[2025厦门十一中期中]【问题探究】
(1)如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9:“平分一个已知角”即:作一个已知角的平分线.如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法:在OA和OB上分别取点C,D,使得OC = OD,连接CD,以CD为边作等边三角形CDE,则OE就是∠AOB的平分线.请写出OE平分∠AOB的依据:.
【类比迁移】
(2)小明根据以上信息研究发现:△CDE不一定必须是等边三角形,只需CE = DE即可.他查阅资料:我国古代已经用角尺平分任意角.做法如下:如图3,在∠AOB的边OA,OB上分别取OM = ON,移动角尺,使角尺两边相同刻度分别与点M,N重合,则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线.请说明此做法的理由.
【拓展实践】
(3)小明将研究应用于实践,如图4,校园的两条小路AB和AC,汇聚形成了一个岔路口A,现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E,使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮),并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等.试问路灯应该安装在哪个位置?请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置.(保留作图痕迹,不写作法)

解:(1)SSS
(2)在△OCM 和△OCN 中,
∵ OM = ON,CM = CN,OC = OC,
∴ △OCM≌△OCN(SSS),
∴ ∠AOC = ∠BOC,
∴ OC 是∠AOB 的平分线.
(3)如图,点 E 即所求.