登录
1. 数形结合思想 [2025郑州金水区期中]将四块全等的直角三角形纸板拼成如图1所示的图案，你能由此确定直角三角形的三边长a,b,c之间的关系吗？试试看。
(1)大正方形的面积可以表示为
(2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？
(1)大正方形的面积可以表示为
(a+b)²
，又可以表示为4×1/2 ab +c²
，从而可得到a² + b² = c²
。(2)若将这四块纸板拼成如图2所示的图案，你能通过对比图1与图2，换一种方法证明勾股定理吗？
答案
解:(1)$(a+b)^2$ $4×\frac{1}{2}ab +c^2$ $a^2 +b^2 =c^2$
(2)能. 证明如下:
题图2中大正方形的面积为$(a+b)^2$,两个小正方形的面积之和为$(a+b)^2 -4×\frac{1}{2}ab =a^2 +b^2$,
题图1中小正方形的面积为$c^2$,
对比题图1和题图2,
易知题图2中两个小正方形的面积之和等于题图1中小正方形的面积,故$a^2 +b^2 =c^2$.
(2)能. 证明如下:
题图2中大正方形的面积为$(a+b)^2$,两个小正方形的面积之和为$(a+b)^2 -4×\frac{1}{2}ab =a^2 +b^2$,
题图1中小正方形的面积为$c^2$,
对比题图1和题图2,
易知题图2中两个小正方形的面积之和等于题图1中小正方形的面积,故$a^2 +b^2 =c^2$.
2. 易错题 在 $Rt△ ABC$ 中，$a,b,c$ 分别是 $∠ A,∠ B,∠ C$ 的对边. 若 $∠ A=90°$，则 （
A.$a^2 + b^2 = c^2$
B.$b^2 + c^2 = a^2$
C.$c^2 + a^2 = b^2$
D.$b + a = c$
B
）A.$a^2 + b^2 = c^2$
B.$b^2 + c^2 = a^2$
C.$c^2 + a^2 = b^2$
D.$b + a = c$
答案
B
在判断时,要分清哪条边是最长边,然后才能运用勾股定理. 本题$∠A=90°$,对边$a$才是最长边,$\therefore b^2 +c^2 =a^2$.
在判断时,要分清哪条边是最长边,然后才能运用勾股定理. 本题$∠A=90°$,对边$a$才是最长边,$\therefore b^2 +c^2 =a^2$.
3. 如图,在$△ ABC$中,$AB = AC = 10$,$BC = 12$,$AD$平分$∠ BAC$,则$AD$的长为 (
A.6
B.7
C.8
D.9
C
)A.6
B.7
C.8
D.9
答案
C
$\because AB = AC$,$AD$平分$∠ BAC$,$\therefore AD ⊥ BC$,$BD = DC = \frac{1}{2}BC =6$(等腰三角形的三线合一). 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 -6^2} =8$.
$\because AB = AC$,$AD$平分$∠ BAC$,$\therefore AD ⊥ BC$,$BD = DC = \frac{1}{2}BC =6$(等腰三角形的三线合一). 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 -6^2} =8$.
4. [2026郑州期末]如图,中间的直角三角形是由三个正方形顶点相连构成的,则图中三个正方形的面积可能为 (
A.3,4,5
B.5,6,11
C.6,8,15
D.7,12,14
B
)A.3,4,5
B.5,6,11
C.6,8,15
D.7,12,14
答案
B
根据勾股定理可得,题图中两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积. 选项A,$3 +4 =7 ≠ 5$,不符合题意; 选项B,$5 +6 =11$,符合题意; 选项C,$6 +8 =14 ≠ 15$,不符合题意; 选项D,$7 +12 =19 ≠ 14$,不符合题意.
根据勾股定理可得,题图中两个较小正方形的面积之和等于最大正方形的面积. 选项A,$3 +4 =7 ≠ 5$,不符合题意; 选项B,$5 +6 =11$,符合题意; 选项C,$6 +8 =14 ≠ 15$,不符合题意; 选项D,$7 +12 =19 ≠ 14$,不符合题意.
5. ▶教材P122练习T1变式 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$a,b,c$分别为$∠ A,∠ B,∠ C$的对边.
(1)若$a = 12,b = 5$,则$c =$
(2)若$c = 41,b = 9$,则$a =$
(1)若$a = 12,b = 5$,则$c =$
13
;(2)若$c = 41,b = 9$,则$a =$
40
.答案
(1)13;(2)40
(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\because ∠ C=90°$,$a=12$,$b=5$,$\therefore c=\sqrt{12^2 +5^2}=13$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\because ∠ C=90°$,$c=41$,$b=9$,$\therefore a=\sqrt{41^2 -9^2}=40$.
(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\because ∠ C=90°$,$a=12$,$b=5$,$\therefore c=\sqrt{12^2 +5^2}=13$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\because ∠ C=90°$,$c=41$,$b=9$,$\therefore a=\sqrt{41^2 -9^2}=40$.
6. [2025 保定清苑区期中] 如图，BO⊥AO于点O，OA=4，OB=3，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交射线AO于点C，则OC的长为
1
。答案
1
根据题意,得$AC=AB$,$∠ AOB=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$AB^2 = OB^2 + OA^2 =3^2 +4^2 =25$,$\therefore AB=5$,$\therefore OC=AC - OA=5 -4=1$.
根据题意,得$AC=AB$,$∠ AOB=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$AB^2 = OB^2 + OA^2 =3^2 +4^2 =25$,$\therefore AB=5$,$\therefore OC=AC - OA=5 -4=1$.
7. 教材P122练习T2变式 将两个大小不一样的直角三角形按如图所示的方式摆放,连接AD.若$BC=6,AC=8,CD=15$,求$△ ABD$的周长.
答案
解:$\because ∠ ACB=90°$,$BC=6$,$AC=8$,
$\therefore AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{8^2 +6^2}=10$.
$\because ∠ ACD=90°$,$AC=8$,$CD=15$,
$\therefore AD=\sqrt{AC^2 + CD^2}=\sqrt{8^2 +15^2}=17$,
$\therefore △ ABD$的周长为$AB + BD + AD=10 +6 +15 +17=48$.
$\therefore AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{8^2 +6^2}=10$.
$\because ∠ ACD=90°$,$AC=8$,$CD=15$,
$\therefore AD=\sqrt{AC^2 + CD^2}=\sqrt{8^2 +15^2}=17$,
$\therefore △ ABD$的周长为$AB + BD + AD=10 +6 +15 +17=48$.
