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4. 如图14.2-15，已知$MB=ND$，$∠ M=∠ N$，$BM// DN$，则下列结论正确的是（
A.$AM=DN$
B.$BM=CN$
C.$AC=CD$
D.$AM// CN$
图14.2-15
图14.2-16
图14.2-17
D
）.A.$AM=DN$
B.$BM=CN$
C.$AC=CD$
D.$AM// CN$
图14.2-15
图14.2-16
图14.2-17
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先结合已知的平行条件，利用平行线的性质得到相等的角，再结合题目给出的角相等、边相等的条件，判断可证明△ABM和△CDN全等，最后利用全等三角形的性质逐一分析各个选项，结合平行线的判定得出正确结论。
【解析】
解：
∵BM//DN，
∴∠MBA=∠NDC（两直线平行，同位角相等）。
在△ABM和△CDN中：
$\{\begin{array}{l}∠ M=∠ N \\MB=ND \\∠ MBA=∠ NDC\end{array} $
∴△ABM≌△CDN（ASA）。
对各选项逐一判断：
A. 由全等得对应边AM=CN，而非AM=DN，故A错误；
B. 已知MB=ND，全等无法推出BM=CN，故B错误；
C. 由全等得对应边AB=CD，可推出AB+BC=CD+BC即AC=BD，无法推出AC=CD，故C错误；
D. 由全等得对应角∠A=∠NCD，根据“同位角相等，两直线平行”可得AM//CN，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 全等三角形的判定（ASA）
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线的综合基础题，解题的核心是先通过平行线性质得到全等所需的等角条件，证明三角形全等后，再利用全等的性质推导角的关系，进而判断直线的位置关系，是全等章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知的平行条件，利用平行线的性质得到相等的角，再结合题目给出的角相等、边相等的条件，判断可证明△ABM和△CDN全等，最后利用全等三角形的性质逐一分析各个选项，结合平行线的判定得出正确结论。
【解析】
解：
∵BM//DN，
∴∠MBA=∠NDC（两直线平行，同位角相等）。
在△ABM和△CDN中：
$\{\begin{array}{l}∠ M=∠ N \\MB=ND \\∠ MBA=∠ NDC\end{array} $
∴△ABM≌△CDN（ASA）。
对各选项逐一判断：
A. 由全等得对应边AM=CN，而非AM=DN，故A错误；
B. 已知MB=ND，全等无法推出BM=CN，故B错误；
C. 由全等得对应边AB=CD，可推出AB+BC=CD+BC即AC=BD，无法推出AC=CD，故C错误；
D. 由全等得对应角∠A=∠NCD，根据“同位角相等，两直线平行”可得AM//CN，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 全等三角形的判定（ASA）
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与平行线的综合基础题，解题的核心是先通过平行线性质得到全等所需的等角条件，证明三角形全等后，再利用全等的性质推导角的关系，进而判断直线的位置关系，是全等章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图14.2-16，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠1=∠2。如果根据“AAS”直接判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是
∠B=∠E
。答案
5. $∠B=∠E$
解析
【分析】
首先回忆三角形全等的“AAS”判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。先梳理题目已给条件：已知AC=DF，∠1=∠2（即△ABC的∠ACB和△DEF的∠DFE相等）。现有条件为一组边相等、一组角相等，要满足“AAS”，还需补充另一组角相等，且需注意不能补充两角夹边对应的角（否则会符合“ASA”判定），已知相等边AC、DF分别是∠B、∠E的对边，因此补充∠B=∠E即可满足“AAS”的判定要求。
【解析】
要根据“AAS”判定△ABC≌△DEF，需满足两角分别相等且一组等角的对边相等：
1. 整理已知条件：$AC=DF$，$∠1=∠2$，即$∠ACB=∠DFE$；
2. 若补充$∠B=∠E$，则在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l} ∠B=∠E \\ ∠ACB=∠DFE \\ AC=DF \end{array} $
完全符合“AAS”的判定条件，可直接判定△ABC≌△DEF。
【答案】
$∠B=∠E$
【知识点】
AAS判定三角形全等、全等三角形判定条件
【点评】
本题重点考查对全等三角形“AAS”判定定理的掌握，解题时要注意区分“AAS”和“ASA”的差异，避免混淆两类判定的对应条件，是对全等判定基础应用的考查。
【难度系数】
0.8
首先回忆三角形全等的“AAS”判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。先梳理题目已给条件：已知AC=DF，∠1=∠2（即△ABC的∠ACB和△DEF的∠DFE相等）。现有条件为一组边相等、一组角相等，要满足“AAS”，还需补充另一组角相等，且需注意不能补充两角夹边对应的角（否则会符合“ASA”判定），已知相等边AC、DF分别是∠B、∠E的对边，因此补充∠B=∠E即可满足“AAS”的判定要求。
【解析】
要根据“AAS”判定△ABC≌△DEF，需满足两角分别相等且一组等角的对边相等：
1. 整理已知条件：$AC=DF$，$∠1=∠2$，即$∠ACB=∠DFE$；
2. 若补充$∠B=∠E$，则在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l} ∠B=∠E \\ ∠ACB=∠DFE \\ AC=DF \end{array} $
完全符合“AAS”的判定条件，可直接判定△ABC≌△DEF。
【答案】
$∠B=∠E$
【知识点】
AAS判定三角形全等、全等三角形判定条件
【点评】
本题重点考查对全等三角形“AAS”判定定理的掌握，解题时要注意区分“AAS”和“ASA”的差异，避免混淆两类判定的对应条件，是对全等判定基础应用的考查。
【难度系数】
0.8
6. 如图14.2-17，小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成三片，为了配一块与原来完全一样的玻璃，他选了其中的一片带到玻璃店，小明选
③
（填序号）号玻璃碎片到玻璃店才能配出与打碎前完全一样的玻璃，依据是ASA
。答案
6. ③ ASA
解析
【分析】
要配出和原来完全一样的三角形玻璃，本质是构造与原三角形全等的三角形，需结合三角形全等的判定定理，分析三块碎片保留的原三角形边角元素是否满足全等判定条件。首先回忆全等三角形的判定规则，逐一分析：①号碎片仅保留1个角和部分边，不满足全等判定要求；②号碎片仅保留部分边，无完整边角组合，也无法判定全等；③号碎片保留了原三角形两个完整内角，以及两角的夹边，正好符合ASA的判定条件，能确定唯一的全等三角形，因此选③。
【解析】
配完全相同的玻璃即构造与原三角形全等的三角形，结合全等判定条件分析三块碎片：
1. ①号碎片仅保留原三角形的1个内角和部分边，没有完整的边角组合，无法确定唯一的全等三角形，不可选；
2. ②号碎片仅保留原三角形的部分边，无完整的内角信息，不满足全等判定条件，不可选；
3. ③号碎片保留了原三角形的两个完整内角，以及这两个内角的夹边，根据“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”，可以确定唯一的和原三角形全等的三角形，因此选③，依据为ASA。
【答案】
③；ASA
【知识点】
全等三角形判定；ASA定理
【点评】
本题是全等三角形判定的实际应用基础题，解题核心是将实际问题转化为全等三角形判定问题，结合碎片的边角信息即可求解，能有效考查学生对基础判定定理的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
要配出和原来完全一样的三角形玻璃，本质是构造与原三角形全等的三角形，需结合三角形全等的判定定理，分析三块碎片保留的原三角形边角元素是否满足全等判定条件。首先回忆全等三角形的判定规则，逐一分析：①号碎片仅保留1个角和部分边，不满足全等判定要求；②号碎片仅保留部分边，无完整边角组合，也无法判定全等；③号碎片保留了原三角形两个完整内角，以及两角的夹边，正好符合ASA的判定条件，能确定唯一的全等三角形，因此选③。
【解析】
配完全相同的玻璃即构造与原三角形全等的三角形，结合全等判定条件分析三块碎片：
1. ①号碎片仅保留原三角形的1个内角和部分边，没有完整的边角组合，无法确定唯一的全等三角形，不可选；
2. ②号碎片仅保留原三角形的部分边，无完整的内角信息，不满足全等判定条件，不可选；
3. ③号碎片保留了原三角形的两个完整内角，以及这两个内角的夹边，根据“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”，可以确定唯一的和原三角形全等的三角形，因此选③，依据为ASA。
【答案】
③；ASA
【知识点】
全等三角形判定；ASA定理
【点评】
本题是全等三角形判定的实际应用基础题，解题核心是将实际问题转化为全等三角形判定问题，结合碎片的边角信息即可求解，能有效考查学生对基础判定定理的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
7. 如图14.2-18，点C在线段BD上，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E. 求证AC=DC.
图14.2-18
图14.2-18
答案
7. 证明：在$△ ABC$和$△ DEC$中，$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AB=DE, \\ ∠B=∠E, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ DEC$（ASA）.
$\therefore AC=DC$.
$\therefore△ ABC≌△ DEC$（ASA）.
$\therefore AC=DC$.
解析
【分析】
要证明线段AC=DC，观察图形可知两条线段分别属于△ABC和△DEC，因此只需证明这两个三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质即可得到结论。题目已知两个三角形的两组对应角∠A=∠D、∠B=∠E相等，且两组角的夹边AB=DE，完全符合角边角（ASA）的全等判定条件，按规范书写全等证明过程即可。
【解析】
证明：在$△ ABC$和$△ DEC$中，
$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AB=DE, \\ ∠B=∠E, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ DEC$（ASA），
$\therefore AC=DC$。
【答案】
通过上述证明可得$AC=DC$。
【知识点】
ASA判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，找准对应角、对应边即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明线段AC=DC，观察图形可知两条线段分别属于△ABC和△DEC，因此只需证明这两个三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质即可得到结论。题目已知两个三角形的两组对应角∠A=∠D、∠B=∠E相等，且两组角的夹边AB=DE，完全符合角边角（ASA）的全等判定条件，按规范书写全等证明过程即可。
【解析】
证明：在$△ ABC$和$△ DEC$中，
$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AB=DE, \\ ∠B=∠E, \end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ DEC$（ASA），
$\therefore AC=DC$。
【答案】
通过上述证明可得$AC=DC$。
【知识点】
ASA判定三角形全等，全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，找准对应角、对应边即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 在平面直角坐标系中有点$A(0,2)$和点$B(-1,0)$，以点$A$为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形$ABC$，则点$C$的坐标为
(-2, 3)
。答案
8. $(-2,\ 3)$
解析
【分析】
要确定第二象限内等腰直角三角形顶点C的坐标，首先根据等腰直角三角形的性质，可知AB=AC、∠BAC=90°。我们可以通过作辅助线构造全等三角形求解：过点C作CD垂直y轴于点D，结合直角的性质推导得到相等的角，证明△CDA和△AOB全等，再利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知点的坐标计算C的横、纵坐标。
【解析】
过点C作$CD⊥ y$轴于点D，则$∠ CDA=90°=∠ AOB$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ CAD + ∠ OAB = 90°$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ OAB + ∠ ABO = 90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ CAD=∠ ABO$。
在$△ CDA$和$△ AOB$中：
$\begin{cases}∠ CDA=∠ AOB \\∠ CAD=∠ ABO \\AC=BA\end{cases}$
$\therefore △ CDA≌△ AOB(\mathrm{AAS})$。
已知$A(0,2)$，$B(-1,0)$，则$OA=2$，$OB=1$。
由全等三角形对应边相等，得$CD=OA=2$，$AD=OB=1$，因此$OD=OA+AD=2+1=3$。
$\because$点C在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，
$\therefore$点C的横坐标为$-CD=-2$，纵坐标为$OD=3$，即$C(-2,3)$。
【答案】
$(-2,3)$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何全等的结合题型，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，将点的坐标转化为线段长度计算，同时要注意所在象限的坐标符号特征，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
要确定第二象限内等腰直角三角形顶点C的坐标，首先根据等腰直角三角形的性质，可知AB=AC、∠BAC=90°。我们可以通过作辅助线构造全等三角形求解：过点C作CD垂直y轴于点D，结合直角的性质推导得到相等的角，证明△CDA和△AOB全等，再利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知点的坐标计算C的横、纵坐标。
【解析】
过点C作$CD⊥ y$轴于点D，则$∠ CDA=90°=∠ AOB$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ CAD + ∠ OAB = 90°$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ OAB + ∠ ABO = 90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ CAD=∠ ABO$。
在$△ CDA$和$△ AOB$中：
$\begin{cases}∠ CDA=∠ AOB \\∠ CAD=∠ ABO \\AC=BA\end{cases}$
$\therefore △ CDA≌△ AOB(\mathrm{AAS})$。
已知$A(0,2)$，$B(-1,0)$，则$OA=2$，$OB=1$。
由全等三角形对应边相等，得$CD=OA=2$，$AD=OB=1$，因此$OD=OA+AD=2+1=3$。
$\because$点C在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，
$\therefore$点C的横坐标为$-CD=-2$，纵坐标为$OD=3$，即$C(-2,3)$。
【答案】
$(-2,3)$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何全等的结合题型，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，将点的坐标转化为线段长度计算，同时要注意所在象限的坐标符号特征，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
9. 如图14.2-19，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE=BF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF。
（1）求证△ACE≌△BDF；
（2）若AB=11，AC=3，求CD的长。
（1）求证△ACE≌△BDF；
（2）若AB=11，AC=3，求CD的长。
答案
9. （1）证明：在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\begin{cases} ∠ACE=∠BDF, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BF, \end{cases}$
$\therefore△ ACE≌△ BDF$（AAS）.
（2）解：$\because△ ACE≌△ BDF$，
$\therefore AC=BD=3$.
$\because AB=11$，
$\therefore CD=AB-AC-BD=11-3-3=5$.
$\begin{cases} ∠ACE=∠BDF, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BF, \end{cases}$
$\therefore△ ACE≌△ BDF$（AAS）.
（2）解：$\because△ ACE≌△ BDF$，
$\therefore AC=BD=3$.
$\because AB=11$，
$\therefore CD=AB-AC-BD=11-3-3=5$.
解析
【分析】
（1）要证明△ACE≌△BDF，先回忆全等三角形的判定定理，题目已给出三组对应相等的量：∠ACE=∠BDF，∠A=∠B，AE=BF，这三组条件符合“两角及其中一角的对边对应相等（AAS）”的判定依据，可直接证明全等。
（2）求CD的长度，首先利用全等三角形对应边相等的性质，得到AC=BD，已知AC的长度即可得到BD的长度，再结合线段AB的总长度，用AB减去AC和BD的长度，就能算出CD的长。
【解析】
（1）证明：在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\begin{cases} ∠ACE=∠BDF, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BF, \end{cases}$
$\therefore△ ACE≌△ BDF$（AAS）。
（2）解：$\because△ ACE≌△ BDF$，
$\therefore AC=BD$，
已知$AC=3$，$\therefore BD=3$，
又$\because AB=11$，
$\therefore CD=AB-AC-BD=11-3-3=5$。
【答案】
（1）$△ ACE≌△ BDF$，证明成立；
（2）$CD$的长为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的基础应用，题干直接给出了证明全等所需的全部条件，第一问只需对应判定定理即可求证，第二问结合全等性质和线段和差关系就能快速计算出结果，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△ACE≌△BDF，先回忆全等三角形的判定定理，题目已给出三组对应相等的量：∠ACE=∠BDF，∠A=∠B，AE=BF，这三组条件符合“两角及其中一角的对边对应相等（AAS）”的判定依据，可直接证明全等。
（2）求CD的长度，首先利用全等三角形对应边相等的性质，得到AC=BD，已知AC的长度即可得到BD的长度，再结合线段AB的总长度，用AB减去AC和BD的长度，就能算出CD的长。
【解析】
（1）证明：在$△ ACE$和$△ BDF$中，
$\begin{cases} ∠ACE=∠BDF, \\ ∠A=∠B, \\ AE=BF, \end{cases}$
$\therefore△ ACE≌△ BDF$（AAS）。
（2）解：$\because△ ACE≌△ BDF$，
$\therefore AC=BD$，
已知$AC=3$，$\therefore BD=3$，
又$\because AB=11$，
$\therefore CD=AB-AC-BD=11-3-3=5$。
【答案】
（1）$△ ACE≌△ BDF$，证明成立；
（2）$CD$的长为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的基础应用，题干直接给出了证明全等所需的全部条件，第一问只需对应判定定理即可求证，第二问结合全等性质和线段和差关系就能快速计算出结果，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
