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8.如图，一次函数$y=\frac{4}{3}x+4$的图象与x轴，y轴的交点分别为A，B，则AB的长为
5
。答案
8.5
解析
【分析】
要求AB的长度，首先需要确定点A、B的坐标：①A是一次函数图象与x轴的交点，x轴上的点纵坐标为0，代入函数解析式可求出A点横坐标，得到A点坐标；②B是一次函数图象与y轴的交点，y轴上的点横坐标为0，代入函数解析式可求出B点纵坐标，得到B点坐标；③由坐标可得OA、OB的长度，结合△AOB是直角三角形，用勾股定理即可求出AB的长。
【解析】
第一步：求点A的坐标
令一次函数$y=\frac{4}{3}x+4$中$y=0$，代入得：
$0=\frac{4}{3}x+4$
解得$x=-3$，即A点坐标为$(-3,0)$，因此$OA=|{-3}|=3$。
第二步：求点B的坐标
令一次函数$y=\frac{4}{3}x+4$中$x=0$，代入得：
$y=4$，即B点坐标为$(0,4)$，因此$OB=4$。
第三步：用勾股定理求AB的长
由坐标系可知$∠ AOB=90°$，$△ AOB$是直角三角形，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合基础题，解题关键是掌握坐标轴上点的坐标特征，求出交点坐标后结合勾股定理计算线段长度，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
要求AB的长度，首先需要确定点A、B的坐标：①A是一次函数图象与x轴的交点，x轴上的点纵坐标为0，代入函数解析式可求出A点横坐标，得到A点坐标；②B是一次函数图象与y轴的交点，y轴上的点横坐标为0，代入函数解析式可求出B点纵坐标，得到B点坐标；③由坐标可得OA、OB的长度，结合△AOB是直角三角形，用勾股定理即可求出AB的长。
【解析】
第一步：求点A的坐标
令一次函数$y=\frac{4}{3}x+4$中$y=0$，代入得：
$0=\frac{4}{3}x+4$
解得$x=-3$，即A点坐标为$(-3,0)$，因此$OA=|{-3}|=3$。
第二步：求点B的坐标
令一次函数$y=\frac{4}{3}x+4$中$x=0$，代入得：
$y=4$，即B点坐标为$(0,4)$，因此$OB=4$。
第三步：用勾股定理求AB的长
由坐标系可知$∠ AOB=90°$，$△ AOB$是直角三角形，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
【答案】
5
【知识点】
一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合基础题，解题关键是掌握坐标轴上点的坐标特征，求出交点坐标后结合勾股定理计算线段长度，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
9.兄弟俩赛跑，弟弟先跑10m，然后哥哥出发。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，设哥哥出发x(s)后，哥哥所跑的路程为$y_1$(m)，弟弟所跑的路程为$y_2$(m)。
(1)分别写出$y_1$，$y_2$与x之间的函数表达式，并在同一坐标系中画出两个函数的图象。
(2)观察图象回答：何时弟弟在哥哥前面？何时弟弟在哥哥后面？
(1)分别写出$y_1$，$y_2$与x之间的函数表达式，并在同一坐标系中画出两个函数的图象。
(2)观察图象回答：何时弟弟在哥哥前面？何时弟弟在哥哥后面？
答案
9.(1)$y_1=4x$,$y_2=3x+10$。函数图象如图
所示。(2)10s前,弟弟在哥哥前面;10s后,弟弟在哥哥后面。
解析
【分析】
(1) 求解函数表达式可结合行程问题的基本公式“路程=速度×时间”推导：哥哥从起点出发，路程直接为速度乘出发后的时间，即可得到$y_1$的表达式；弟弟提前跑了10m，总路程为提前跑的固定距离加上哥哥出发后x秒弟弟跑的路程，由此可得到$y_2$的表达式。一次函数图象为直线，取2个特殊点连线即可画出图象，通过令$y_1=y_2$可求得两函数交点坐标，辅助画图。
(2) 弟弟在哥哥前面对应同一x值下$y_2＞y_1$，即图象中$y_2$的直线位于$y_1$上方的区间；弟弟在哥哥后面对应$y_2＜y_1$，即图象中$y_2$的直线位于$y_1$下方的区间，观察交点的横坐标即可划分对应的时间区间。
【解析】
(1) 哥哥的速度为4m/s，哥哥出发x s后，根据路程=速度×时间，可得哥哥的路程：$y_1=4x \ (x≥0)$；
弟弟提前跑了10m，速度为3m/s，哥哥出发x s后，弟弟的总路程为提前跑的距离加x秒跑的路程，即：$y_2=3x+10 \ (x≥0)$。
$y_1=4x$取(0,0)、(10,40)两点连线，$y_2=3x+10$取(0,10)、(10,40)两点连线，即可得到两个函数的图象。
(2) 观察图象可得两函数交点的横坐标为$x=10$：
当$x＜10$时，$y_2$的图象在$y_1$上方，即$y_2＞y_1$，弟弟在哥哥前面；
当$x＞10$时，$y_2$的图象在$y_1$下方，即$y_2＜y_1$，弟弟在哥哥后面。
【答案】
(1)$y_1=4x$,$y_2=3x+10$。函数图象如图所示。
(2)10s前,弟弟在哥哥前面;10s后,弟弟在哥哥后面。
【知识点】
一次函数表达式求解，一次函数的图象，一次函数实际应用
【点评】
本题结合赛跑的生活场景考查一次函数的相关知识，需要学生结合行程数量关系列函数表达式，同时能通过图象的位置关系判断函数值大小，侧重对基础知识点的理解和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求解函数表达式可结合行程问题的基本公式“路程=速度×时间”推导：哥哥从起点出发，路程直接为速度乘出发后的时间，即可得到$y_1$的表达式；弟弟提前跑了10m，总路程为提前跑的固定距离加上哥哥出发后x秒弟弟跑的路程，由此可得到$y_2$的表达式。一次函数图象为直线，取2个特殊点连线即可画出图象，通过令$y_1=y_2$可求得两函数交点坐标，辅助画图。
(2) 弟弟在哥哥前面对应同一x值下$y_2＞y_1$，即图象中$y_2$的直线位于$y_1$上方的区间；弟弟在哥哥后面对应$y_2＜y_1$，即图象中$y_2$的直线位于$y_1$下方的区间，观察交点的横坐标即可划分对应的时间区间。
【解析】
(1) 哥哥的速度为4m/s，哥哥出发x s后，根据路程=速度×时间，可得哥哥的路程：$y_1=4x \ (x≥0)$；
弟弟提前跑了10m，速度为3m/s，哥哥出发x s后，弟弟的总路程为提前跑的距离加x秒跑的路程，即：$y_2=3x+10 \ (x≥0)$。
$y_1=4x$取(0,0)、(10,40)两点连线，$y_2=3x+10$取(0,10)、(10,40)两点连线，即可得到两个函数的图象。
(2) 观察图象可得两函数交点的横坐标为$x=10$：
当$x＜10$时，$y_2$的图象在$y_1$上方，即$y_2＞y_1$，弟弟在哥哥前面；
当$x＞10$时，$y_2$的图象在$y_1$下方，即$y_2＜y_1$，弟弟在哥哥后面。
【答案】
(1)$y_1=4x$,$y_2=3x+10$。函数图象如图
所示。(2)10s前,弟弟在哥哥前面;10s后,弟弟在哥哥后面。
【知识点】
一次函数表达式求解，一次函数的图象，一次函数实际应用
【点评】
本题结合赛跑的生活场景考查一次函数的相关知识，需要学生结合行程数量关系列函数表达式，同时能通过图象的位置关系判断函数值大小，侧重对基础知识点的理解和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
10.问题:探究函数$y=-|x|+4$的图象与性质。
数学兴趣小组根据学习一次函数的经验,对函数$y=-|x|+4$的图象与性质进行了探究:
(1)在函数$y=-|x|+4$中,自变量x可以是任意实数,如表是y与x的几组对应值。
①表格中a的值为
②若$(b,-8)$与$(12,-8)$为该函数图象上不同的两点,则$b=$
(2)在平面直角坐标系中,描出表中的各点,画出该函数的图象。
(3)结合图象回答下列问题:
①函数的最大值为
②写出该函数的一条性质:
数学兴趣小组根据学习一次函数的经验,对函数$y=-|x|+4$的图象与性质进行了探究:
(1)在函数$y=-|x|+4$中,自变量x可以是任意实数,如表是y与x的几组对应值。
①表格中a的值为
0
;②若$(b,-8)$与$(12,-8)$为该函数图象上不同的两点,则$b=$
-12
。(2)在平面直角坐标系中,描出表中的各点,画出该函数的图象。
(3)结合图象回答下列问题:
①函数的最大值为
4
;②写出该函数的一条性质:
函数$y=-|x|+4$的图象关于y轴对称(答案不唯一)
。答案
10.(1)①把$x=4$代入$y=-|x|+4$,得$a=-4+4=0$。故答案为0;②把$y=-8$代入$y=-|x|+4$,得$-8=-|x|+4$,解得$x=-12$或12,因为$(b,-8)$与$(12,-8)$为该函数图象上不同的两点,所以$b=-12$。故答案为$-12$。
(2)描点,画出函数的图象如图
。(3)①4 ②函数$y=-|x|+4$的图象关于y轴对称(答案不唯一)。
解析
【分析】
本题是探究含绝对值的一次型函数的图象与性质，解题思路如下：
1. 求解(1)①时，已知函数解析式，将对应x的值代入解析式，即可计算出对应的y值a；
2. 求解(1)②时，将已知的y值代入解析式，解绝对值方程得到两个x的值，结合两点不相同的条件，排除已知的x值，即可得到b的值；
3. 求解(2)时，按照描点法画函数图象的步骤，先描出表格中给出的各点，再分x≤0和x≥0两段用直线依次连接各点即可；
4. 求解(3)时，观察画出的函数图象：①找图象的最高点，对应的y值就是函数的最大值；②可从对称性、增减性、最值等角度总结函数的性质即可。
【解析】
(1)①将$x=4$代入函数解析式$y=-|x|+4$，得$a=-|4|+4=-4+4=0$；
②将$y=-8$代入$y=-|x|+4$，得$-8=-|x|+4$，移项计算得$|x|=12$，解得$x=12$或$x=-12$，因为$(b,-8)$与$(12,-8)$是函数图象上不同的两点，因此$b=-12$；
(2) 先在平面直角坐标系中准确描出表格中各组x、y对应的点，再按x从小到大的顺序，分别对x≤0和x≥0的部分用直线段依次连接各点，即可得到该函数的图象；
(3)①观察函数图象可知，图象的最高点坐标为$(0,4)$，因此函数的最大值为4；
②观察图象可得，函数图象关于y轴对称（或x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小，合理即可）。
【答案】
(1)①$\boxed{0}$；②$\boxed{-12}$
(2)描点，画出函数的图象如图
(3)①$\boxed{4}$；②函数$y=-|x|+4$的图象关于y轴对称（答案不唯一）
【知识点】
函数值求解，函数图象绘制，函数性质分析
【点评】
本题以含绝对值的函数为载体，考查了代入法求函数值、绝对值方程的解法、描点法画图象及结合图象分析函数性质的能力，注重对知识迁移能力的考查，引导学生用已学的一次函数相关经验探究新的函数问题。
【难度系数】
0.8
本题是探究含绝对值的一次型函数的图象与性质，解题思路如下：
1. 求解(1)①时，已知函数解析式，将对应x的值代入解析式，即可计算出对应的y值a；
2. 求解(1)②时，将已知的y值代入解析式，解绝对值方程得到两个x的值，结合两点不相同的条件，排除已知的x值，即可得到b的值；
3. 求解(2)时，按照描点法画函数图象的步骤，先描出表格中给出的各点，再分x≤0和x≥0两段用直线依次连接各点即可；
4. 求解(3)时，观察画出的函数图象：①找图象的最高点，对应的y值就是函数的最大值；②可从对称性、增减性、最值等角度总结函数的性质即可。
【解析】
(1)①将$x=4$代入函数解析式$y=-|x|+4$，得$a=-|4|+4=-4+4=0$；
②将$y=-8$代入$y=-|x|+4$，得$-8=-|x|+4$，移项计算得$|x|=12$，解得$x=12$或$x=-12$，因为$(b,-8)$与$(12,-8)$是函数图象上不同的两点，因此$b=-12$；
(2) 先在平面直角坐标系中准确描出表格中各组x、y对应的点，再按x从小到大的顺序，分别对x≤0和x≥0的部分用直线段依次连接各点，即可得到该函数的图象；
(3)①观察函数图象可知，图象的最高点坐标为$(0,4)$，因此函数的最大值为4；
②观察图象可得，函数图象关于y轴对称（或x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小，合理即可）。
【答案】
(1)①$\boxed{0}$；②$\boxed{-12}$
(2)描点，画出函数的图象如图
(3)①$\boxed{4}$；②函数$y=-|x|+4$的图象关于y轴对称（答案不唯一）
【知识点】
函数值求解，函数图象绘制，函数性质分析
【点评】
本题以含绝对值的函数为载体，考查了代入法求函数值、绝对值方程的解法、描点法画图象及结合图象分析函数性质的能力，注重对知识迁移能力的考查，引导学生用已学的一次函数相关经验探究新的函数问题。
【难度系数】
0.8
