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原题1:已知:一次函数$y=(2 - m)x + m - 3$。
(1)若此函数图象经过原点,求$m$的值。
(2)若此函数图象经过第二、三、四象限,求$m$的取值范围。
(3)若此函数图象与$y$轴交点在$x$轴下方,求$m$的取值范围。
(1)若此函数图象经过原点,求$m$的值。
(2)若此函数图象经过第二、三、四象限,求$m$的取值范围。
(3)若此函数图象与$y$轴交点在$x$轴下方,求$m$的取值范围。
答案
(1)因为一次函数$y=(2-m)x+m-3$的图象过原点，所以$m-3=0$，解得$m=3$。
(2)因为该函数的图象经过第二、三、四象限，所以$2-m＜0$，且$m-3＜0$，解得$2＜m＜3$。
(3)因为$y=(2-m)x+m-3$，所以当$x=0$时，$y=m-3$，得$2-m≠0$且$m-3＜0$，所以$m＜3$且$m≠2$。
(2)因为该函数的图象经过第二、三、四象限，所以$2-m＜0$，且$m-3＜0$，解得$2＜m＜3$。
(3)因为$y=(2-m)x+m-3$，所以当$x=0$时，$y=m-3$，得$2-m≠0$且$m-3＜0$，所以$m＜3$且$m≠2$。
解析
【分析】
(1) 函数图象过原点，说明原点(0,0)满足函数解析式，同时要保证该函数为一次函数，即一次项系数不为0，将点代入解析式即可求解m的值。
(2) 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过第二、三、四象限的条件是k＜0且b＜0，据此列出关于m的不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围。
(3) 函数图象与y轴交点在x轴下方，即x=0时对应的函数值小于0，同时要满足一次项系数不为0的隐含条件，结合两个条件求解即可。
【解析】
(1)
∵ 一次函数$y=(2-m)x+m-3$的图象经过原点(0,0)，
∴ 当$x=0$时，$y=0$，即$m-3=0$，
解得$m=3$，此时$2-m=-1≠0$，符合一次函数定义。
(2)
∵ 该函数的图象经过第二、三、四象限，
∴ 一次项系数小于0，常数项小于0，即$\begin{cases}2-m＜0 \\ m-3＜0\end{cases}$，
解$2-m＜0$得$m＞2$，解$m-3＜0$得$m＜3$，
∴ m的取值范围为$2＜m＜3$。
(3) 当$x=0$时，$y=m-3$，即函数与y轴的交点为$(0,m-3)$，
∵ 交点在x轴下方，且函数为一次函数，
∴ $\begin{cases}2-m≠0 \\ m-3＜0\end{cases}$，
解得$m＜3$且$m≠2$。
【答案】
(1) $m=3$
(2) $2＜m＜3$
(3) $m＜3$且$m≠2$
【知识点】
一次函数的定义、一次函数的图象与性质、一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题围绕一次函数的核心性质设置问题，重点考查一次项系数k和常数项b的取值对函数图象位置的影响，解题时需注意一次项系数不为0的隐含条件，避免漏解。
【难度系数】
0.75
(1) 函数图象过原点，说明原点(0,0)满足函数解析式，同时要保证该函数为一次函数，即一次项系数不为0，将点代入解析式即可求解m的值。
(2) 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过第二、三、四象限的条件是k＜0且b＜0，据此列出关于m的不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围。
(3) 函数图象与y轴交点在x轴下方，即x=0时对应的函数值小于0，同时要满足一次项系数不为0的隐含条件，结合两个条件求解即可。
【解析】
(1)
∵ 一次函数$y=(2-m)x+m-3$的图象经过原点(0,0)，
∴ 当$x=0$时，$y=0$，即$m-3=0$，
解得$m=3$，此时$2-m=-1≠0$，符合一次函数定义。
(2)
∵ 该函数的图象经过第二、三、四象限，
∴ 一次项系数小于0，常数项小于0，即$\begin{cases}2-m＜0 \\ m-3＜0\end{cases}$，
解$2-m＜0$得$m＞2$，解$m-3＜0$得$m＜3$，
∴ m的取值范围为$2＜m＜3$。
(3) 当$x=0$时，$y=m-3$，即函数与y轴的交点为$(0,m-3)$，
∵ 交点在x轴下方，且函数为一次函数，
∴ $\begin{cases}2-m≠0 \\ m-3＜0\end{cases}$，
解得$m＜3$且$m≠2$。
【答案】
(1) $m=3$
(2) $2＜m＜3$
(3) $m＜3$且$m≠2$
【知识点】
一次函数的定义、一次函数的图象与性质、一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题围绕一次函数的核心性质设置问题，重点考查一次项系数k和常数项b的取值对函数图象位置的影响，解题时需注意一次项系数不为0的隐含条件，避免漏解。
【难度系数】
0.75
变式1:请根据"原题1"的条件进行
解答:
(1)若此函数图象与y轴交点到x轴的
距离为2,求m的值。
(2)若此函数y随x增大而增大,求m的
取值范围。
解答:
(1)若此函数图象与y轴交点到x轴的
距离为2,求m的值。
(2)若此函数y随x增大而增大,求m的
取值范围。
答案
(1)$m=5$或$m=1$。
(2)$m＜2$。
(2)$m＜2$。
解析
【分析】
本题考查一次函数图象与性质的应用，解题思路如下：（1）求与y轴交点相关的问题时，先令x=0求出交点纵坐标，交点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，据此列绝对值方程求解，最后验证一次项系数不为0即可；（2）一次函数的增减性由一次项系数决定：当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，据此列不等式求解即可。
【解析】
由原题1已知该函数为一次函数，解析式为$y=(2-m)x+m-3$，其中一次项系数$2-m≠0$。
(1) 令$x=0$，得$y=m-3$，即函数与y轴的交点为$(0,m-3)$。
∵ 交点到x轴的距离为2，
∴ $|m-3|=2$，
分两种情况求解：
① $m-3=2$，解得$m=5$，此时$2-m=-3≠0$，符合要求；
② $m-3=-2$，解得$m=1$，此时$2-m=1≠0$，符合要求。
(2)
∵ 函数y随x增大而增大，
∴ 一次项系数大于0，即$2-m＞0$，
解得$m＜2$。
【答案】
(1)$m=5$或$m=1$；(2)$m＜2$
【知识点】
1. 一次函数性质 2. 绝对值方程求解 3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题型，核心考查一次函数与坐标轴交点的特征、增减性的判断规律，解题时要注意一次项系数不为0的隐含条件，避免漏验导致错解。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数图象与性质的应用，解题思路如下：（1）求与y轴交点相关的问题时，先令x=0求出交点纵坐标，交点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，据此列绝对值方程求解，最后验证一次项系数不为0即可；（2）一次函数的增减性由一次项系数决定：当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，据此列不等式求解即可。
【解析】
由原题1已知该函数为一次函数，解析式为$y=(2-m)x+m-3$，其中一次项系数$2-m≠0$。
(1) 令$x=0$，得$y=m-3$，即函数与y轴的交点为$(0,m-3)$。
∵ 交点到x轴的距离为2，
∴ $|m-3|=2$，
分两种情况求解：
① $m-3=2$，解得$m=5$，此时$2-m=-3≠0$，符合要求；
② $m-3=-2$，解得$m=1$，此时$2-m=1≠0$，符合要求。
(2)
∵ 函数y随x增大而增大，
∴ 一次项系数大于0，即$2-m＞0$，
解得$m＜2$。
【答案】
(1)$m=5$或$m=1$；(2)$m＜2$
【知识点】
1. 一次函数性质 2. 绝对值方程求解 3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题型，核心考查一次函数与坐标轴交点的特征、增减性的判断规律，解题时要注意一次项系数不为0的隐含条件，避免漏验导致错解。
【难度系数】
0.7
原题2:直线$y=\frac{1}{2}x+2$与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，点C到x轴的距离为1。
(1)点B的坐标为
(2)点P为线段OA上的一动点，当PC+PB最小时，画出示意图并直接写出最小值。
(1)点B的坐标为
(0,2)
；点C的坐标为(-2,1)
。(2)点P为线段OA上的一动点，当PC+PB最小时，画出示意图并直接写出最小值。
答案
(1)点B的坐标为$(0,2)$，点C的坐标为$(-2,1)$。
(2)作点B关于$x$轴的对称点$B'$，连结$B'C$，交$x$轴于点$P$，此时$PC+PB=PC+PB'=B'C$，则$PC+PB$的值最小，因为$B(0,2)$，所以$B'(0,-2)$，所以$B'C=\sqrt{(-2-0)^2+(1+2)^2}=\sqrt{13}$，所以$PC+PB$的最小值为$\sqrt{13}$，示意图见
。解析
【分析】
(1)求直线与y轴交点B的坐标，只需令x=0代入直线解析式计算y值即可；点C到x轴的距离为1，说明点C的纵坐标为1，将y=1代入直线解析式即可求出对应的x值，得到C点坐标。
(2)本题属于x轴上动点到两定点距离和最小的最短路径问题，解题思路是利用轴对称性质，作其中一个定点关于x轴的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，根据两点之间线段最短，此时的长度就是最小值，再用勾股定理计算两点距离即可。
【解析】
(1)对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$：
求与y轴交点B时，令$x=0$，代入得$y=\frac{1}{2}×0+2=2$，故点B坐标为$(0,2)$。
点C到x轴的距离为1，即C点纵坐标$y=1$，将$y=1$代入直线解析式得：
$1=\frac{1}{2}x+2$，解得$x=-2$，故点C坐标为$(-2,1)$。
(2)作点B关于x轴的对称点$B'$，根据轴对称性质可知$PB=PB'$，因此$PC+PB=PC+PB'$。根据两点之间线段最短，当$B'$、$P$、$C$三点共线时，$PC+PB'$的值最小，最小值为线段$B'C$的长度。
由$B(0,2)$得对称点$B'(0,-2)$，结合$C(-2,1)$，根据勾股定理计算$B'C$的长度：
$B'C=\sqrt{(-2-0)^2+[1-(-2)]^2}=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，即$PC+PB$的最小值为$\sqrt{13}$。
【答案】
(1)$(0,2)$；$(-2,1)$
(2)示意图见，最小值为$\sqrt{13}$
【知识点】
一次函数点的坐标特征；轴对称最短路径；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何最值的综合基础题，既考查了一次函数图象上点的坐标求解方法，又考查了利用轴对称转化求线段和最小值的思路，解题的关键是熟练掌握轴对称最短路径的转化方法，灵活运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
(1)求直线与y轴交点B的坐标，只需令x=0代入直线解析式计算y值即可；点C到x轴的距离为1，说明点C的纵坐标为1，将y=1代入直线解析式即可求出对应的x值，得到C点坐标。
(2)本题属于x轴上动点到两定点距离和最小的最短路径问题，解题思路是利用轴对称性质，作其中一个定点关于x轴的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，根据两点之间线段最短，此时的长度就是最小值，再用勾股定理计算两点距离即可。
【解析】
(1)对于直线$y=\frac{1}{2}x+2$：
求与y轴交点B时，令$x=0$，代入得$y=\frac{1}{2}×0+2=2$，故点B坐标为$(0,2)$。
点C到x轴的距离为1，即C点纵坐标$y=1$，将$y=1$代入直线解析式得：
$1=\frac{1}{2}x+2$，解得$x=-2$，故点C坐标为$(-2,1)$。
(2)作点B关于x轴的对称点$B'$，根据轴对称性质可知$PB=PB'$，因此$PC+PB=PC+PB'$。根据两点之间线段最短，当$B'$、$P$、$C$三点共线时，$PC+PB'$的值最小，最小值为线段$B'C$的长度。
由$B(0,2)$得对称点$B'(0,-2)$，结合$C(-2,1)$，根据勾股定理计算$B'C$的长度：
$B'C=\sqrt{(-2-0)^2+[1-(-2)]^2}=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，即$PC+PB$的最小值为$\sqrt{13}$。
【答案】
(1)$(0,2)$；$(-2,1)$
(2)示意图见
，最小值为$\sqrt{13}$【知识点】
一次函数点的坐标特征；轴对称最短路径；勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何最值的综合基础题，既考查了一次函数图象上点的坐标求解方法，又考查了利用轴对称转化求线段和最小值的思路，解题的关键是熟练掌握轴对称最短路径的转化方法，灵活运用勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
变式2:请根据“原题2”的条件和结论进行解答:
(1)点C在直线AB上,求点C的坐标。
(2)点P在x轴上,
①若$S_{△ ABP}=2$,求点P的坐标;
②若$△ ABP$是等腰三角形,求点P的坐标。
(1)点C在直线AB上,求点C的坐标。
(2)点P在x轴上,
①若$S_{△ ABP}=2$,求点P的坐标;
②若$△ ABP$是等腰三角形,求点P的坐标。
答案
(1)$C(-6,-1)$或$C(-2,1)$。
(2)①$P(-2,0)$或$P(-6,0)$；
②$P(4,0)$或$P(-4+\sqrt{20},0)$或$P(-4-\sqrt{20},0)$或$P(-\frac{3}{2},0)$。
(2)①$P(-2,0)$或$P(-6,0)$；
②$P(4,0)$或$P(-4+\sqrt{20},0)$或$P(-4-\sqrt{20},0)$或$P(-\frac{3}{2},0)$。
解析
【分析】
本题是一次函数与几何结合的综合题，解题思路如下：
(1) 先利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，再根据点C在直线AB上的不同位置（线段AB上或线段AB的延长线上）分类讨论，结合对应线段的数量关系计算得到点C的坐标。
(2) ① 设点P的坐标为$(p,0)$，采用割补法将$△ ABP$的面积用含$p$的式子表示，结合面积为2的条件列方程求解，注意绝对值的正负两种情况。
② 判定等腰三角形需分三类讨论：AB为腰且A为顶点、AB为腰且B为顶点、AB为底，分别根据两腰长度相等的性质列方程求解，避免遗漏情况。
【解析】
(1) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，代入原题2中A、B两点坐标，解得直线AB的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
分两种情况讨论点C的位置：
① 当点C在线段AB的延长线上时，结合线段比例关系计算得$x=-6$，代入解析式得$y=-1$，即$C(-6,-1)$；
② 当点C在线段BA的延长线上时，结合线段比例关系计算得$x=-2$，代入解析式得$y=1$，即$C(-2,1)$。
(2) 设点P的坐标为$(p,0)$：
① 记直线AB与x轴的交点为$O'(-4,0)$，$△ ABP$的面积可拆分为$S_{△ ABP}=S_{△ AO'P}+S_{△ BO'P}$，代入A、B纵坐标绝对值之和为2，得$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×|p+4|×2=|p+4|$。
由$S_{△ ABP}=2$得$|p+4|=2$，解得$p=-2$或$p=-6$，即$P(-2,0)$或$P(-6,0)$。
② 先由A、B坐标计算得$AB^2=20$，分三种情况讨论等腰三角形：
当$AB=AP$时，$AP^2=AB^2=20$，列方程解得$p=4$，即$P(4,0)$；
当$AB=BP$时，$BP^2=AB^2=20$，列方程解得$p=-4\pm\sqrt{20}$，即$P(-4+\sqrt{20},0)$或$P(-4-\sqrt{20},0)$；
当$AP=BP$时，$AP^2=BP^2$，列方程化简解得$p=-\frac{3}{2}$，即$P(-\frac{3}{2},0)$。
【答案】
(1)$C(-6,-1)$或$C(-2,1)$。
(2)①$P(-2,0)$或$P(-6,0)$；
②$P(4,0)$或$P(-4+\sqrt{20},0)$或$P(-4-\sqrt{20},0)$或$P(-\frac{3}{2},0)$。
【知识点】
一次函数的图象与性质，三角形面积计算，等腰三角形的判定
【点评】
本题侧重考查一次函数与几何的综合应用，核心是分类讨论思想的运用，解题时需全面考虑点的所有可能位置，避免漏解，同时要熟练掌握坐标法求解图形边长、面积的方法。
【难度系数】
0.6
本题是一次函数与几何结合的综合题，解题思路如下：
(1) 先利用待定系数法求出直线AB的函数解析式，再根据点C在直线AB上的不同位置（线段AB上或线段AB的延长线上）分类讨论，结合对应线段的数量关系计算得到点C的坐标。
(2) ① 设点P的坐标为$(p,0)$，采用割补法将$△ ABP$的面积用含$p$的式子表示，结合面积为2的条件列方程求解，注意绝对值的正负两种情况。
② 判定等腰三角形需分三类讨论：AB为腰且A为顶点、AB为腰且B为顶点、AB为底，分别根据两腰长度相等的性质列方程求解，避免遗漏情况。
【解析】
(1) 设直线AB的解析式为$y=kx+b$，代入原题2中A、B两点坐标，解得直线AB的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
分两种情况讨论点C的位置：
① 当点C在线段AB的延长线上时，结合线段比例关系计算得$x=-6$，代入解析式得$y=-1$，即$C(-6,-1)$；
② 当点C在线段BA的延长线上时，结合线段比例关系计算得$x=-2$，代入解析式得$y=1$，即$C(-2,1)$。
(2) 设点P的坐标为$(p,0)$：
① 记直线AB与x轴的交点为$O'(-4,0)$，$△ ABP$的面积可拆分为$S_{△ ABP}=S_{△ AO'P}+S_{△ BO'P}$，代入A、B纵坐标绝对值之和为2，得$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×|p+4|×2=|p+4|$。
由$S_{△ ABP}=2$得$|p+4|=2$，解得$p=-2$或$p=-6$，即$P(-2,0)$或$P(-6,0)$。
② 先由A、B坐标计算得$AB^2=20$，分三种情况讨论等腰三角形：
当$AB=AP$时，$AP^2=AB^2=20$，列方程解得$p=4$，即$P(4,0)$；
当$AB=BP$时，$BP^2=AB^2=20$，列方程解得$p=-4\pm\sqrt{20}$，即$P(-4+\sqrt{20},0)$或$P(-4-\sqrt{20},0)$；
当$AP=BP$时，$AP^2=BP^2$，列方程化简解得$p=-\frac{3}{2}$，即$P(-\frac{3}{2},0)$。
【答案】
(1)$C(-6,-1)$或$C(-2,1)$。
(2)①$P(-2,0)$或$P(-6,0)$；
②$P(4,0)$或$P(-4+\sqrt{20},0)$或$P(-4-\sqrt{20},0)$或$P(-\frac{3}{2},0)$。
【知识点】
一次函数的图象与性质，三角形面积计算，等腰三角形的判定
【点评】
本题侧重考查一次函数与几何的综合应用，核心是分类讨论思想的运用，解题时需全面考虑点的所有可能位置，避免漏解，同时要熟练掌握坐标法求解图形边长、面积的方法。
【难度系数】
0.6
