登录
10. 如图14.2-20，点E在△ABC的外部，点D在BC边上。若∠1=∠2，∠E=∠C，AB=AD，则AC与AE相等吗？请说明理由。
图14.2-20
图14.2-20答案
10. 解：$AC=AE$. 理由如下：
$\because∠ADC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore∠ADC=∠1+∠B$.
又$∠ADC=∠2+∠ADE$，$∠1=∠2$，
$\therefore∠B=∠ADE$.
在$△ ABC$和$△ ADE$中，$\begin{cases} ∠C=∠E, \\ ∠B=∠ADE, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ADE$（AAS）.
$\therefore AC=AE$.
$\because∠ADC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore∠ADC=∠1+∠B$.
又$∠ADC=∠2+∠ADE$，$∠1=∠2$，
$\therefore∠B=∠ADE$.
在$△ ABC$和$△ ADE$中，$\begin{cases} ∠C=∠E, \\ ∠B=∠ADE, \\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ ADE$（AAS）.
$\therefore AC=AE$.
解析
【分析】
要判断AC与AE是否相等，可通过证明二者所在的三角形全等来推导。首先观察图形，AC在△ABC中，AE在△ADE中，已知AB=AD、∠E=∠C，还需找到一组对应角相等即可判定全等。已知∠1=∠2，可利用三角形外角性质推导∠B和∠ADE相等：∠ADC作为△ABD的外角等于∠1+∠B，同时∠ADC也等于∠2+∠ADE，结合∠1=∠2即可得∠B=∠ADE，满足AAS全等判定的条件，证得两个三角形全等后，对应边AC=AE。
【解析】
解：$AC=AE$，理由如下：
$\because ∠ADC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ADC=∠1+∠B$。
又$\because ∠ADC=∠2+∠ADE$，且$∠1=∠2$，
$\therefore ∠B=∠ADE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}∠C=∠E, \\∠B=∠ADE, \\AB=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE$（AAS），
$\therefore AC=AE$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$AC=AE$
【知识点】
三角形外角性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题核心是通过角的等量代换得到全等所需的对应角相等，再结合已知条件判定三角形全等，进而得到对应线段相等，能有效锻炼学生对全等判定条件的灵活运用能力。
【难度系数】
0.75
要判断AC与AE是否相等，可通过证明二者所在的三角形全等来推导。首先观察图形，AC在△ABC中，AE在△ADE中，已知AB=AD、∠E=∠C，还需找到一组对应角相等即可判定全等。已知∠1=∠2，可利用三角形外角性质推导∠B和∠ADE相等：∠ADC作为△ABD的外角等于∠1+∠B，同时∠ADC也等于∠2+∠ADE，结合∠1=∠2即可得∠B=∠ADE，满足AAS全等判定的条件，证得两个三角形全等后，对应边AC=AE。
【解析】
解：$AC=AE$，理由如下：
$\because ∠ADC$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠ADC=∠1+∠B$。
又$\because ∠ADC=∠2+∠ADE$，且$∠1=∠2$，
$\therefore ∠B=∠ADE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}∠C=∠E, \\∠B=∠ADE, \\AB=AD,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE$（AAS），
$\therefore AC=AE$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$AC=AE$
【知识点】
三角形外角性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题核心是通过角的等量代换得到全等所需的对应角相等，再结合已知条件判定三角形全等，进而得到对应线段相等，能有效锻炼学生对全等判定条件的灵活运用能力。
【难度系数】
0.75
11. 如图14.2-21，工人师傅要在墙壁的点O处钻孔，要使钻头从墙壁对面的点B处穿出，墙壁的厚度是35 cm，点B与点O的铅直距离AB是20 cm，工人师傅在墙壁旁边且与AO水平的直线上截取OC＝35 cm，画CD⊥OC，使CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向钻孔，最终钻头正好从点B处穿出，这是什么道理呢？请你说出理由。
图14.2-21
图14.2-21
答案
11. 解：$\because OC=35\ \mathrm{cm}$，墙壁厚$OA=35\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OC=OA$.
$\because$墙体是垂直的，
$\therefore∠OAB=90°$且$CD⊥ OC$.
$\therefore∠OAB=∠OCD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ OAB$和$\mathrm{Rt}△ OCD$中，
$\begin{cases} ∠OAB=∠OCD, \\ OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ OAB≌\mathrm{Rt}△ OCD$（ASA）.
$\therefore AB=CD$.
$\because DC=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore AB=20\ \mathrm{cm}$，
故钻头正好从点B处穿出.
$\therefore OC=OA$.
$\because$墙体是垂直的，
$\therefore∠OAB=90°$且$CD⊥ OC$.
$\therefore∠OAB=∠OCD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ OAB$和$\mathrm{Rt}△ OCD$中，
$\begin{cases} ∠OAB=∠OCD, \\ OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ OAB≌\mathrm{Rt}△ OCD$（ASA）.
$\therefore AB=CD$.
$\because DC=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore AB=20\ \mathrm{cm}$，
故钻头正好从点B处穿出.
解析
【分析】
要解释沿DO方向钻孔可从B处穿出的原理，我们可以通过证明△OAB和△OCD全等来验证位置的一致性。思考时先梳理已知条件：首先墙壁厚度OA和截取的OC长度均为35cm，可得OA=OC；其次墙体垂直，因此∠OAB是直角，又CD⊥OC，所以∠OCD也为直角，两个直角相等；最后∠AOB和∠COD是对顶角，二者也相等。上述三组相等条件符合角边角（ASA）的全等判定规则，可证明两个三角形全等，全等后对应边AB=CD，正好与已知AB=20cm的条件吻合，即可说明钻孔位置正确。
【解析】
$\because OC=35\ \mathrm{cm}$，墙壁厚$OA=35\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OC=OA$.
$\because$墙体是垂直的，
$\therefore∠OAB=90°$且$CD⊥ OC$，
$\therefore∠OAB=∠OCD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ OAB$和$\mathrm{Rt}△ OCD$中，
$\begin{cases} ∠OAB=∠OCD, \\ OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ OAB≌\mathrm{Rt}△ OCD$（ASA）.
$\therefore AB=CD$.
$\because DC=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore AB=20\ \mathrm{cm}$，与点B、O的铅直距离条件一致，因此钻头正好从点B处穿出。
【答案】
$\mathrm{Rt}△ OAB$和$\mathrm{Rt}△ OCD$满足ASA全等判定条件，二者全等，对应边$AB=CD=20\ \mathrm{cm}$，符合点B的位置要求，故沿DO方向钻孔正好从B处穿出。
【知识点】
ASA判定三角形全等，全等三角形的性质，对顶角相等
【点评】
本题结合实际施工场景考查全等三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形模型，准确找到对应相等的边和角，利用判定定理证明全等后即可解决问题。
【难度系数】
0.7
要解释沿DO方向钻孔可从B处穿出的原理，我们可以通过证明△OAB和△OCD全等来验证位置的一致性。思考时先梳理已知条件：首先墙壁厚度OA和截取的OC长度均为35cm，可得OA=OC；其次墙体垂直，因此∠OAB是直角，又CD⊥OC，所以∠OCD也为直角，两个直角相等；最后∠AOB和∠COD是对顶角，二者也相等。上述三组相等条件符合角边角（ASA）的全等判定规则，可证明两个三角形全等，全等后对应边AB=CD，正好与已知AB=20cm的条件吻合，即可说明钻孔位置正确。
【解析】
$\because OC=35\ \mathrm{cm}$，墙壁厚$OA=35\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OC=OA$.
$\because$墙体是垂直的，
$\therefore∠OAB=90°$且$CD⊥ OC$，
$\therefore∠OAB=∠OCD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ OAB$和$\mathrm{Rt}△ OCD$中，
$\begin{cases} ∠OAB=∠OCD, \\ OA=OC, \\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ OAB≌\mathrm{Rt}△ OCD$（ASA）.
$\therefore AB=CD$.
$\because DC=20\ \mathrm{cm}$，$\therefore AB=20\ \mathrm{cm}$，与点B、O的铅直距离条件一致，因此钻头正好从点B处穿出。
【答案】
$\mathrm{Rt}△ OAB$和$\mathrm{Rt}△ OCD$满足ASA全等判定条件，二者全等，对应边$AB=CD=20\ \mathrm{cm}$，符合点B的位置要求，故沿DO方向钻孔正好从B处穿出。
【知识点】
ASA判定三角形全等，全等三角形的性质，对顶角相等
【点评】
本题结合实际施工场景考查全等三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出全等三角形模型，准确找到对应相等的边和角，利用判定定理证明全等后即可解决问题。
【难度系数】
0.7
