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图5-4描述了某一天小亮从家骑车去书店购书，然后骑车回家的情况.你能说出小亮在路上的情形吗？
答案
解：
小亮的行程分为三个阶段：
1. 0~30 min：小亮从家出发，匀速骑行，经过30 min到达书店；
2. 30~60 min：小亮在书店停留购书，这段时间离家的距离保持不变，共停留了30 min；
3. 60~100 min：小亮从书店出发，匀速骑行返回家中，全程用时40 min，返程的骑行速度比去书店时的速度慢。
答：小亮先匀速骑行30分钟到达书店，在书店购书停留30分钟，之后从书店匀速骑行40分钟返回家中，返程速度小于去书店时的速度。
小亮的行程分为三个阶段：
1. 0~30 min：小亮从家出发，匀速骑行，经过30 min到达书店；
2. 30~60 min：小亮在书店停留购书，这段时间离家的距离保持不变，共停留了30 min；
3. 60~100 min：小亮从书店出发，匀速骑行返回家中，全程用时40 min，返程的骑行速度比去书店时的速度慢。
答：小亮先匀速骑行30分钟到达书店，在书店购书停留30分钟，之后从书店匀速骑行40分钟返回家中，返程速度小于去书店时的速度。
解析
【分析】
首先明确函数图像横、纵坐标的含义：横坐标x表示小亮离家的时间，纵坐标y表示小亮离家的距离。分析此类问题时按图像分段逐一判断y随x的变化规律，对应实际行程场景即可：①上升的直线代表随时间增加，离家距离匀速变大，对应向外匀速出行；②水平直线代表随时间增加，离家距离不变，对应在某地停留；③下降的直线代表随时间增加，离家距离匀速变小，对应返程匀速回家，还可通过相同路程的用时对比去程和返程的速度快慢。
【解析】
小亮的行程分为三个阶段：
1. 0~30 min：小亮从家出发，匀速骑行，经过30 min到达书店；
2. 30~60 min：小亮在书店停留购书，这段时间离家的距离保持不变，共停留了30 min；
3. 60~100 min：小亮从书店出发，匀速骑行返回家中，全程用时40 min，返程的骑行速度比去书店时的速度慢。
【答案】
小亮先匀速骑行30分钟到达书店，在书店购书停留30分钟，之后从书店匀速骑行40分钟返回家中，返程速度小于去书店时的速度。
【知识点】
函数图像识别、行程问题分析、匀速运动特征
【点评】
本题考查从函数图像中提取有效信息、结合实际场景分析图像的能力，贴近日常生活，是数学知识结合实际应用的典型题型，能有效锻炼读图分析能力。
【难度系数】
0.9
首先明确函数图像横、纵坐标的含义：横坐标x表示小亮离家的时间，纵坐标y表示小亮离家的距离。分析此类问题时按图像分段逐一判断y随x的变化规律，对应实际行程场景即可：①上升的直线代表随时间增加，离家距离匀速变大，对应向外匀速出行；②水平直线代表随时间增加，离家距离不变，对应在某地停留；③下降的直线代表随时间增加，离家距离匀速变小，对应返程匀速回家，还可通过相同路程的用时对比去程和返程的速度快慢。
【解析】
小亮的行程分为三个阶段：
1. 0~30 min：小亮从家出发，匀速骑行，经过30 min到达书店；
2. 30~60 min：小亮在书店停留购书，这段时间离家的距离保持不变，共停留了30 min；
3. 60~100 min：小亮从书店出发，匀速骑行返回家中，全程用时40 min，返程的骑行速度比去书店时的速度慢。
【答案】
小亮先匀速骑行30分钟到达书店，在书店购书停留30分钟，之后从书店匀速骑行40分钟返回家中，返程速度小于去书店时的速度。
【知识点】
函数图像识别、行程问题分析、匀速运动特征
【点评】
本题考查从函数图像中提取有效信息、结合实际场景分析图像的能力，贴近日常生活，是数学知识结合实际应用的典型题型，能有效锻炼读图分析能力。
【难度系数】
0.9
例 甲骑自行车以10 km/h的速度沿公路骑行，出发3 h后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25 km/h.
(1) 设甲离开出发地的时间为x h.
① 求甲离开出发地的路程y km关于x h的函数表达式，并指出自变量x的取值范围；
② 求乙离开出发地的路程y km关于x h的函数表达式，并指出自变量x的取值范围.
(2) 在同一平面直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图象，并结合实际问题，解释图象中交点的意义.
(1) 设甲离开出发地的时间为x h.
① 求甲离开出发地的路程y km关于x h的函数表达式，并指出自变量x的取值范围；
② 求乙离开出发地的路程y km关于x h的函数表达式，并指出自变量x的取值范围.
(2) 在同一平面直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图象，并结合实际问题，解释图象中交点的意义.
答案
解：
(1) ① 由路程等于速度乘时间，可得甲的路程与时间的函数关系：
$y = 10x$
自变量$x$的取值范围是$x ≥ 0$。
② 乙比甲晚出发3 h，因此乙的行驶时长为$(x-3)\ \mathrm{h}$，代入路程公式整理得：
$y = 25(x-3) = 25x - 75$
自变量$x$的取值范围是$x ≥ 3$。
(2) 作图过程：
1. 建立平面直角坐标系，横轴表示甲离开出发地的时间$x$（单位：h），纵轴表示离开出发地的路程$y$（单位：km）。
2. 函数$y=10x(x≥0)$的图象：取点$(0,0)$、$(6,60)$，作第一象限内从原点出发的射线。
3. 函数$y=25x-75(x≥3)$的图象：取点$(3,0)$、$(5,50)$，作第一象限内从点$(3,0)$出发的射线。
联立两个函数表达式：
$\begin{cases} y=10x \\ y=25x-75 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=5 \\ y=50 \end{cases}$，即两图象交点坐标为$(5,50)$。
交点的实际意义：甲出发5 h时，乙骑摩托车行驶了2 h，二人距离出发地的路程均为50 km，此时乙追上甲。
(1) ① 由路程等于速度乘时间，可得甲的路程与时间的函数关系：
$y = 10x$
自变量$x$的取值范围是$x ≥ 0$。
② 乙比甲晚出发3 h，因此乙的行驶时长为$(x-3)\ \mathrm{h}$，代入路程公式整理得：
$y = 25(x-3) = 25x - 75$
自变量$x$的取值范围是$x ≥ 3$。
(2) 作图过程：
1. 建立平面直角坐标系，横轴表示甲离开出发地的时间$x$（单位：h），纵轴表示离开出发地的路程$y$（单位：km）。
2. 函数$y=10x(x≥0)$的图象：取点$(0,0)$、$(6,60)$，作第一象限内从原点出发的射线。
3. 函数$y=25x-75(x≥3)$的图象：取点$(3,0)$、$(5,50)$，作第一象限内从点$(3,0)$出发的射线。
联立两个函数表达式：
$\begin{cases} y=10x \\ y=25x-75 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=5 \\ y=50 \end{cases}$，即两图象交点坐标为$(5,50)$。
交点的实际意义：甲出发5 h时，乙骑摩托车行驶了2 h，二人距离出发地的路程均为50 km，此时乙追上甲。
解析
【分析】
解题时围绕行程问题核心公式“路程=速度×时间”展开思考：
1. 处理(1)的函数表达式问题时，首先明确自变量x是甲离开出发地的总时长：
① 甲从x=0时刻就开始行驶，直接代入速度和时间即可得到甲的路程函数，x的取值要符合实际，即甲出发后的时间均为非负数；
② 乙晚出发3小时，因此只有x≥3时乙才开始行驶，乙的实际行驶时长为(x-3)h，代入速度即可得到乙的路程函数，自变量x的范围要满足乙已经出发的条件。
2. 处理(2)的图象和交点问题时，一次函数图象本为直线，但受自变量取值范围限制，两个函数的图象都是第一象限内的射线，取范围内两个点即可绘制；交点处两个函数的x、y值均相等，对应实际含义就是同一时刻两人路程相同，即乙追上甲的时刻。
【解析】
(1) ① 根据路程=速度×时间，甲的速度为10km/h，行驶时间为x h，可得：
$y = 10x$
自变量x为甲离开出发地的时间，因此取值范围是$x ≥ 0$。
② 乙比甲晚出发3h，甲出发x h时，乙的实际行驶时长为$(x-3)\ \mathrm{h}$，仅当$x≥3$时乙出发，代入路程公式整理得：
$y = 25(x-3) = 25x - 75$
自变量x的取值范围是$x ≥ 3$。
(2) 作图步骤：
1. 建立平面直角坐标系，横轴表示甲离开出发地的时间x（单位：h），纵轴表示离开出发地的路程y（单位：km）；
2. 画$y=10x(x≥0)$的图象：取范围内两点$(0,0)$、$(6,60)$，连接两点作从$(0,0)$出发的第一象限内的射线；
3. 画$y=25x-75(x≥3)$的图象：取范围内两点$(3,0)$、$(5,50)$，连接两点作从$(3,0)$出发的第一象限内的射线。
求交点坐标：联立两个函数表达式得
$\begin{cases} y=10x \\ y=25x-75 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=5 \\ y=50 \end{cases}$，即交点坐标为$(5,50)$。
交点实际意义：甲出发5h时（乙此时行驶了2h），两人距离出发地的路程均为50km，此时乙追上甲。
【答案】
(1) ① $y=10x\ (x≥0)$；② $y=25x-75\ (x≥3)$
(2) 图象见解析，交点坐标为$(5,50)$，实际意义为甲出发5小时后乙追上甲，此时两人距出发地均为50km。
【知识点】
一次函数的实际应用；一次函数图象绘制；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题结合行程追及场景考查一次函数相关知识，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际情境，不能忽略限制条件直接写完整直线的表达式，解释交点意义时要结合题目背景，表述清晰准确。
【难度系数】
0.8
解题时围绕行程问题核心公式“路程=速度×时间”展开思考：
1. 处理(1)的函数表达式问题时，首先明确自变量x是甲离开出发地的总时长：
① 甲从x=0时刻就开始行驶，直接代入速度和时间即可得到甲的路程函数，x的取值要符合实际，即甲出发后的时间均为非负数；
② 乙晚出发3小时，因此只有x≥3时乙才开始行驶，乙的实际行驶时长为(x-3)h，代入速度即可得到乙的路程函数，自变量x的范围要满足乙已经出发的条件。
2. 处理(2)的图象和交点问题时，一次函数图象本为直线，但受自变量取值范围限制，两个函数的图象都是第一象限内的射线，取范围内两个点即可绘制；交点处两个函数的x、y值均相等，对应实际含义就是同一时刻两人路程相同，即乙追上甲的时刻。
【解析】
(1) ① 根据路程=速度×时间，甲的速度为10km/h，行驶时间为x h，可得：
$y = 10x$
自变量x为甲离开出发地的时间，因此取值范围是$x ≥ 0$。
② 乙比甲晚出发3h，甲出发x h时，乙的实际行驶时长为$(x-3)\ \mathrm{h}$，仅当$x≥3$时乙出发，代入路程公式整理得：
$y = 25(x-3) = 25x - 75$
自变量x的取值范围是$x ≥ 3$。
(2) 作图步骤：
1. 建立平面直角坐标系，横轴表示甲离开出发地的时间x（单位：h），纵轴表示离开出发地的路程y（单位：km）；
2. 画$y=10x(x≥0)$的图象：取范围内两点$(0,0)$、$(6,60)$，连接两点作从$(0,0)$出发的第一象限内的射线；
3. 画$y=25x-75(x≥3)$的图象：取范围内两点$(3,0)$、$(5,50)$，连接两点作从$(3,0)$出发的第一象限内的射线。
求交点坐标：联立两个函数表达式得
$\begin{cases} y=10x \\ y=25x-75 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=5 \\ y=50 \end{cases}$，即交点坐标为$(5,50)$。
交点实际意义：甲出发5h时（乙此时行驶了2h），两人距离出发地的路程均为50km，此时乙追上甲。
【答案】
(1) ① $y=10x\ (x≥0)$；② $y=25x-75\ (x≥3)$
(2) 图象见解析，交点坐标为$(5,50)$，实际意义为甲出发5小时后乙追上甲，此时两人距出发地均为50km。
【知识点】
一次函数的实际应用；一次函数图象绘制；一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题结合行程追及场景考查一次函数相关知识，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际情境，不能忽略限制条件直接写完整直线的表达式，解释交点意义时要结合题目背景，表述清晰准确。
【难度系数】
0.8
1. 如图是某长途汽车客运站旅客携带行李费用示意图.免费行李的质量不超过 kg,超过此质量,行李费用 y 元关于行李质量 x kg 的函数表达式为.
答案
$\boldsymbol{40}$；$\boldsymbol{y=x-40\ (x≥40)}$
解析
【分析】
首先观察图像，x轴代表行李质量，y轴代表行李费用，免费行李对应费用y=0的情况，找到y=0时x的最大值就能得到免费行李的最大质量；超过免费质量后行李费用和质量成一次函数关系，从图像中提取(40,0)和(50,10)两个点的坐标，用待定系数法设出一次函数解析式，代入坐标求解参数即可，注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【解析】
1. 求免费行李质量：由图像可知，当行李质量$x≤40\mathrm{kg}$时，行李费用$y=0$，因此免费行李的质量不超过40kg。
2. 求$x≥40$时的函数表达式：设超过40kg后，行李费用y与行李质量x的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
将点$(40,0)$、$(50,10)$代入解析式得方程组：
$\begin{cases} 40k + b = 0 \\ 50k + b = 10 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$10k=10$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$40k + b = 0$，得$40×1 + b = 0$，解得$b=-40$。
因此函数表达式为$y = x - 40\ (x≥40)$。
【答案】
$\boldsymbol{40}$；$\boldsymbol{y=x-40\ (x≥40)}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；一次函数的图象
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的相关知识，解题关键是能从函数图象中提取有效坐标信息，熟练掌握待定系数法求解一次函数解析式的方法，属于基础题型，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先观察图像，x轴代表行李质量，y轴代表行李费用，免费行李对应费用y=0的情况，找到y=0时x的最大值就能得到免费行李的最大质量；超过免费质量后行李费用和质量成一次函数关系，从图像中提取(40,0)和(50,10)两个点的坐标，用待定系数法设出一次函数解析式，代入坐标求解参数即可，注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【解析】
1. 求免费行李质量：由图像可知，当行李质量$x≤40\mathrm{kg}$时，行李费用$y=0$，因此免费行李的质量不超过40kg。
2. 求$x≥40$时的函数表达式：设超过40kg后，行李费用y与行李质量x的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
将点$(40,0)$、$(50,10)$代入解析式得方程组：
$\begin{cases} 40k + b = 0 \\ 50k + b = 10 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$10k=10$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$40k + b = 0$，得$40×1 + b = 0$，解得$b=-40$。
因此函数表达式为$y = x - 40\ (x≥40)$。
【答案】
$\boldsymbol{40}$；$\boldsymbol{y=x-40\ (x≥40)}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；一次函数的图象
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的相关知识，解题关键是能从函数图象中提取有效坐标信息，熟练掌握待定系数法求解一次函数解析式的方法，属于基础题型，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
2. 如图,一长为50 cm,宽为20 cm的长方形木板,现要在长边上截去长为x cm的一部分,则剩余木板的面积S cm²关于x cm(0≤x＜50)的表达式为().
A.$S=1000-x$
B.$S=1000-20x$
C.$S=20x$
D.$S=50x$
A.$S=1000-x$
B.$S=1000-20x$
C.$S=20x$
D.$S=50x$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形面积公式，我们可以从两个思路入手：第一种是先算出原长方形木板的总面积，再算出截去部分的面积，用总面积减去截去的面积就能得到剩余面积；第二种是先确定剩余木板的长和宽，直接用长方形面积公式计算剩余面积。两种思路都能推导出S和x的关系式，再对应选项选择即可。
【解析】
首先计算原长方形木板的面积：
原长方形长为50cm，宽为20cm，根据长方形面积=长×宽，可得原面积为$50×20=1000\ \mathrm{cm^2}$。
方法1：截去的部分是长为$x\ \mathrm{cm}$、宽为$20\ \mathrm{cm}$的长方形，截去部分的面积为$20x\ \mathrm{cm^2}$。
剩余面积=原面积-截去部分的面积，因此$S=1000-20x\ (0≤ x＜50)$。
方法2：截去长为$x\ \mathrm{cm}$的部分后，剩余木板的长为$(50-x)\ \mathrm{cm}$，宽仍为$20\ \mathrm{cm}$，因此剩余面积$S=20×(50-x)=1000-20x\ (0≤ x＜50)$。
对应选项可知B符合推导结果。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算；列函数关系式
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合几何图形的面积关系列出对应的函数表达式，解题时只要明确剩余图形的形状及各边长度，或者明确总面积和截去部分面积的关系，就能顺利求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆长方形面积公式，我们可以从两个思路入手：第一种是先算出原长方形木板的总面积，再算出截去部分的面积，用总面积减去截去的面积就能得到剩余面积；第二种是先确定剩余木板的长和宽，直接用长方形面积公式计算剩余面积。两种思路都能推导出S和x的关系式，再对应选项选择即可。
【解析】
首先计算原长方形木板的面积：
原长方形长为50cm，宽为20cm，根据长方形面积=长×宽，可得原面积为$50×20=1000\ \mathrm{cm^2}$。
方法1：截去的部分是长为$x\ \mathrm{cm}$、宽为$20\ \mathrm{cm}$的长方形，截去部分的面积为$20x\ \mathrm{cm^2}$。
剩余面积=原面积-截去部分的面积，因此$S=1000-20x\ (0≤ x＜50)$。
方法2：截去长为$x\ \mathrm{cm}$的部分后，剩余木板的长为$(50-x)\ \mathrm{cm}$，宽仍为$20\ \mathrm{cm}$，因此剩余面积$S=20×(50-x)=1000-20x\ (0≤ x＜50)$。
对应选项可知B符合推导结果。
【答案】
B
【知识点】
长方形面积计算；列函数关系式
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合几何图形的面积关系列出对应的函数表达式，解题时只要明确剩余图形的形状及各边长度，或者明确总面积和截去部分面积的关系，就能顺利求解，不易出错。
【难度系数】
0.8
