8. 已知矩形A的长、宽分别是2和1，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是矩形A的周长和面积的2倍？
小明从“图形”的角度，利用函数图象解决了上述问题。小明论证的过程开始是这样的：如果用x，y分别表示矩形B的长和宽，那么矩形B满足$x+y=6$，$xy=4$。在如图所示的平面直角坐标系中，画出矩形B满足的两个函数表达式的图象，并按照小明的论证思路完成后面的论证过程。

由$x+y=6$或$xy=4$,得$y=-x+6$,$y=\frac{4}{x}$,其中$x＞0$. 在平面直角坐标系中画出函数图象(略),观察两个图象是否有交点

【分析】
要判断是否存在满足条件的矩形B，首先结合矩形周长、面积的倍数关系，列出矩形B的长x、宽y满足的等量关系，再将等量关系转化为对应的函数表达式。由于长和宽均为正数，只要两个函数在第一象限内存在交点，就说明存在符合条件的正实数x、y，即存在矩形B。解题时先整理两个函数式，再绘制图象观察交点情况即可。
【解析】
1. 计算矩形A的周长和面积：
矩形A的周长为$2×(2+1)=6$，面积为$2×1=2$，因此矩形B的周长为$6×2=12$，面积为$2×2=4$。
2. 设矩形B的长为$x$，宽为$y$（$x＞0$，$y＞0$），根据矩形周长、面积公式可得：
周长关系：$2(x+y)=12$，化简得$x+y=6$，变形为一次函数表达式：$\boldsymbol{y=-x+6}$；
面积关系：$xy=4$，变形为反比例函数表达式：$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$。
3. 在平面直角坐标系第一象限内分别绘制两个函数的图象：一次函数$y=-x+6$是过点$(0,6)$、$(6,0)$的直线，反比例函数$y=\frac{4}{x}$是位于第一象限的曲线。观察图象可知两个函数在第一象限内存在交点，说明存在正实数$x$、$y$同时满足两个关系式，即存在符合条件的矩形B。
【答案】
由$x+y=6$得$y=-x+6$，由$xy=4$得$y=\frac{4}{x}$（$x＞0$），在平面直角坐标系中画出两个函数的图象（略），观察可知两个图象在第一象限内存在交点，因此存在这样的矩形B。
【知识点】
矩形周长与面积计算、一次函数的图象、反比例函数的图象
【点评】
本题将代数方程求解问题转化为函数图象交点判断问题，渗透了数形结合的思想，能直观判断符合条件的解是否存在，需要熟练掌握函数与方程的转化方法。
【难度系数】
0.7

9. (1) 关于反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的性质，下列描述正确的有 （填所有描述正确的选项）。
A. y 随 x 的增大而减小
B. 图象关于原点成中心对称
C. 图象关于一次函数 $y=x$ 的图象成轴对称
D. 把反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象绕原点按逆时针方向旋转 $90°$ 可以得到反比例函数 $y=-\frac{6}{x}$ 的图象
(2) 如图，直线 AB，CD 经过原点且与反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象分别交于点 A，B，C，D，点 A，C 的横坐标分别为 $m$，$n(m＞n＞0)$，连接 AC，CB，BD，DA。
① 判断四边形 ACBD 的形状，并说明理由。
② 当 $m$，$n$ 满足怎样的数量关系时，四边形 ACBD 是矩形？请直接写出结论。
③ 已知点 A 的横坐标 $m=3$，四边形 ACBD 的面积为 $S$，求 $S$ 关于 $n$ 的函数表达式。

[第9(2)题]

(1) BCD (2) ① 四边形ACBD是平行四边形 理由:根据反比例函数图象的对称性可知,经过原点的正比例函数图象与反比例函数图象的交点关于原点对称,所以$OA=OB$,$OC=OD$,所以四边形ACBD是平行四边形. ② $mn=6$. ③ $S=\frac{36}{n}-4n$. 理由:如图,分别过点C,A做x,y轴的平行线交于点G,当m=3时,点A坐标为(3,2),根据题意得,点C坐标为$(n,\frac{6}{n})$,点G坐标为$(3,\frac{6}{n})$ 由①可得 $S_{□ ACBD}=4S_{△ AOC}=4(S_{矩形OEGF}-S_{△ AOE}-S_{△ COF}-S_{△ ACG})=4× [ 3× \frac{6}{n}-3-3-\frac{1}{2}× (3-n)× (\frac{6}{n}-2)]=\frac{36}{n}-4n$

【分析】
(1) 逐一分析反比例函数性质相关选项：先明确反比例函数增减性的适用范围，再判断对称性、旋转后的解析式是否正确。
(2) ① 利用反比例函数关于原点中心对称的性质，得到对角线的数量关系，结合平行四边形判定定理推导四边形形状；② 平行四边形要成为矩形，需对角线相等，据此列等式推导m、n的数量关系；③ 先求出A点坐标，再利用割补法计算△AOC的面积，结合平行四边形面积是4倍△AOC面积，推导得到S与n的函数表达式。
【解析】
(1) 对各选项判断如下：
A选项：$y=\frac{6}{x}$中$k=6＞0$，仅在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，跨象限不满足该性质，故A错误；
B选项：反比例函数图象均关于原点成中心对称，故B正确；
C选项：反比例函数图象关于直线$y=x$、$y=-x$均成轴对称，故C正确；
D选项：将$y=\frac{6}{x}$上任意点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°得$(-y,x)$，代入原解析式得$x=\frac{6}{-y}$，即$y=-\frac{6}{x}$，故D正确。
因此(1)选BCD。
(2) ① 因为反比例函数图象关于原点中心对称，过原点的直线与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，因此$OA=OB$，$OC=OD$。根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形ACBD是平行四边形。
② 平行四边形为矩形时需对角线相等，即$AB=CD$，因此$OA=OC$。由坐标得$OA^2=m^2+(\frac{6}{m})^2$，$OC^2=n^2+(\frac{6}{n})^2$，整理等式得$m^2n^2=36$，因$m＞n＞0$，故$mn=6$。
③ 当$m=3$时，$A(3,2)$，$C(n,\frac{6}{n})$。平行四边形ACBD的面积为$4S_{△ AOC}$，用割补法计算：
过A作x轴垂线、过C作y轴垂线交于G，$S_{矩形OEGF}=3×\frac{6}{n}=\frac{18}{n}$，$S_{△ AOE}=3$，$S_{△ COF}=3$，$S_{△ ACG}=\frac{1}{2}(3-n)(\frac{6}{n}-2)$，因此
$S_{△ AOC}=\frac{18}{n}-3-3-\frac{1}{2}(3-n)(\frac{6}{n}-2)=\frac{9}{n}-n$
则$S=4S_{△ AOC}=\frac{36}{n}-4n$。
【答案】
(1) $\boxed{BCD}$
(2) ① 四边形ACBD是平行四边形，理由：根据反比例函数图象的对称性可知，经过原点的正比例函数图象与反比例函数图象的交点关于原点对称，所以$OA=OB$，$OC=OD$，所以四边形ACBD是平行四边形。
② $\boxed{mn=6}$
③ $\boxed{S=\frac{36}{n}-4n}$，理由：如图，分别过点C,A做x,y轴的平行线交于点G，当m=3时，点A坐标为(3,2)，根据题意得，点C坐标为$(n,\frac{6}{n})$，点G坐标为$(3,\frac{6}{n})$ 由①可得 $S_{□ ACBD}=4S_{△ AOC}=4(S_{矩形OEGF}-S_{△ AOE}-S_{△ COF}-S_{△ ACG})=4× [ 3× \frac{6}{n}-3-3-\frac{1}{2}× (3-n)× (\frac{6}{n}-2)]=\frac{36}{n}-4n$
【知识点】
反比例函数的性质；平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，既考查了反比例函数的对称性、几何意义等核心知识，也考查了特殊四边形的判定方法，解题时要注意坐标法、割补法的灵活运用，是函数结合几何的典型考法。
【难度系数】
0.6