1＞y_2$对应图象上$y_1$的直线在$y_2$直线上方的部分，观察该部分对应的x取值范围即可，也可通过解不等式验证结果，数形结合能降低解题难度。
【解析】
步骤1：绘制两个一次函数的图象
对于$y_1=\frac{1}{2}x-3$：当$x=0$时$y=-3$，当$y=0$时$x=6$，取点$(0,-3)$和$(6,0)$，过两点画直线即为$y_1$的图象；
对于$y_2=-x+6$：当$x=0$时$y=6$，当$y=0$时$x=6$，取点$(0,6)$和$(6,0)$，过两点画直线即为$y_2$的图象。
步骤2：求两函数交点
联立两个函数解析式得到方程组：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-3 \\y=-x+6\end{cases}$
将两式等号右侧相等得：$\frac{1}{2}x - 3 = -x + 6$
移项合并同类项：$\frac{3}{2}x=9$
解得$x=6$，代入解析式得$y=0$，即两直线交点为$(6,0)$。
步骤3：结合图象求解问题
(1) 两函数交点处函数值相等，因此当$x=6$时，$y_1=y_2$；
(2) 观察图象可知，当$x＞6$时，直线$y_1$位于直线$y_2$上方，此时$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=6}$；(2) $\boldsymbol{x＞6}$
【知识点】
一次函数图象绘制；一次函数与二元一次方程组；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数与方程、不等式结合的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，既可以通过代数计算推导结果，也可以通过观察图象直接得到结论，要求熟练掌握一次函数的图象性质，学会实现数和形的灵活转化。
【难度系数】
0.8
解题时首先要掌握一次函数图象的画法：一次函数图象是直线，通常选取与x轴、y轴的交点两点连线即可快速画图。对于问题(1)，$y_1=y_2$的本质是两个函数图象的交点，交点的横坐标就是所求x值，可通过联立两个函数解析式组成方程组求解，也可直接读取图象交点横坐标。对于问题(2)，$y_1＞y_2$对应图象上$y_1$的直线在$y_2$直线上方的部分，观察该部分对应的x取值范围即可，也可通过解不等式验证结果，数形结合能降低解题难度。
【解析】
步骤1：绘制两个一次函数的图象
对于$y_1=\frac{1}{2}x-3$：当$x=0$时$y=-3$，当$y=0$时$x=6$，取点$(0,-3)$和$(6,0)$，过两点画直线即为$y_1$的图象；
对于$y_2=-x+6$：当$x=0$时$y=6$，当$y=0$时$x=6$，取点$(0,6)$和$(6,0)$，过两点画直线即为$y_2$的图象。
步骤2：求两函数交点
联立两个函数解析式得到方程组：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-3 \\y=-x+6\end{cases}$
将两式等号右侧相等得：$\frac{1}{2}x - 3 = -x + 6$
移项合并同类项：$\frac{3}{2}x=9$
解得$x=6$，代入解析式得$y=0$，即两直线交点为$(6,0)$。
步骤3：结合图象求解问题
(1) 两函数交点处函数值相等，因此当$x=6$时，$y_1=y_2$；
(2) 观察图象可知，当$x＞6$时，直线$y_1$位于直线$y_2$上方，此时$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=6}$；(2) $\boldsymbol{x＞6}$
【知识点】
一次函数图象绘制；一次函数与二元一次方程组；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题是一次函数与方程、不等式结合的基础题型，核心考查数形结合思想的应用，既可以通过代数计算推导结果，也可以通过观察图象直接得到结论，要求熟练掌握一次函数的图象性质，学会实现数和形的灵活转化。
【难度系数】
0.8
4. 如图,函数 $ y_1=k_1x+b_1 $ 和函数 $ y_2=k_2x+b_2 $ 的图象相交于点A.试求点A的坐标.
答案
解：由图象可知，函数$y_1=k_1x+b_1$的图象经过点$(0,0)$和$(2,2)$，
将两点代入解析式得：
$\begin{cases} b_1=0 \\ 2k_1 + b_1 = 2 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k_1=1 \\ b_1=0 \end{cases}$
因此$y_1 = x$。
函数$y_2=k_2x+b_2$的图象经过点$(0,5)$和$(1,3)$，
将两点代入解析式得：
$\begin{cases} b_2=5 \\ k_2 + b_2 = 3 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k_2=-2 \\ b_2=5 \end{cases}$
因此$y_2 = -2x +5$。
联立两个函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y = x \\ y = -2x +5 \end{cases}$
将$y=x$代入$y=-2x+5$，得：
$x = -2x +5$，
解得$x=\frac{5}{3}$，代入$y=x$得$y=\frac{5}{3}$。
所以点$A$的坐标为$\boldsymbol{( \frac{5}{3}, \frac{5}{3} )}$。
将两点代入解析式得：
$\begin{cases} b_1=0 \\ 2k_1 + b_1 = 2 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k_1=1 \\ b_1=0 \end{cases}$
因此$y_1 = x$。
函数$y_2=k_2x+b_2$的图象经过点$(0,5)$和$(1,3)$，
将两点代入解析式得：
$\begin{cases} b_2=5 \\ k_2 + b_2 = 3 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k_2=-2 \\ b_2=5 \end{cases}$
因此$y_2 = -2x +5$。
联立两个函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y = x \\ y = -2x +5 \end{cases}$
将$y=x$代入$y=-2x+5$，得：
$x = -2x +5$，
解得$x=\frac{5}{3}$，代入$y=x$得$y=\frac{5}{3}$。
所以点$A$的坐标为$\boldsymbol{( \frac{5}{3}, \frac{5}{3} )}$。
解析
【分析】
要确定两个一次函数图象的交点A的坐标，首先需要分别求出两个一次函数的完整解析式：第一步使用待定系数法，从图象中提取两个函数各自经过的已知坐标的点，代入函数表达式求解未知系数k、b，得到两个函数的解析式；第二步联立两个函数解析式得到二元一次方程组，该方程组的解就是交点A的横、纵坐标。
【解析】
1. 求$y_1=k_1x+b_1$的解析式：
由图象可知，$y_1$的图象经过点$(0,0)$和$(2,2)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases} b_1=0 \\ 2k_1 + b_1 = 2 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} k_1=1 \\ b_1=0 \end{cases}$，因此$y_1 = x$。
2. 求$y_2=k_2x+b_2$的解析式：
由图象可知，$y_2$的图象经过点$(0,5)$和$(1,3)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases} b_2=5 \\ k_2 + b_2 = 3 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} k_2=-2 \\ b_2=5 \end{cases}$，因此$y_2 = -2x +5$。
3. 求交点A的坐标：
联立两个函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y = x \\ y = -2x +5 \end{cases}$
将$y=x$代入$y=-2x+5$，得$x = -2x +5$，解得$x=\frac{5}{3}$，代入$y=x$得$y=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{( \frac{5}{3}, \frac{5}{3} )}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点与二元一次方程组的关系；解二元一次方程组
【点评】
本题属于一次函数的基础常考题，解题关键是能从函数图象中准确提取已知点的坐标，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，理解一次函数图象交点坐标的本质是两个函数解析式联立所得方程组的解。
【难度系数】
0.7
要确定两个一次函数图象的交点A的坐标，首先需要分别求出两个一次函数的完整解析式：第一步使用待定系数法，从图象中提取两个函数各自经过的已知坐标的点，代入函数表达式求解未知系数k、b，得到两个函数的解析式；第二步联立两个函数解析式得到二元一次方程组，该方程组的解就是交点A的横、纵坐标。
【解析】
1. 求$y_1=k_1x+b_1$的解析式：
由图象可知，$y_1$的图象经过点$(0,0)$和$(2,2)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases} b_1=0 \\ 2k_1 + b_1 = 2 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} k_1=1 \\ b_1=0 \end{cases}$，因此$y_1 = x$。
2. 求$y_2=k_2x+b_2$的解析式：
由图象可知，$y_2$的图象经过点$(0,5)$和$(1,3)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases} b_2=5 \\ k_2 + b_2 = 3 \end{cases}$
解得：$\begin{cases} k_2=-2 \\ b_2=5 \end{cases}$，因此$y_2 = -2x +5$。
3. 求交点A的坐标：
联立两个函数的解析式，得到方程组：
$\begin{cases} y = x \\ y = -2x +5 \end{cases}$
将$y=x$代入$y=-2x+5$，得$x = -2x +5$，解得$x=\frac{5}{3}$，代入$y=x$得$y=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{( \frac{5}{3}, \frac{5}{3} )}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点与二元一次方程组的关系；解二元一次方程组
【点评】
本题属于一次函数的基础常考题，解题关键是能从函数图象中准确提取已知点的坐标，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，理解一次函数图象交点坐标的本质是两个函数解析式联立所得方程组的解。
【难度系数】
0.7
5. (1) 如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=x+1$和$y=x-2$的图象有怎样的位置关系? 方程组$\begin{cases} x - y = -1, \\ x - y = 2 \end{cases}$解的情况如何? 你发现了什么?
(2) 写出一个二元一次方程组,使该方程组无解.
(2) 写出一个二元一次方程组,使该方程组无解.
答案
解：
(1) 一次函数$y=x+1$和$y=x-2$的图象互相平行，没有交点。
方程组$\begin{cases} x - y = -1 \\ x - y = 2 \end{cases}$无解。
发现：若两个一次函数的图象平行、无交点，则对应的二元一次方程组无解。
(2) 符合要求的二元一次方程组可以为$\begin{cases} y=x+2 \\ x-y=1 \end{cases}$（答案不唯一）。
(1) 一次函数$y=x+1$和$y=x-2$的图象互相平行，没有交点。
方程组$\begin{cases} x - y = -1 \\ x - y = 2 \end{cases}$无解。
发现：若两个一次函数的图象平行、无交点，则对应的二元一次方程组无解。
(2) 符合要求的二元一次方程组可以为$\begin{cases} y=x+2 \\ x-y=1 \end{cases}$（答案不唯一）。
解析
【分析】
解决(1)问时，首先回忆一次函数$y=kx+b$的图象性质：当两个一次函数的x的系数k相等，常数项b不相等时，对应的两条直线互相平行，没有交点；再结合二元一次方程组的解与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，若图象没有交点，就说明不存在同时满足两个方程的x、y值，即方程组无解，据此总结规律即可。
解决(2)问时，依据(1)得到的规律，只要构造出两个x的系数k相等、常数项b不等的一次函数，再将它们整理为二元一次方程组的形式即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 观察两个一次函数$y=x+1$和$y=x-2$：它们x的系数都是1，常数项分别为1和-2，不相等，因此两个一次函数的图象互相平行，没有交点。
将方程组$\begin{cases} x - y = -1 \\ x - y = 2 \end{cases}$变形，可得$\begin{cases} y=x+1 \\ y=x-2 \end{cases}$，和题中两个一次函数对应。因为两个函数图象没有交点，即没有一组x、y的值能同时满足两个方程，因此该方程组无解。
由此可发现：若两个一次函数的图象平行、无交点，则对应的二元一次方程组无解。
(2) 根据上述规律，写出的方程组对应的两个一次函数x的系数相等、常数项不等即可，例如示例给出的方程组就满足要求，答案不唯一。
【答案】
(1) 一次函数$y=x+1$和$y=x-2$的图象互相平行，没有交点。
方程组$\begin{cases} x - y = -1 \\ x - y = 2 \end{cases}$无解。
发现：若两个一次函数的图象平行、无交点，则对应的二元一次方程组无解。
(2) 符合要求的二元一次方程组可以为$\begin{cases} y=x+2 \\ x-y=1 \end{cases}$（答案不唯一）。
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数与二元一次方程组的关系；二元一次方程组解的判定
【点评】
本题将一次函数的图象特征和二元一次方程组的解相结合，既考查了一次函数平行的判定条件，又考查了函数与方程的对应思想，开放性的第二问能有效检验对规律的理解和灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
解决(1)问时，首先回忆一次函数$y=kx+b$的图象性质：当两个一次函数的x的系数k相等，常数项b不相等时，对应的两条直线互相平行，没有交点；再结合二元一次方程组的解与一次函数图象的关系：二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，若图象没有交点，就说明不存在同时满足两个方程的x、y值，即方程组无解，据此总结规律即可。
解决(2)问时，依据(1)得到的规律，只要构造出两个x的系数k相等、常数项b不等的一次函数，再将它们整理为二元一次方程组的形式即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 观察两个一次函数$y=x+1$和$y=x-2$：它们x的系数都是1，常数项分别为1和-2，不相等，因此两个一次函数的图象互相平行，没有交点。
将方程组$\begin{cases} x - y = -1 \\ x - y = 2 \end{cases}$变形，可得$\begin{cases} y=x+1 \\ y=x-2 \end{cases}$，和题中两个一次函数对应。因为两个函数图象没有交点，即没有一组x、y的值能同时满足两个方程，因此该方程组无解。
由此可发现：若两个一次函数的图象平行、无交点，则对应的二元一次方程组无解。
(2) 根据上述规律，写出的方程组对应的两个一次函数x的系数相等、常数项不等即可，例如示例给出的方程组就满足要求，答案不唯一。
【答案】
(1) 一次函数$y=x+1$和$y=x-2$的图象互相平行，没有交点。
方程组$\begin{cases} x - y = -1 \\ x - y = 2 \end{cases}$无解。
发现：若两个一次函数的图象平行、无交点，则对应的二元一次方程组无解。
(2) 符合要求的二元一次方程组可以为$\begin{cases} y=x+2 \\ x-y=1 \end{cases}$（答案不唯一）。
【知识点】
一次函数图象性质；一次函数与二元一次方程组的关系；二元一次方程组解的判定
【点评】
本题将一次函数的图象特征和二元一次方程组的解相结合，既考查了一次函数平行的判定条件，又考查了函数与方程的对应思想，开放性的第二问能有效检验对规律的理解和灵活应用能力。
【难度系数】
0.8
