1.(六安霍邱县期末)如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的顶点坐标分别为A(-2,4),B(-5,-1),C(0,1),求三角形ABC的面积.

解:$S_{三角形ABC}=5×5-\frac{1}{2}×3×5-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×2×5=\frac{19}{2}.$

【分析】
本题要求平面直角坐标系中不规则三角形的面积，直接通过底乘高计算较为复杂，可采用割补法求解：第一步先找到能完全包围△ABC的最小矩形，使△ABC的三个顶点分别在矩形的边上；第二步计算该矩形的面积；第三步再计算矩形内除△ABC外的三个直角三角形的面积；最后用矩形面积减去这三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
采用割补法计算，步骤如下：
1. 构造包围△ABC的最小矩形，矩形的左右边界为点B的横坐标$x=-5$和点C的横坐标$x=0$，水平长度为$0-(-5)=5$；上下边界为点B的纵坐标$y=-1$和点A的纵坐标$y=4$，竖直高度为$4-(-1)=5$，因此矩形面积为$5×5=25$。
2. 分别计算矩形内三个边角直角三角形的面积：
左侧直角三角形：底为$-2-(-5)=3$，高为$4-(-1)=5$，面积为$\frac{1}{2}×3×5$；
右上直角三角形：底为$0-(-2)=2$，高为$4-1=3$，面积为$\frac{1}{2}×2×3$；
下方直角三角形：底为$0-(-5)=5$，高为$1-(-1)=2$，面积为$\frac{1}{2}×5×2$。
3. 计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=5×5-\frac{1}{2}×3×5-\frac{1}{2}×3×2-\frac{1}{2}×2×5=\frac{19}{2}$
【答案】
$\frac{19}{2}$
【知识点】
1. 割补法求面积
2. 坐标与线段长度转换
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是坐标系中求三角形面积的典型题型，核心考查割补法的灵活运用，将无法直接计算的三角形面积转化为规则图形面积的差，解题时需注意结合坐标准确计算各线段长度，避免计算失误。
【难度系数】
0.7

2.在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0,0),A(-4,10),B(-12,8),C(-14,0),求四边形OABC的面积.

解:过点 A 作 $AD⊥ x$ 轴,垂足为 D,过点 B 作 $BE⊥ x$ 轴,垂足为 E,则 D(-4,0),E(-12,0). 所以 $BE=8$,$AD=10$,$OD=4$,$DE=8$,$CE=2$. 所以 $S_{四边形OABC}=S_{三角形AOD}+S_{三角形BCE}+S_{梯形ABED}=\frac{1}{2}×4×10+\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8+10)×8=100.$

【分析】
本题要求不规则四边形OABC的面积，没有直接适用的面积公式，因此采用割补法求解：通过作辅助线将四边形分割为我们熟悉的规则图形（三角形、梯形），结合各顶点坐标计算出各规则图形的底、高，分别求出面积后求和即可得到四边形的总面积。具体思考步骤为：首先过A、B两点分别作x轴的垂线，将四边形分为△AOD、梯形ABED、△BCE三部分；再根据点的坐标求出各图形的相关边长；最后代入对应面积公式计算求和。
【解析】
过点A作$AD⊥ x$轴，垂足为D，过点B作$BE⊥ x$轴，垂足为E，可得$D(-4,0)$，$E(-12,0)$。
由各点坐标可得：$BE=8$，$AD=10$，$OD=4$，$DE=-4-(-12)=8$，$CE=-12-(-14)=2$。
四边形OABC的面积等于三个规则图形的面积之和：
$\begin{aligned}S_{四边形OABC}&=S_{△ AOD}+S_{△ BCE}+S_{梯形ABED}\\&=\frac{1}{2}×4×10+\frac{1}{2}×2×8+\frac{1}{2}×(8+10)×8\\&=20+8+72\\&=100\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{100}$
【知识点】
割补法求面积、坐标与线段长度、三角形梯形面积计算
【点评】
本题是坐标系中求不规则图形面积的典型题型，解题核心是合理运用割补法将不规则图形转化为可直接计算面积的规则图形，再结合点的坐标确定规则图形的相关边长，代入公式计算即可，掌握割补法能大幅简化这类问题的求解过程。
【难度系数】
0.7

3.(一题多设问)已知两点$A(0,1),B(2,0)$.
(1)若点$C$在$x$轴上,且$S_{三角形ABC}=1$,则点$C$的坐标为;
(2)若点$C$在$y$轴上,且$S_{三角形ABC}=1$,则点$C$的坐标为;
(3)若点$C$在坐标轴上,且$S_{三角形ABC}=1$,则点$C$的坐标为;
(4)若点$C(4,3)$,点$P$在坐标轴上,且$S_{三角形ABC}=S_{三角形ABP}$,则点$P$的坐标为.

3. (1)(0,0)或(4,0) (2)(0,0)或(0,2) (3)(4,0)或(0,0)或(0,2) (4)(10,0)或(-6,0)或(0,5)或(0,-3)

【分析】
解决本题的核心思路是：当三角形的顶点在坐标轴上时，可将坐标轴上的两点连线作为底，第三个点到该坐标轴的距离作为高，结合面积公式列方程求解，同时注意点在坐标轴上有左右（x轴）或上下（y轴）两种位置，需分类讨论避免漏解。
1. 第(1)问：C在x轴上，把BC作为底，A到x轴的距离为高，根据面积列方程求BC长度，再确定C的坐标；
2. 第(2)问：C在y轴上，把AC作为底，B到y轴的距离为高，同理列方程求解；
3. 第(3)问：整合前两问的所有符合条件的点即可；
4. 第(4)问：先利用割补法求出△ABC的面积，再分P在x轴、y轴两种情况，参照前两问的方法列方程求解P的坐标。
【解析】
已知两点$A(0,1),B(2,0)$：
(1) 设$C(x,0)$，$△ ABC$的底$BC=|x-2|$，高为点A到x轴的距离1。
由面积公式得：$\frac{1}{2} × |x-2| × 1 = 1$
解得$|x-2|=2$，即$x=4$或$x=0$，故$C(0,0)$或$(4,0)$。
(2) 设$C(0,y)$，$△ ABC$的底$AC=|y-1|$，高为点B到y轴的距离2。
由面积公式得：$\frac{1}{2} × |y-1| × 2 = 1$
解得$|y-1|=1$，即$y=2$或$y=0$，故$C(0,0)$或$(0,2)$。
(3) 点C在坐标轴上，整合(1)(2)的结果，去重后得$C$的坐标为$(0,0)$、$(4,0)$、$(0,2)$。
(4) 先求$S_{△ ABC}$，已知$C(4,3)$，用割补法：
构造顶点为$(0,0),(4,0),(4,3),(0,3)$的矩形，面积为$4×3=12$，减去周围3个直角三角形的面积：$S_1=\frac{1}{2}×2×1=1$，$S_2=\frac{1}{2}×2×3=3$，$S_3=\frac{1}{2}×4×2=4$，故$S_{△ ABC}=12-1-3-4=4$，即$S_{△ ABP}=4$。
① 若P在x轴上，设$P(m,0)$：$\frac{1}{2}×|m-2|×1=4$，解得$m=10$或$m=-6$，即$P(10,0)$或$(-6,0)$；
② 若P在y轴上，设$P(0,n)$：$\frac{1}{2}×|n-1|×2=4$，解得$n=5$或$n=-3$，即$P(0,5)$或$(0,-3)$。
综上P的坐标为$(10,0)$、$(-6,0)$、$(0,5)$、$(0,-3)$。
【答案】
(1)$(0,0)$或$(4,0)$ (2)$(0,0)$或$(0,2)$ (3)$(4,0)$或$(0,0)$或$(0,2)$ (4)$(10,0)$或$(-6,0)$或$(0,5)$或$(0,-3)$
【知识点】
坐标轴上点的特征，三角形面积计算，分类讨论思想
【点评】
本题围绕坐标轴上的三角形面积问题设置分层设问，解题时可利用坐标轴的特殊性简化面积计算，需建立分类讨论意识，考虑点在坐标轴上的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6