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3. 某种子商店销售一种小麦种子，为促销，制订了两种销售方案供采购者选择.
方案一:小麦种子的价格为4元/kg，无论购买多少均不打折.
方案二:购买3 kg以内(含3 kg)，价格为5元/kg；若一次性购买超过3 kg，则超过3 kg的部分种子价格打7折.
（1）求出方案一中购买的小麦种子的付款金额y关于数量x的函数表达式.
（2）若购买一定量的小麦种子，你会选择哪种方案？说明理由.
方案一:小麦种子的价格为4元/kg，无论购买多少均不打折.
方案二:购买3 kg以内(含3 kg)，价格为5元/kg；若一次性购买超过3 kg，则超过3 kg的部分种子价格打7折.
（1）求出方案一中购买的小麦种子的付款金额y关于数量x的函数表达式.
（2）若购买一定量的小麦种子，你会选择哪种方案？说明理由.
答案
解：
(1) 方案一中付款金额为单价4元/kg乘以购买数量x，因此函数表达式为：
$y=4x\quad (x≥0)$
(2) 先推导方案二的付款金额函数：
当$0≤ x≤3$时，$y=5x$；
当$x＞3$时，$y=5×3 + 5×0.7×(x-3)=3.5x+4.5$。
分情况比较两种方案的付款金额：
① 当$0≤ x≤3$时，$4x＜5x$，方案一付款更少；
② 当$x＞3$时，令$4x=3.5x+4.5$，解得$x=9$。
当$3＜x＜9$时，$4x＜3.5x+4.5$，方案一付款更少；
当$x=9$时，$4x=3.5x+4.5$，两种方案付款金额相等；
当$x＞9$时，$4x＞3.5x+4.5$，方案二付款更少。
答：当购买小麦种子的质量小于9kg时，选择方案一；当购买质量等于9kg时，两种方案均可；当购买质量大于9kg时，选择方案二。
(1) 方案一中付款金额为单价4元/kg乘以购买数量x，因此函数表达式为：
$y=4x\quad (x≥0)$
(2) 先推导方案二的付款金额函数：
当$0≤ x≤3$时，$y=5x$；
当$x＞3$时，$y=5×3 + 5×0.7×(x-3)=3.5x+4.5$。
分情况比较两种方案的付款金额：
① 当$0≤ x≤3$时，$4x＜5x$，方案一付款更少；
② 当$x＞3$时，令$4x=3.5x+4.5$，解得$x=9$。
当$3＜x＜9$时，$4x＜3.5x+4.5$，方案一付款更少；
当$x=9$时，$4x=3.5x+4.5$，两种方案付款金额相等；
当$x＞9$时，$4x＞3.5x+4.5$，方案二付款更少。
答：当购买小麦种子的质量小于9kg时，选择方案一；当购买质量等于9kg时，两种方案均可；当购买质量大于9kg时，选择方案二。
解析
【分析】
（1）第一问根据“付款金额=单价×购买数量”的基本数量关系，直接代入方案一的单价即可得到函数表达式，注意自变量x代表购买数量，取值范围为非负数。
（2）第二问首先需要写出方案二的分段函数：购买量不超过3kg时按5元/kg计费，超过3kg的部分单独打7折计算。接下来分区间比较两种方案的付款金额：先判断0≤x≤3时的方案优劣，再对x＞3的情况，先找到两种方案付款金额相等时的临界点x值，再以临界点为分界划分区间，分别判断各区间内的最优方案即可。
【解析】
解：(1) 方案一中小麦种子单价为4元/kg，付款金额等于单价乘以购买数量，因此函数表达式为：
$y=4x\quad (x≥0)$
(2) 先推导方案二的付款金额函数：
当$0≤ x≤3$时，单价为5元/kg，因此$y=5x$；
当$x＞3$时，前3kg按5元/kg计费，超出3kg的部分单价为$5×0.7=3.5$元/kg，因此$y=5×3 + 3.5×(x-3)=3.5x+4.5$。
分情况比较两种方案的付款金额：
① 当$0≤ x≤3$时，$4x＜5x$恒成立，方案一付款更少；
② 当$x＞3$时，令两种方案付款金额相等，即$4x=3.5x+4.5$，解得$x=9$：
当$3＜x＜9$时，$4x＜3.5x+4.5$，方案一付款更少；
当$x=9$时，两种方案付款金额相同；
当$x＞9$时，$4x＞3.5x+4.5$，方案二付款更少。
【答案】
(1) $y=4x\quad (x≥0)$
(2) 当购买小麦种子的质量小于9kg时，选择方案一；当购买质量等于9kg时，两种方案均可；当购买质量大于9kg时，选择方案二。
【知识点】
一次函数的实际应用，分段函数，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查了一次函数的实际应用，需要掌握分段函数的书写方法，具备分情况讨论的思维，通过比较函数值大小确定最优方案，能有效提升将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问根据“付款金额=单价×购买数量”的基本数量关系，直接代入方案一的单价即可得到函数表达式，注意自变量x代表购买数量，取值范围为非负数。
（2）第二问首先需要写出方案二的分段函数：购买量不超过3kg时按5元/kg计费，超过3kg的部分单独打7折计算。接下来分区间比较两种方案的付款金额：先判断0≤x≤3时的方案优劣，再对x＞3的情况，先找到两种方案付款金额相等时的临界点x值，再以临界点为分界划分区间，分别判断各区间内的最优方案即可。
【解析】
解：(1) 方案一中小麦种子单价为4元/kg，付款金额等于单价乘以购买数量，因此函数表达式为：
$y=4x\quad (x≥0)$
(2) 先推导方案二的付款金额函数：
当$0≤ x≤3$时，单价为5元/kg，因此$y=5x$；
当$x＞3$时，前3kg按5元/kg计费，超出3kg的部分单价为$5×0.7=3.5$元/kg，因此$y=5×3 + 3.5×(x-3)=3.5x+4.5$。
分情况比较两种方案的付款金额：
① 当$0≤ x≤3$时，$4x＜5x$恒成立，方案一付款更少；
② 当$x＞3$时，令两种方案付款金额相等，即$4x=3.5x+4.5$，解得$x=9$：
当$3＜x＜9$时，$4x＜3.5x+4.5$，方案一付款更少；
当$x=9$时，两种方案付款金额相同；
当$x＞9$时，$4x＞3.5x+4.5$，方案二付款更少。
【答案】
(1) $y=4x\quad (x≥0)$
(2) 当购买小麦种子的质量小于9kg时，选择方案一；当购买质量等于9kg时，两种方案均可；当购买质量大于9kg时，选择方案二。
【知识点】
一次函数的实际应用，分段函数，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查了一次函数的实际应用，需要掌握分段函数的书写方法，具备分情况讨论的思维，通过比较函数值大小确定最优方案，能有效提升将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.7
4. 甲、乙两人沿同一直道从A地去B地.甲比乙早1 min出发,乙的速度是甲的2倍.在整个行程中,甲离A地的距离$y_1$ m关于时间$x$ min的函数关系如图所示.
（1）在图中画出乙离A地的距离$y_2$ m关于时间$x$ min的函数图象；
（2）若甲比乙晚5 min到达B地,求甲整个行程所用的时间.
（1）在图中画出乙离A地的距离$y_2$ m关于时间$x$ min的函数图象；
（2）若甲比乙晚5 min到达B地,求甲整个行程所用的时间.
答案
解：
(1) 设甲的速度为$v\ \mathrm{m/min}$，则乙的速度为$2v\ \mathrm{m/min}$。
乙比甲晚1 min出发，即$x=1$时，$y_2=0$；
当$x=2$时，乙行走了1 min，路程为$2v\ \mathrm{m}$，此时甲行走2 min的路程也为$2v\ \mathrm{m}$，乙在$x=2$处追上甲。
连接点$(1,0)$和点$(2, 2v)$并延长至与B地对应的水平虚线相交，所得射线即为$y_2$关于$x$的函数图象。
(2) 设甲整个行程所用的时间为$t\ \mathrm{min}$，则A、B两地的总路程为$vt\ \mathrm{m}$。
由题意，乙全程的行走时间为$(t-1-5)\ \mathrm{min}$，总路程也可表示为$2v(t-6)\ \mathrm{m}$，列方程得：
$vt = 2v(t-6)$
因为$v≠0$，两边同时除以$v$得：
$t=2(t-6)$
解得$t=12$。
答：甲整个行程所用的时间为12 min。
(1) 设甲的速度为$v\ \mathrm{m/min}$，则乙的速度为$2v\ \mathrm{m/min}$。
乙比甲晚1 min出发，即$x=1$时，$y_2=0$；
当$x=2$时，乙行走了1 min，路程为$2v\ \mathrm{m}$，此时甲行走2 min的路程也为$2v\ \mathrm{m}$，乙在$x=2$处追上甲。
连接点$(1,0)$和点$(2, 2v)$并延长至与B地对应的水平虚线相交，所得射线即为$y_2$关于$x$的函数图象。
(2) 设甲整个行程所用的时间为$t\ \mathrm{min}$，则A、B两地的总路程为$vt\ \mathrm{m}$。
由题意，乙全程的行走时间为$(t-1-5)\ \mathrm{min}$，总路程也可表示为$2v(t-6)\ \mathrm{m}$，列方程得：
$vt = 2v(t-6)$
因为$v≠0$，两边同时除以$v$得：
$t=2(t-6)$
解得$t=12$。
答：甲整个行程所用的时间为12 min。
解析
【分析】
（1）绘制乙的函数图象前，先确定乙的关键坐标点：乙比甲晚1min出发，因此图象起点为$(1,0)$；已知乙速度是甲的2倍，走相同路程乙用时是甲的一半，可推出$x=2\mathrm{min}$时乙追上甲，得到第二个点，连接两点并延长到对应B地的水平虚线即可得到乙的图象。
（2）求甲全程用时的核心等量关系是A、B两地总路程相等。先设甲总用时为$t$、速度为$v$，表示出总路程；再根据甲、乙出发和到达的时间差，算出乙的实际行驶时间，结合乙的速度表示出乙走的总路程，列方程后消去不为0的$v$即可求解。
【解析】
(1) 设甲的速度为$v\ \mathrm{m/min}$，则乙的速度为$2v\ \mathrm{m/min}$。
乙比甲晚1 min出发，即$x=1$时，$y_2=0$，图象起点为$(1,0)$；
当$x=2$时，乙行走了1 min，路程为$2v×1=2v\ \mathrm{m}$，此时甲行走2 min的路程也为$v×2=2v\ \mathrm{m}$，即$x=2$时乙追上甲，对应点为$(2,2v)$；
连接点$(1,0)$和点$(2, 2v)$，并延长至与表示B地距离的水平虚线相交，所得射线即为$y_2$关于$x$的函数图象。
(2) 设甲整个行程所用的时间为$t\ \mathrm{min}$，甲的速度为$v\ \mathrm{m/min}$，则A、B两地的总路程为$vt\ \mathrm{m}$。
由题意，乙比甲晚出发1 min，且比甲早5 min到达，因此乙全程的行走时间为$(t-1-5)=(t-6)\ \mathrm{min}$，总路程也可表示为$2v(t-6)\ \mathrm{m}$，列方程得：
$vt = 2v(t-6)$
因为$v≠0$，两边同时除以$v$得：
$t=2(t-6)$
解得$t=12$。
【答案】
(1) 过点$(1,0)$，在$x=2$处与甲的函数图象相交，再延长至顶端水平虚线的射线（作图按上述方法即可）；
(2) $\boxed{12\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数图象应用，行程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程类实际问题，解题关键是明确图象横纵坐标的实际意义，理清甲、乙两人出发、到达的时间差，抓住总路程不变的等量关系列方程，计算时可直接消去速度简化运算。
【难度系数】
0.7
（1）绘制乙的函数图象前，先确定乙的关键坐标点：乙比甲晚1min出发，因此图象起点为$(1,0)$；已知乙速度是甲的2倍，走相同路程乙用时是甲的一半，可推出$x=2\mathrm{min}$时乙追上甲，得到第二个点，连接两点并延长到对应B地的水平虚线即可得到乙的图象。
（2）求甲全程用时的核心等量关系是A、B两地总路程相等。先设甲总用时为$t$、速度为$v$，表示出总路程；再根据甲、乙出发和到达的时间差，算出乙的实际行驶时间，结合乙的速度表示出乙走的总路程，列方程后消去不为0的$v$即可求解。
【解析】
(1) 设甲的速度为$v\ \mathrm{m/min}$，则乙的速度为$2v\ \mathrm{m/min}$。
乙比甲晚1 min出发，即$x=1$时，$y_2=0$，图象起点为$(1,0)$；
当$x=2$时，乙行走了1 min，路程为$2v×1=2v\ \mathrm{m}$，此时甲行走2 min的路程也为$v×2=2v\ \mathrm{m}$，即$x=2$时乙追上甲，对应点为$(2,2v)$；
连接点$(1,0)$和点$(2, 2v)$，并延长至与表示B地距离的水平虚线相交，所得射线即为$y_2$关于$x$的函数图象。
(2) 设甲整个行程所用的时间为$t\ \mathrm{min}$，甲的速度为$v\ \mathrm{m/min}$，则A、B两地的总路程为$vt\ \mathrm{m}$。
由题意，乙比甲晚出发1 min，且比甲早5 min到达，因此乙全程的行走时间为$(t-1-5)=(t-6)\ \mathrm{min}$，总路程也可表示为$2v(t-6)\ \mathrm{m}$，列方程得：
$vt = 2v(t-6)$
因为$v≠0$，两边同时除以$v$得：
$t=2(t-6)$
解得$t=12$。
【答案】
(1) 过点$(1,0)$，在$x=2$处与甲的函数图象相交，再延长至顶端水平虚线的射线（作图按上述方法即可）；
(2) $\boxed{12\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数图象应用，行程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程类实际问题，解题关键是明确图象横纵坐标的实际意义，理清甲、乙两人出发、到达的时间差，抓住总路程不变的等量关系列方程，计算时可直接消去速度简化运算。
【难度系数】
0.7
5.（1）如图可以反映一个实际情境：一艘船从甲地航行到乙地，到达乙地后立即返回.这里横坐标表示航行的时间，纵坐标表示船只与甲地的距离.这艘船从甲地到乙地航行的速度与返航的速度是否相同？说明理由.
（2）给该图赋予一个新的实际背景，提出一个具体问题.指出实际背景中横坐标、纵坐标所表示的意思，写出A，B两点的坐标，解决所提出的实际问题.
（2）给该图赋予一个新的实际背景，提出一个具体问题.指出实际背景中横坐标、纵坐标所表示的意思，写出A，B两点的坐标，解决所提出的实际问题.
答案
解：(1) 这艘船从甲地到乙地航行的速度与返航的速度不相同。
理由：甲乙两地的距离是定值，船从甲地到乙地的路程与返航的路程相等。
由图像可知，线段OA的倾斜程度大于线段AB的倾斜程度，说明船从甲地航行到乙地所用的时间，小于从乙地返回甲地所用的时间。
根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，当路程$s$相同时，航行时间越短，速度越大，因此船从甲地到乙地的航行速度大于返航速度，二者不相同。
(2) 示例：
实际背景：小亮从家匀速骑自行车去体育馆，到达体育馆后立刻沿原路匀速步行返回家里。
横坐标表示小亮出行的时间，单位为分钟；纵坐标表示小亮与家的距离，单位为米。
点A坐标为$(10, 2000)$，表示小亮出发10分钟后，到达距离家2000米的体育馆；
点B坐标为$(30, 0)$，表示小亮出发30分钟后，回到家中。
提出问题：求小亮骑车去体育馆的速度和步行回家的速度分别是多少？
小亮从家到体育馆的路程为2000米，用时10分钟，
骑车速度为：$2000÷10=200$（米/分）
小亮从体育馆返回家的路程为2000米，用时$30-10=20$分钟，
步行速度为：$2000÷20=100$（米/分）
答：小亮骑车去体育馆的速度为200米/分，步行回家的速度为100米/分。
理由：甲乙两地的距离是定值，船从甲地到乙地的路程与返航的路程相等。
由图像可知，线段OA的倾斜程度大于线段AB的倾斜程度，说明船从甲地航行到乙地所用的时间，小于从乙地返回甲地所用的时间。
根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，当路程$s$相同时，航行时间越短，速度越大，因此船从甲地到乙地的航行速度大于返航速度，二者不相同。
(2) 示例：
实际背景：小亮从家匀速骑自行车去体育馆，到达体育馆后立刻沿原路匀速步行返回家里。
横坐标表示小亮出行的时间，单位为分钟；纵坐标表示小亮与家的距离，单位为米。
点A坐标为$(10, 2000)$，表示小亮出发10分钟后，到达距离家2000米的体育馆；
点B坐标为$(30, 0)$，表示小亮出发30分钟后，回到家中。
提出问题：求小亮骑车去体育馆的速度和步行回家的速度分别是多少？
小亮从家到体育馆的路程为2000米，用时10分钟，
骑车速度为：$2000÷10=200$（米/分）
小亮从体育馆返回家的路程为2000米，用时$30-10=20$分钟，
步行速度为：$2000÷20=100$（米/分）
答：小亮骑车去体育馆的速度为200米/分，步行回家的速度为100米/分。
解析
【分析】
(1) 要判断往返速度是否相同，可结合速度公式$v=\frac{s}{t}$分析：往返的路程相等，因此只需对比两段行程的用时即可。观察图像，OA段代表从甲地到乙地的过程，AB段代表从乙地返回甲地的过程，两段线段倾斜程度不同，说明相同路程下用时不同，因此速度存在差异。(2) 第二问属于开放性问题，解题时先明确横、纵坐标对应的实际含义，设定符合生活常识的A、B两点坐标，再结合坐标提出合理的问题（如求速度、用时等），根据行程相关公式求解即可。
【解析】
(1) 这艘船从甲地到乙地航行的速度与返航的速度不相同，理由如下：
船从甲地到乙地的路程和返航的路程相等，由图像可知线段OA的倾斜程度大于线段AB的倾斜程度，说明船从甲地航行到乙地所用的时间小于返航所用的时间。根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，当路程$s$相同时，所用时间越短，速度越大，因此去程速度大于返航速度，二者不相同。
(2) 示例解答：
实际背景：小亮从家匀速骑自行车去体育馆，到达体育馆后立刻沿原路匀速步行返回家里。
横坐标表示小亮出行的时间，单位为分钟；纵坐标表示小亮与家的距离，单位为米。
点A坐标为$(10,2000)$，表示小亮出发10分钟后，到达距离家2000米的体育馆；点B坐标为$(30,0)$，表示小亮出发30分钟后，回到家中。
提出问题：求小亮骑车去体育馆的速度和步行回家的速度分别是多少？
计算过程：小亮从家到体育馆的路程为2000米，用时10分钟，骑车速度为$2000÷10=200$（米/分）；小亮从体育馆返回家的路程为2000米，用时$30-10=20$分钟，步行速度为$2000÷20=100$（米/分）。
【答案】
(1) 不相同，理由：往返路程相等，从甲地到乙地的用时短于返航用时，根据$v=\frac{s}{t}$，路程相同时用时越短速度越大，因此去程速度大于返航速度，二者速度不同。
(2) 示例：小亮从家骑车去体育馆后步行返回，横坐标为出行时间（单位：分钟），纵坐标为离家距离（单位：米），A(10,2000)，B(30,0)，小亮骑车速度为200米/分，步行速度为100米/分。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
函数图像的实际意义；行程问题计算；一次函数应用
【点评】
本题既考查了对函数图像信息的提取能力，也考查了结合实际场景建立数学模型的能力，第一问需要理解图像倾斜程度和行程要素的对应关系，第二问开放性较强，贴合生活实际，能很好地锻炼知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断往返速度是否相同，可结合速度公式$v=\frac{s}{t}$分析：往返的路程相等，因此只需对比两段行程的用时即可。观察图像，OA段代表从甲地到乙地的过程，AB段代表从乙地返回甲地的过程，两段线段倾斜程度不同，说明相同路程下用时不同，因此速度存在差异。(2) 第二问属于开放性问题，解题时先明确横、纵坐标对应的实际含义，设定符合生活常识的A、B两点坐标，再结合坐标提出合理的问题（如求速度、用时等），根据行程相关公式求解即可。
【解析】
(1) 这艘船从甲地到乙地航行的速度与返航的速度不相同，理由如下：
船从甲地到乙地的路程和返航的路程相等，由图像可知线段OA的倾斜程度大于线段AB的倾斜程度，说明船从甲地航行到乙地所用的时间小于返航所用的时间。根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，当路程$s$相同时，所用时间越短，速度越大，因此去程速度大于返航速度，二者不相同。
(2) 示例解答：
实际背景：小亮从家匀速骑自行车去体育馆，到达体育馆后立刻沿原路匀速步行返回家里。
横坐标表示小亮出行的时间，单位为分钟；纵坐标表示小亮与家的距离，单位为米。
点A坐标为$(10,2000)$，表示小亮出发10分钟后，到达距离家2000米的体育馆；点B坐标为$(30,0)$，表示小亮出发30分钟后，回到家中。
提出问题：求小亮骑车去体育馆的速度和步行回家的速度分别是多少？
计算过程：小亮从家到体育馆的路程为2000米，用时10分钟，骑车速度为$2000÷10=200$（米/分）；小亮从体育馆返回家的路程为2000米，用时$30-10=20$分钟，步行速度为$2000÷20=100$（米/分）。
【答案】
(1) 不相同，理由：往返路程相等，从甲地到乙地的用时短于返航用时，根据$v=\frac{s}{t}$，路程相同时用时越短速度越大，因此去程速度大于返航速度，二者速度不同。
(2) 示例：小亮从家骑车去体育馆后步行返回，横坐标为出行时间（单位：分钟），纵坐标为离家距离（单位：米），A(10,2000)，B(30,0)，小亮骑车速度为200米/分，步行速度为100米/分。（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
函数图像的实际意义；行程问题计算；一次函数应用
【点评】
本题既考查了对函数图像信息的提取能力，也考查了结合实际场景建立数学模型的能力，第一问需要理解图像倾斜程度和行程要素的对应关系，第二问开放性较强，贴合生活实际，能很好地锻炼知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
