1.在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到的指令是:从原点O出发,按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动,每次移动1个单位长度,其移动路线如图所示,第一次移动到点$A_1$,第二次移动到点$A_2$,…,第$n$次移动到点$A_n$,则点$A_{2026}$的坐标是 ()


A.$(1012,0)$
B.$(1012,1)$
C.$(1013,0)$
D.$(1013,1)$

1.D

【分析】
首先观察机器人的移动路线，可发现每4次移动为一个循环周期，每个周期依次完成向上、向右、向下、向右各移动1个单位长度的操作，每个周期结束后点的横坐标增加2，纵坐标回到0。解题时先通过枚举前几个点的坐标验证周期规律，再计算2026次移动包含的完整周期数和剩余移动次数，根据剩余次数判断点$A_{2026}$在周期中的位置，即可求出对应坐标。
【解析】
先写出前几次移动后点的坐标：
$A_1(0,1)$，$A_2(1,1)$，$A_3(1,0)$，$A_4(2,0)$，
$A_5(2,1)$，$A_6(3,1)$，$A_7(3,0)$，$A_8(4,0)$，
……
总结规律：每4次移动为1个周期，若移动次数为$4k$（$k$为正整数），则对应点$A_{4k}$的坐标为$(2k, 0)$。
计算2026除以4的结果：$2026÷4=506······2$，即2026次移动包含506个完整周期，还剩余2次移动。
506个完整周期结束后，即第2024次移动到达$A_{2024}$，坐标为$(2×506,0)=(1012,0)$。
剩余2次移动：第2025次向上移动1个单位，到达$(1012,1)$；第2026次向右移动1个单位，到达$(1013,1)$。
因此点$A_{2026}$的坐标为$(1013,1)$。
【答案】
D
【知识点】
点的坐标规律探究，周期问题
【点评】
本题属于坐标变化的规律探究题，解题核心是通过观察找到移动的周期规律，再结合除法运算的余数判断目标点的位置，能有效考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.7

2. 如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成的，将护栏的图案放在平面直角坐标系中.已知小正方形的边长为1，$A_1$的坐标为$(2,2)$，$A_2$的坐标为$(5,2)$。

(1)$A_3$的坐标为________，$A_n$的坐标为________（用含$n$的代数式表示）；
(2)若护栏长为1000，则需要小正方形________个，大正方形________个。

2. (1)$(8,2)$ $(3n-1,2)$ (2)334 333

【分析】
(1) 先观察已知的A₁、A₂的坐标，发现两点纵坐标均为2，横坐标相差3，可推出A₃的坐标，再归纳横坐标与n的对应关系，得到Aₙ的坐标。(2) 先确定图形的周期规律：1个小正方形加1个大正方形组成的单元水平长度为3，对应1个小正方形和1个大正方形，再用总长度除以周期长度，结合余数即可求出两种正方形的数量。
【解析】
(1) 已知A₁的坐标为$(2,2)$，A₂的坐标为$(5,2)$，可见相邻两个点A的纵坐标恒为2，横坐标的差为$5-2=3$，因此A₃的横坐标为$5+3=8$，纵坐标为2，即$A_3(8,2)$。
归纳规律：A₁的横坐标$2=3×1-1$，A₂的横坐标$5=3×2-1$，A₃的横坐标$8=3×3-1$，因此$A_n$的横坐标为$3n-1$，纵坐标为2，即$A_n$的坐标为$(3n-1,2)$。
(2) 观察图形可知，每1个小正方形和1个大正方形组成的重复单元的水平长度为3，每个单元对应1个小正方形、1个大正方形。
计算$1000÷3=333······1$，即包含333个完整单元，剩余1个单位长度恰好对应1个小正方形的边长。
因此小正方形的数量为$333+1=334$个，大正方形的数量为333个。
【答案】
(1) $(8,2)$；$(3n-1,2)$ (2) $334$；$333$
【知识点】
点的坐标规律探究；图形周期规律；代数式表示规律
【点评】
本题是坐标与图形规律结合的典型题型，解题核心是先从已知点的坐标提炼出数值变化规律，再结合图形的周期特征解决实际计数问题，侧重考查学生的观察归纳能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

3.(梧州藤州中学月考卷)如图,已知$A_1(1,0)$,$A_2(1,1)$,$A_3(-1,1)$,$A_4(-1,-1)$,$A_5(2,-1)$.
(1)继续填写:$A_6$ ,$A_7$ ,$A_8$ ,$A_9$ ,$A_{10}$ ,$A_{11}$ ;
(2)试写出点$A_{2025}$和$A_{2026}$的坐标.

3. (1)$(2,2)$ $(-2,2)$ $(-2,-2)$ $(3,-2)$ $(3,3)$ $(-3,3)$
(2)解:设n为自然数,观察图形可知$A_{4n}(-n,-n)$,$A_{4n+1}(n+1,-n)$,$A_{4n+2}(n+1,n+1)$,$A_{4n+3}(-n-1,n+1)$.
$\because 2025÷4=506······1,2026÷4=506······2$,$\therefore$点$A_{2025}$在第四象限,点$A_{2026}$在第一象限,点$A_{2025}$的坐标为$(507,-506)$,点$A_{2026}$的坐标为$(507,507)$.

【分析】
首先观察已知点的坐标及脚标特征，发现点的脚标每4个为一个循环周期，分别对应不同象限的坐标特征：脚标除以4余数为1的点在第四象限，余数为2的在第一象限，余数为3的在第二象限，能被4整除的在第三象限。接下来先根据已知点的变化趋势推导前几个待求点的坐标，再归纳出通用的坐标与脚标的对应规律，最后用规律计算脚标较大的点的坐标即可。
【解析】
(1) 观察已知点的坐标变化：
$A_5(2,-1)$，向上移动，x不变，y增加1，得$A_6(2,2)$；
再向左移动，y不变，x减小1，得$A_7(-2,2)$；
再向下移动，x不变，y减小1，得$A_8(-2,-2)$；
再向右移动，y不变，x增加1，得$A_9(3,-2)$；
再向上移动，x不变，y增加1，得$A_{10}(3,3)$；
再向左移动，y不变，x减小1，得$A_{11}(-3,3)$。
(2) 设n为自然数，归纳规律可得：
脚标为$4n$时，点坐标为$(-n,-n)$；
脚标为$4n+1$时，点坐标为$(n+1,-n)$；
脚标为$4n+2$时，点坐标为$(n+1,n+1)$；
脚标为$4n+3$时，点坐标为$(-n-1,n+1)$。
计算得：$2025÷4=506······1$，对应$4n+1$的情况，其中$n=506$，代入得$A_{2025}$的坐标为$(506+1,-506)=(507,-506)$；
$2026÷4=506······2$，对应$4n+2$的情况，其中$n=506$，代入得$A_{2026}$的坐标为$(506+1,506+1)=(507,507)$。
【答案】
(1)$(2,2)$；$(-2,2)$；$(-2,-2)$；$(3,-2)$；$(3,3)$；$(-3,3)$
(2)$A_{2025}(507,-506)$，$A_{2026}(507,507)$
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 点的坐标规律探究
3. 周期规律应用
【点评】
本题是坐标规律探究的典型题型，重点考查观察、归纳总结的能力，解题核心是按脚标除以4的余数分类总结坐标特征，掌握这类分类找周期规律的方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.65

4.(合肥市包河区期末改编)如图,在平面直角坐标系中,第一次将三角形OAB变换成三角形$OA_{1}B_{1}$,第二次将三角形$OA_{1}B_{1}$变换成三角形$OA_{2}B_{2}$,第三次将三角形$OA_{2}B_{2}$变换成三角形$OA_{3}B_{3}$,已知$A(1,3),A_{1}(2,3),A_{2}(4,3),A_{3}(8,3),B(2,0),B_{1}(4,0),B_{2}(8,0),B_{3}(16,0)$.

(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律,按此规律再将三角形$OA_{3}B_{3}$变换成三角形$OA_{4}B_{4}$,则点$A_{4}$的坐标是,点$B_{4}$的坐标是;
(2)若按(1)题中找出的规律,将三角形OAB进行n(n为正整数)次变换,得到三角形$OA_{n}B_{n}$,比较每次变换前后三角形顶点坐标的变化规律,推测点$A_{n}$的坐标是,点$B_{n}$的坐标是.

4. (1)$(16,3)$ $(32,0)$ (2)$(2^n,3)$ $(2^{n+1},0)$

【分析】
解题时先分别观察A系列点和B系列点的横、纵坐标特征：首先看纵坐标，所有A点的纵坐标均为3，所有B点的纵坐标均为0，纵坐标保持不变；再看横坐标，A点横坐标依次为1、2、4、8，均为2的幂次，B点横坐标依次为2、4、8、16，也均为2的幂次，接下来对应变换次数找到幂次和变换次数的关系即可求解。
【解析】
(1) 观察A点坐标：$A(1,3)$，$A_1(2,3)$，$A_2(4,3)$，$A_3(8,3)$，横坐标依次为$2^0$、$2^1$、$2^2$、$2^3$，纵坐标恒为3，因此第4次变换后$A_4$的横坐标为$2^4=16$，纵坐标为3，即$A_4(16,3)$；
观察B点坐标：$B(2,0)$，$B_1(4,0)$，$B_2(8,0)$，$B_3(16,0)$，横坐标依次为$2^1$、$2^2$、$2^3$、$2^4$，纵坐标恒为0，因此第4次变换后$B_4$的横坐标为$2^5=32$，纵坐标为0，即$B_4(32,0)$。
(2) 由上述规律可得，进行n次变换时，$A_n$的横坐标为$2^n$，纵坐标恒为3，即$A_n(2^n,3)$；$B_n$的横坐标为$2^{n+1}$，纵坐标恒为0，即$B_n(2^{n+1},0)$。
【答案】
(1) $(16,3)$，$(32,0)$
(2) $(2^n,3)$，$(2^{n+1},0)$
【知识点】
点的坐标规律探究；有理数的乘方
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是拆分点的横、纵坐标分别找规律，先确定不变的量，再分析变化的量和变换次数的对应关系，即可快速推导得到通用规律。
【难度系数】
0.7