登录
5. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强 p kPa 是气球体积 V m³的反比例函数，其图象如图所示.
（1）写出这个函数的表达式.
（2）当气球体积为0.8 m³时，气球内气体的压强是多少千帕？
（3）当气球内气体的压强大于144 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应满足什么条件？
（1）写出这个函数的表达式.
（2）当气球体积为0.8 m³时，气球内气体的压强是多少千帕？
（3）当气球内气体的压强大于144 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应满足什么条件？
答案
(1) $p=\frac{96}{V}$ (2) 120 (3) $V≥ \frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 求反比例函数表达式：已知p是V的反比例函数，先设出反比例函数的一般形式$ p=\frac{k}{V}(k≠0, V＞0) $，将图像上已知点A的坐标代入即可求出k的值，得到函数表达式；
2. 求指定体积对应的压强：将$ V=0.8 $代入第一步求出的函数表达式，直接计算即可得到对应的压强p；
3. 求安全的体积范围：根据题意，安全状态下$ p≤144\mathrm{kPa} $，将函数表达式代入该不等式，结合体积V为正数的实际意义解不等式，即可得到体积的取值范围。
【解析】
（1）设该反比例函数的表达式为$ p=\frac{k}{V}(k≠0, V＞0) $，
将点$ A(1.5, 64) $代入表达式得：$ 64=\frac{k}{1.5} $，
解得$ k=1.5×64=96 $，
因此函数表达式为$ p=\frac{96}{V}(V＞0) $。
（2）将$ V=0.8 $代入$ p=\frac{96}{V} $得：
$ p=\frac{96}{0.8}=120 $，
即此时气球内气体的压强是120kPa。
（3）根据题意，为了安全，气球内气体压强需满足$ p≤144 $，
代入函数表达式得$ \frac{96}{V}≤144 $，
由于气球体积$ V＞0 $，不等式两边同时乘V，不等号方向不变，得：
$ 96≤144V $，
两边同时除以144得：$ V≥\frac{96}{144}=\frac{2}{3} $，
即气球的体积应不小于$ \frac{2}{3}\mathrm{m}^3 $。
【答案】
(1) $ p=\frac{96}{V} $
(2) 120 kPa
(3) $ V≥ \frac{2}{3}\mathrm{m}^3 $
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，分式不等式求解
【点评】
本题以气球压强和体积的关系为背景，考查反比例函数的相关知识，解题的关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，再结合实际意义求解对应的函数值和自变量的取值范围，需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 求反比例函数表达式：已知p是V的反比例函数，先设出反比例函数的一般形式$ p=\frac{k}{V}(k≠0, V＞0) $，将图像上已知点A的坐标代入即可求出k的值，得到函数表达式；
2. 求指定体积对应的压强：将$ V=0.8 $代入第一步求出的函数表达式，直接计算即可得到对应的压强p；
3. 求安全的体积范围：根据题意，安全状态下$ p≤144\mathrm{kPa} $，将函数表达式代入该不等式，结合体积V为正数的实际意义解不等式，即可得到体积的取值范围。
【解析】
（1）设该反比例函数的表达式为$ p=\frac{k}{V}(k≠0, V＞0) $，
将点$ A(1.5, 64) $代入表达式得：$ 64=\frac{k}{1.5} $，
解得$ k=1.5×64=96 $，
因此函数表达式为$ p=\frac{96}{V}(V＞0) $。
（2）将$ V=0.8 $代入$ p=\frac{96}{V} $得：
$ p=\frac{96}{0.8}=120 $，
即此时气球内气体的压强是120kPa。
（3）根据题意，为了安全，气球内气体压强需满足$ p≤144 $，
代入函数表达式得$ \frac{96}{V}≤144 $，
由于气球体积$ V＞0 $，不等式两边同时乘V，不等号方向不变，得：
$ 96≤144V $，
两边同时除以144得：$ V≥\frac{96}{144}=\frac{2}{3} $，
即气球的体积应不小于$ \frac{2}{3}\mathrm{m}^3 $。
【答案】
(1) $ p=\frac{96}{V} $
(2) 120 kPa
(3) $ V≥ \frac{2}{3}\mathrm{m}^3 $
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，分式不等式求解
【点评】
本题以气球压强和体积的关系为背景，考查反比例函数的相关知识，解题的关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，再结合实际意义求解对应的函数值和自变量的取值范围，需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.8
6. 如图,一次函数 $y=kx+b$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象相交于 $A(2,3),B(-3,n)$ 两点.
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式.
(2) 根据所给条件,直接写出不等式 $kx+b＞\frac{m}{x}$ 的解集:
(3) 过点 $B$ 作 $BC⊥ x$ 轴,垂足为 $C$,求 $△ ABC$ 的面积.
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式.
(2) 根据所给条件,直接写出不等式 $kx+b＞\frac{m}{x}$ 的解集:
$x＞2$或$-3＜x＜0$
.(3) 过点 $B$ 作 $BC⊥ x$ 轴,垂足为 $C$,求 $△ ABC$ 的面积.
答案
(1) $y=\frac{6}{x}$，$y=x+1$ (2) $x＞2$或$-3＜x＜0$ (3) $S_{△ ABC}=5$
解析
【分析】
(1) 先求解反比例函数表达式：已知反比例函数过点A(2,3)，将点坐标代入反比例函数解析式即可求出参数m，得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数，求出n的值，得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k和b，即可得到一次函数表达式。
(2) 不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两个函数的交点坐标，分x＞0和x＜0两个区间观察图象即可得到解集。
(3) 先确定点C的坐标，BC垂直x轴，故C的横坐标与B相同，纵坐标为0；以BC为底，BC的长度为B、C两点纵坐标差的绝对值，高为点A到直线BC的水平距离，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 求函数表达式：
① 将点A(2,3)代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$3=\frac{m}{2}$，解得$m=6$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
② 将点B(-3,n)代入$y=\frac{6}{x}$，得：
$n=\frac{6}{-3}=-2$，即B点坐标为$(-3,-2)$。
③ 将A(2,3)、B(-3,-2)代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=3 \\ -3k+b=-2 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$5k=5$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$2k+b=3$，得$2×1 +b=3$，解得$b=1$，
∴ 一次函数的表达式为$y=x+1$。
(2) 观察图象可知：
当$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方；
当$-3＜x＜0$时，一次函数图象也在反比例函数图象上方，
∴ 不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集为$x＞2$或$-3＜x＜0$。
(3) 求$△ ABC$的面积：
∵ $BC⊥ x$轴，B点坐标为$(-3,-2)$，
∴ 点C的坐标为$(-3,0)$，$BC$的长度为$|0 - (-2)|=2$，
点A到直线BC（直线$x=-3$）的水平距离为$2 - (-3)=5$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC ×$水平距离$=\frac{1}{2}×2×5=5$。
【答案】
(1) 反比例函数：$y=\frac{6}{x}$，一次函数：$y=x+1$
(2) $x＞2$或$-3＜x＜0$
(3) $S_{△ ABC}=5$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数不等式图象解法，坐标系图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，学会结合图象分析不等式解集，计算坐标系内图形面积时可利用坐标特点简化运算。
【难度系数】
0.7
(1) 先求解反比例函数表达式：已知反比例函数过点A(2,3)，将点坐标代入反比例函数解析式即可求出参数m，得到反比例函数表达式；再将点B的横坐标代入反比例函数，求出n的值，得到点B的完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出k和b，即可得到一次函数表达式。
(2) 不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两个函数的交点坐标，分x＞0和x＜0两个区间观察图象即可得到解集。
(3) 先确定点C的坐标，BC垂直x轴，故C的横坐标与B相同，纵坐标为0；以BC为底，BC的长度为B、C两点纵坐标差的绝对值，高为点A到直线BC的水平距离，利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 求函数表达式：
① 将点A(2,3)代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得：
$3=\frac{m}{2}$，解得$m=6$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
② 将点B(-3,n)代入$y=\frac{6}{x}$，得：
$n=\frac{6}{-3}=-2$，即B点坐标为$(-3,-2)$。
③ 将A(2,3)、B(-3,-2)代入一次函数$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}2k+b=3 \\ -3k+b=-2 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$5k=5$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$2k+b=3$，得$2×1 +b=3$，解得$b=1$，
∴ 一次函数的表达式为$y=x+1$。
(2) 观察图象可知：
当$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数图象上方；
当$-3＜x＜0$时，一次函数图象也在反比例函数图象上方，
∴ 不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集为$x＞2$或$-3＜x＜0$。
(3) 求$△ ABC$的面积：
∵ $BC⊥ x$轴，B点坐标为$(-3,-2)$，
∴ 点C的坐标为$(-3,0)$，$BC$的长度为$|0 - (-2)|=2$，
点A到直线BC（直线$x=-3$）的水平距离为$2 - (-3)=5$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC ×$水平距离$=\frac{1}{2}×2×5=5$。
【答案】
(1) 反比例函数：$y=\frac{6}{x}$，一次函数：$y=x+1$
(2) $x＞2$或$-3＜x＜0$
(3) $S_{△ ABC}=5$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数不等式图象解法，坐标系图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，学会结合图象分析不等式解集，计算坐标系内图形面积时可利用坐标特点简化运算。
【难度系数】
0.7
7. 某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为$18°\mathrm{C}$的条件下生长最快的新品种.如图是某天该恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度$y\ °\mathrm{C}$随时间$x\ \mathrm{h}$变化的函数图象，其中$BC$段是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象的一部分.根据图中信息，解答下列问题：
（1）该恒温系统在这天保持大棚内温度为$18°\mathrm{C}$的时间有多少小时？
（2）求$k$的值.
（3）当$x=16$时，大棚内的温度约为多少摄氏度？
（1）该恒温系统在这天保持大棚内温度为$18°\mathrm{C}$的时间有多少小时？
（2）求$k$的值.
（3）当$x=16$时，大棚内的温度约为多少摄氏度？
答案
(1) 10 h (2) 216 (3) 13.5 ℃
解析
【分析】
解题前先明确图像各段的含义：0~2h是升温阶段，2~12h是恒温阶段，12h后是降温的反比例函数阶段。
（1）求恒温时长，只需用恒温结束的时间减去恒温开始的时间即可；
（2）求反比例函数的$k$值，只需将反比例函数图像上已知点$B$的坐标代入解析式$y=\frac{k}{x}$计算；
（3）求$x=16$时的大棚温度，把$x=16$代入已求出的反比例函数解析式，计算对应$y$值即可。
【解析】
（1）由图像可得，恒温从$x=2\ \mathrm{h}$开始，到$x=12\ \mathrm{h}$结束，
因此恒温时长为：$12-2=10\ \mathrm{h}$。
（2）点$B$的坐标为$(12,18)$，且$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上，
将$x=12$，$y=18$代入解析式得：
$18=\frac{k}{12}$，
解得$k=18×12=216$。
（3）由（2）可知$BC$段的函数解析式为$y=\frac{216}{x}\ (x≥12)$，
当$x=16$时，代入得：
$y=\frac{216}{16}=13.5$，
即此时大棚内温度为$13.5\ \mathrm{℃}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{10\ \mathrm{h}}$ （2）$\boldsymbol{216}$ （3）$\boldsymbol{13.5\ \mathrm{℃}}$
【知识点】
函数图像识别、反比例函数解析式求解、反比例函数实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数应用题，解题核心是从图像中提取有效坐标信息，结合反比例函数性质计算，只要掌握函数图像读解方法和反比例函数基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题前先明确图像各段的含义：0~2h是升温阶段，2~12h是恒温阶段，12h后是降温的反比例函数阶段。
（1）求恒温时长，只需用恒温结束的时间减去恒温开始的时间即可；
（2）求反比例函数的$k$值，只需将反比例函数图像上已知点$B$的坐标代入解析式$y=\frac{k}{x}$计算；
（3）求$x=16$时的大棚温度，把$x=16$代入已求出的反比例函数解析式，计算对应$y$值即可。
【解析】
（1）由图像可得，恒温从$x=2\ \mathrm{h}$开始，到$x=12\ \mathrm{h}$结束，
因此恒温时长为：$12-2=10\ \mathrm{h}$。
（2）点$B$的坐标为$(12,18)$，且$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上，
将$x=12$，$y=18$代入解析式得：
$18=\frac{k}{12}$，
解得$k=18×12=216$。
（3）由（2）可知$BC$段的函数解析式为$y=\frac{216}{x}\ (x≥12)$，
当$x=16$时，代入得：
$y=\frac{216}{16}=13.5$，
即此时大棚内温度为$13.5\ \mathrm{℃}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{10\ \mathrm{h}}$ （2）$\boldsymbol{216}$ （3）$\boldsymbol{13.5\ \mathrm{℃}}$
【知识点】
函数图像识别、反比例函数解析式求解、反比例函数实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数应用题，解题核心是从图像中提取有效坐标信息，结合反比例函数性质计算，只要掌握函数图像读解方法和反比例函数基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
