登录
3.甲、乙两人在环形跑道上同时同地出发，同向跑步，甲的速度为7 m/s，乙的速度为6.5 m/s.若跑道一周的长为400 m，设经过x s后甲、乙两人第一次相遇，则列方程为 。
答案
$\boldsymbol{7x - 6.5x = 400}$
解析
【分析】
这是环形跑道同向追及类的行程问题，解题时首先要明确：同时同地同向出发的两人，第一次相遇时，速度快的人比速度慢的人正好多跑1圈的路程。接下来我们先分别表示出x秒后甲、乙两人跑的路程，再根据“甲跑的路程 - 乙跑的路程 = 跑道一周的长度”这个等量关系列方程即可。
【解析】
经过x秒后，根据路程=速度×时间，可得甲跑的路程为7x m，乙跑的路程为6.5x m。
已知两人同时同地同向出发，第一次相遇时甲比乙多跑了1圈（即400m），因此可列方程：
$7x - 6.5x = 400$
【答案】
$7x - 6.5x = 400$
【知识点】
一元一次方程应用，环形追及问题，路程公式
【点评】
本题属于行程问题的基础题型，解题核心是抓住环形同向追及第一次相遇的路程差等于跑道周长这一关键等量关系，熟练掌握路程、速度、时间三者的关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
这是环形跑道同向追及类的行程问题，解题时首先要明确：同时同地同向出发的两人，第一次相遇时，速度快的人比速度慢的人正好多跑1圈的路程。接下来我们先分别表示出x秒后甲、乙两人跑的路程，再根据“甲跑的路程 - 乙跑的路程 = 跑道一周的长度”这个等量关系列方程即可。
【解析】
经过x秒后，根据路程=速度×时间，可得甲跑的路程为7x m，乙跑的路程为6.5x m。
已知两人同时同地同向出发，第一次相遇时甲比乙多跑了1圈（即400m），因此可列方程：
$7x - 6.5x = 400$
【答案】
$7x - 6.5x = 400$
【知识点】
一元一次方程应用，环形追及问题，路程公式
【点评】
本题属于行程问题的基础题型，解题核心是抓住环形同向追及第一次相遇的路程差等于跑道周长这一关键等量关系，熟练掌握路程、速度、时间三者的关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
4.甲、乙两人环湖竞走，环湖一周为 400 m，乙的速度是 80 m/min，甲的速度是乙的$\frac{5}{4}$倍，且竞走开始时甲在乙前 100 m 处，经过多少分钟两人第一次相遇？
答案
解：甲的速度为：$80×\frac{5}{4}=100\ \mathrm{m/min}$
设经过$x$分钟两人第一次相遇。
根据题意列方程：
$100x - 80x = 400 - 100$
合并同类项，得：
$20x = 300$
系数化为1，得：
$x=15$
答：经过15分钟两人第一次相遇。
设经过$x$分钟两人第一次相遇。
根据题意列方程：
$100x - 80x = 400 - 100$
合并同类项，得：
$20x = 300$
系数化为1，得：
$x=15$
答：经过15分钟两人第一次相遇。
解析
【分析】
解题时首先计算甲的速度，明确本题为同向追及类行程问题。已知甲速度大于乙，初始时甲在乙前方100m，环湖一周为400m，因此甲第一次追上乙时，需要比乙多走的路程为环湖总长度减去甲领先的100m，即300m。接下来我们设相遇时间为未知数，根据“路程差=速度差×追及时间”的等量关系列一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
首先计算甲的速度：
甲的速度为$80×\frac{5}{4}=100\ \mathrm{m/min}$
设经过$x$分钟两人第一次相遇。
根据追及过程的路程差等量关系列方程：
$100x - 80x = 400 - 100$
合并同类项，得：
$20x = 300$
系数化为1，得：
$x=15$
答：经过15分钟两人第一次相遇。
【答案】
经过15分钟两人第一次相遇
【知识点】
一元一次方程应用，追及行程问题，路程公式应用
【点评】
本题属于常见的环湖行程类题型，解题关键是准确梳理追及过程中的路程差，结合行程问题的基本数量关系列方程求解即可，需注意初始位置对路程差的影响，避免错把路程差当成100m。
【难度系数】
0.7
解题时首先计算甲的速度，明确本题为同向追及类行程问题。已知甲速度大于乙，初始时甲在乙前方100m，环湖一周为400m，因此甲第一次追上乙时，需要比乙多走的路程为环湖总长度减去甲领先的100m，即300m。接下来我们设相遇时间为未知数，根据“路程差=速度差×追及时间”的等量关系列一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
首先计算甲的速度：
甲的速度为$80×\frac{5}{4}=100\ \mathrm{m/min}$
设经过$x$分钟两人第一次相遇。
根据追及过程的路程差等量关系列方程：
$100x - 80x = 400 - 100$
合并同类项，得：
$20x = 300$
系数化为1，得：
$x=15$
答：经过15分钟两人第一次相遇。
【答案】
经过15分钟两人第一次相遇
【知识点】
一元一次方程应用，追及行程问题，路程公式应用
【点评】
本题属于常见的环湖行程类题型，解题关键是准确梳理追及过程中的路程差，结合行程问题的基本数量关系列方程求解即可，需注意初始位置对路程差的影响，避免错把路程差当成100m。
【难度系数】
0.7
5.沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河—洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2 h，逆流航行全程需3 h，已知水流速度为每小时3 km，求沿河、洪渡古镇两码头之间的航程。若设沿河、洪渡古镇两码头之间的航程为x km，则所列方程为().
A.$\frac{x}{2} + 3 = \frac{x}{3}$
B.$\frac{x}{2} = \frac{x}{3} + 9$
C.$\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{3} + 3$
D.$\frac{x}{2} + 3 = \frac{x}{3} - 3$
A.$\frac{x}{2} + 3 = \frac{x}{3}$
B.$\frac{x}{2} = \frac{x}{3} + 9$
C.$\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{3} + 3$
D.$\frac{x}{2} + 3 = \frac{x}{3} - 3$
答案
C
解析
【分析】
这是一道流水行船类的行程问题，解题的核心是抓住“游艇在静水中的速度不变”这个等量关系。首先要明确流水行船的速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，变形可得静水速度=顺流速度-水流速度=逆流速度+水流速度。接下来根据题目给出的航程、航行时间分别表示出顺流速度和逆流速度，再结合静水速度相等的等量关系就能列出方程。
【解析】
首先明确流水行船的基本速度关系：
1. 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，可推出：静水速度 = 顺流速度 - 水流速度
2. 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度，可推出：静水速度 = 逆流速度 + 水流速度
已知两码头之间的航程为x km，顺流航行全程需2h，因此顺流速度为$\frac{x}{2}$ km/h，结合水流速度为3km/h，可得静水速度为$(\frac{x}{2} - 3)$ km/h；
逆流航行全程需3h，因此逆流速度为$\frac{x}{3}$ km/h，可得静水速度为$(\frac{x}{3} + 3)$ km/h；
由于游艇在静水中的速度是固定的，因此可列方程：
$\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{3} + 3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用、流水行船问题、行程基本公式
【点评】
本题是行程问题中的典型题型，解题的关键是找准静水速度不变这一核心等量关系，熟练掌握顺流、逆流速度与静水速度、水流速度的转换关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
这是一道流水行船类的行程问题，解题的核心是抓住“游艇在静水中的速度不变”这个等量关系。首先要明确流水行船的速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，变形可得静水速度=顺流速度-水流速度=逆流速度+水流速度。接下来根据题目给出的航程、航行时间分别表示出顺流速度和逆流速度，再结合静水速度相等的等量关系就能列出方程。
【解析】
首先明确流水行船的基本速度关系：
1. 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度，可推出：静水速度 = 顺流速度 - 水流速度
2. 逆流速度 = 静水速度 - 水流速度，可推出：静水速度 = 逆流速度 + 水流速度
已知两码头之间的航程为x km，顺流航行全程需2h，因此顺流速度为$\frac{x}{2}$ km/h，结合水流速度为3km/h，可得静水速度为$(\frac{x}{2} - 3)$ km/h；
逆流航行全程需3h，因此逆流速度为$\frac{x}{3}$ km/h，可得静水速度为$(\frac{x}{3} + 3)$ km/h；
由于游艇在静水中的速度是固定的，因此可列方程：
$\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{3} + 3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用、流水行船问题、行程基本公式
【点评】
本题是行程问题中的典型题型，解题的关键是找准静水速度不变这一核心等量关系，熟练掌握顺流、逆流速度与静水速度、水流速度的转换关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
6.我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了这样一道题:今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.其大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,快马几天可追上慢马?若设快马x天可追上慢马,由题意得().
A.$\frac{x}{240}=\frac{x+12}{150}$
B.$\frac{x}{240}=\frac{x}{150}-12$
C.$240(x-12)=150x$
D.$240x=150(x+12)$
A.$\frac{x}{240}=\frac{x+12}{150}$
B.$\frac{x}{240}=\frac{x}{150}-12$
C.$240(x-12)=150x$
D.$240x=150(x+12)$
答案
D
解析
【分析】
这是一道行程类的追及问题，解题核心是找到追及状态下的等量关系：快马追上慢马时，两匹马行驶的总路程相等。思考步骤如下：第一步先确定两匹马各自的行驶时间，已知设快马x天追上慢马，快马的行驶时间就是x天；慢马先行12天，所以慢马一共行驶的时间是(x+12)天。第二步根据“路程=速度×时间”分别表示出两匹马的总路程，再根据路程相等列出方程即可匹配选项。
【解析】
解：追及问题中，快马追上慢马时，两马行驶的总路程相等。
设快马x天可追上慢马：
① 快马的行驶路程：速度×时间 = $240 × x = 240x$（里）
② 慢马先行12天，总行驶时间为$(x+12)$天，慢马的行驶路程：$150 × (x+12) = 150(x+12)$（里）
③ 根据路程相等列等式：$240x = 150(x+12)$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用；行程追及问题
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查行程追及问题的方程应用，解题关键是准确找到追及时的等量关系，注意不要遗漏慢马先行的时间，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的追及问题，解题核心是找到追及状态下的等量关系：快马追上慢马时，两匹马行驶的总路程相等。思考步骤如下：第一步先确定两匹马各自的行驶时间，已知设快马x天追上慢马，快马的行驶时间就是x天；慢马先行12天，所以慢马一共行驶的时间是(x+12)天。第二步根据“路程=速度×时间”分别表示出两匹马的总路程，再根据路程相等列出方程即可匹配选项。
【解析】
解：追及问题中，快马追上慢马时，两马行驶的总路程相等。
设快马x天可追上慢马：
① 快马的行驶路程：速度×时间 = $240 × x = 240x$（里）
② 慢马先行12天，总行驶时间为$(x+12)$天，慢马的行驶路程：$150 × (x+12) = 150(x+12)$（里）
③ 根据路程相等列等式：$240x = 150(x+12)$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用；行程追及问题
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查行程追及问题的方程应用，解题关键是准确找到追及时的等量关系，注意不要遗漏慢马先行的时间，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
7. 甲、乙两地相距 480 km，A，B 两车分别从甲、乙两地开出，A 车每小时行驶 72 km，B 车每小时行驶 48 km.
(1)若两车同时相向而行，则两车出发后几小时相遇？
(2)若 A，B 两车同向而行，B 车在前，A 车在后，A 车先行 2 h，B 车出发几小时后两车相距 24 km？
(1)若两车同时相向而行，则两车出发后几小时相遇？
(2)若 A，B 两车同向而行，B 车在前，A 车在后，A 车先行 2 h，B 车出发几小时后两车相距 24 km？
答案
解：
(1)设两车出发后x小时相遇。
根据题意，列方程得：
$(72 + 48)x = 480$
解得：$x = 4$
(2)设B车出发y小时后两车相距24 km。
分两种情况：
① A车未追上B车，两车相距24 km，根据题意列方程得：
$72×2 + 72y + 24 = 480 + 48y$
解得：$y = 13$
② A车追上并超过B车后，两车相距24 km，根据题意列方程得：
$72×2 + 72y = 480 + 48y + 24$
解得：$y = 15$
答：(1)两车出发后4小时相遇；(2)B车出发13小时或15小时后两车相距24 km。
(1)设两车出发后x小时相遇。
根据题意，列方程得：
$(72 + 48)x = 480$
解得：$x = 4$
(2)设B车出发y小时后两车相距24 km。
分两种情况：
① A车未追上B车，两车相距24 km，根据题意列方程得：
$72×2 + 72y + 24 = 480 + 48y$
解得：$y = 13$
② A车追上并超过B车后，两车相距24 km，根据题意列方程得：
$72×2 + 72y = 480 + 48y + 24$
解得：$y = 15$
答：(1)两车出发后4小时相遇；(2)B车出发13小时或15小时后两车相距24 km。
解析
【分析】
(1) 第一问是相向而行的相遇问题，核心等量关系为相遇时两车行驶的路程之和等于甲乙两地总距离。我们设相遇时间为未知数，用速度和乘相遇时间表示总路程，列一元一次方程即可求解。
(2) 第二问是同向追及问题，A车先行2小时，两车相距24km存在两种情况：①A车未追上B车，此时A车行驶总路程加24km等于初始两地距离加B车行驶路程；②A车追上B车后超出24km，此时A车行驶总路程等于初始两地距离加B车行驶路程再加24km。针对两种情况分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设两车出发后x小时相遇。
根据题意列方程：
$(72 + 48)x = 480$
化简得$120x=480$，解得$x=4$。
(2) 设B车出发y小时后两车相距24 km，分两种情况讨论：
① A车未追上B车，两车相距24 km，列方程：
$72×2 + 72y + 24 = 480 + 48y$
化简得$168+72y=480+48y$，移项计算得$24y=312$，解得$y=13$。
② A车追上并超过B车后，两车相距24 km，列方程：
$72×2 + 72y = 480 + 48y + 24$
化简得$144+72y=504+48y$，移项计算得$24y=360$，解得$y=15$。
【答案】
(1) 两车出发后4小时相遇；(2) B车出发13小时或15小时后两车相距24 km。
【知识点】
一元一次方程应用；相遇问题；追及问题
【点评】
本题属于典型的行程类应用题，解题关键是找准不同运动场景下的路程等量关系，第二问需要注意“相距24km”包含未追上和超过两种情况，能有效考察分类讨论的思维习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问是相向而行的相遇问题，核心等量关系为相遇时两车行驶的路程之和等于甲乙两地总距离。我们设相遇时间为未知数，用速度和乘相遇时间表示总路程，列一元一次方程即可求解。
(2) 第二问是同向追及问题，A车先行2小时，两车相距24km存在两种情况：①A车未追上B车，此时A车行驶总路程加24km等于初始两地距离加B车行驶路程；②A车追上B车后超出24km，此时A车行驶总路程等于初始两地距离加B车行驶路程再加24km。针对两种情况分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设两车出发后x小时相遇。
根据题意列方程：
$(72 + 48)x = 480$
化简得$120x=480$，解得$x=4$。
(2) 设B车出发y小时后两车相距24 km，分两种情况讨论：
① A车未追上B车，两车相距24 km，列方程：
$72×2 + 72y + 24 = 480 + 48y$
化简得$168+72y=480+48y$，移项计算得$24y=312$，解得$y=13$。
② A车追上并超过B车后，两车相距24 km，列方程：
$72×2 + 72y = 480 + 48y + 24$
化简得$144+72y=504+48y$，移项计算得$24y=360$，解得$y=15$。
【答案】
(1) 两车出发后4小时相遇；(2) B车出发13小时或15小时后两车相距24 km。
【知识点】
一元一次方程应用；相遇问题；追及问题
【点评】
本题属于典型的行程类应用题，解题关键是找准不同运动场景下的路程等量关系，第二问需要注意“相距24km”包含未追上和超过两种情况，能有效考察分类讨论的思维习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8.(运算能力、应用意识)甲、乙两人沿一条400 m长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8 min后甲第一次追上乙.
(1)甲、乙两人跑步的速度分别为多少？
(2)若甲、乙两人从6:00一起出发，同时背向而行，则第五次相遇是几时几分？
(1)甲、乙两人跑步的速度分别为多少？
(2)若甲、乙两人从6:00一起出发，同时背向而行，则第五次相遇是几时几分？
答案
解：
(1) 设乙跑步的速度为$ x \, \mathrm{m/min} $，则甲跑步的速度为$ 1.5x \, \mathrm{m/min} $。
根据同向追及第一次相遇时甲比乙多跑1圈（400m），列方程：
$ 8 × 1.5x - 8x = 400 $
$ 12x - 8x = 400 $
$ 4x = 400 $
解得：$ x = 100 $
甲的速度为：$ 1.5 × 100 = 150 \, \mathrm{m/min} $
(2) 设两人背向而行，第五次相遇用时$ t \, \mathrm{min} $。
第五次相遇时两人总路程和为$ 5 × 400 = 2000 \, \mathrm{m} $，列方程：
$ (150 + 100)t = 2000 $
$ 250t = 2000 $
解得：$ t = 8 $
6时加上8分钟为6时08分。
答：(1)甲跑步的速度为150 m/min，乙跑步的速度为100 m/min；(2)第五次相遇是6时08分。
(1) 设乙跑步的速度为$ x \, \mathrm{m/min} $，则甲跑步的速度为$ 1.5x \, \mathrm{m/min} $。
根据同向追及第一次相遇时甲比乙多跑1圈（400m），列方程：
$ 8 × 1.5x - 8x = 400 $
$ 12x - 8x = 400 $
$ 4x = 400 $
解得：$ x = 100 $
甲的速度为：$ 1.5 × 100 = 150 \, \mathrm{m/min} $
(2) 设两人背向而行，第五次相遇用时$ t \, \mathrm{min} $。
第五次相遇时两人总路程和为$ 5 × 400 = 2000 \, \mathrm{m} $，列方程：
$ (150 + 100)t = 2000 $
$ 250t = 2000 $
解得：$ t = 8 $
6时加上8分钟为6时08分。
答：(1)甲跑步的速度为150 m/min，乙跑步的速度为100 m/min；(2)第五次相遇是6时08分。
解析
【分析】
(1) 环形跑道同向出发时，快者第一次追上慢者的核心规律是快者比慢者多跑1圈的长度。我们先设乙的速度为x m/min，根据甲速度是乙的1.5倍可表示出甲的速度，再结合“8 min后甲第一次追上乙”的路程差条件列一元一次方程，求解即可得到两人的速度。
(2) 环形跑道背向而行时，每相遇一次两人的路程和为1圈的长度，第五次相遇时总路程和为5倍跑道长度。设相遇总时长为t min，根据“速度和×相遇时间=总路程和”列方程求出t，再叠加出发时间即可得到相遇时刻。
【解析】
(1) 设乙跑步的速度为$ x \, \mathrm{m/min} $，则甲跑步的速度为$ 1.5x \, \mathrm{m/min} $。
同向追及第一次相遇时甲比乙多跑1圈（400m），据此列方程：
$ 8 × 1.5x - 8x = 400 $
化简得：$ 12x - 8x = 400 $
合并同类项得：$ 4x = 400 $
解得：$ x = 100 $
则甲的速度为：$ 1.5 × 100 = 150 \, \mathrm{m/min} $
(2) 设两人背向而行第五次相遇用时$ t \, \mathrm{min} $。
第五次相遇时两人总路程和为$ 5 × 400 = 2000 \, \mathrm{m} $，据此列方程：
$ (150 + 100)t = 2000 $
化简得：$ 250t = 2000 $
解得：$ t = 8 $
6时加上8分钟为6时08分。
【答案】
(1) 甲跑步的速度为150 m/min，乙跑步的速度为100 m/min；
(2) 第五次相遇是6时08分。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 环形跑道追及问题
3. 环形跑道相遇问题
【点评】
本题结合环形跑道的实际运动场景设题，重点考查行程问题中追及、相遇的核心等量关系，要求学生能将实际问题转化为数学方程求解，有效锻炼运算能力和实际应用意识。
【难度系数】
0.7
(1) 环形跑道同向出发时，快者第一次追上慢者的核心规律是快者比慢者多跑1圈的长度。我们先设乙的速度为x m/min，根据甲速度是乙的1.5倍可表示出甲的速度，再结合“8 min后甲第一次追上乙”的路程差条件列一元一次方程，求解即可得到两人的速度。
(2) 环形跑道背向而行时，每相遇一次两人的路程和为1圈的长度，第五次相遇时总路程和为5倍跑道长度。设相遇总时长为t min，根据“速度和×相遇时间=总路程和”列方程求出t，再叠加出发时间即可得到相遇时刻。
【解析】
(1) 设乙跑步的速度为$ x \, \mathrm{m/min} $，则甲跑步的速度为$ 1.5x \, \mathrm{m/min} $。
同向追及第一次相遇时甲比乙多跑1圈（400m），据此列方程：
$ 8 × 1.5x - 8x = 400 $
化简得：$ 12x - 8x = 400 $
合并同类项得：$ 4x = 400 $
解得：$ x = 100 $
则甲的速度为：$ 1.5 × 100 = 150 \, \mathrm{m/min} $
(2) 设两人背向而行第五次相遇用时$ t \, \mathrm{min} $。
第五次相遇时两人总路程和为$ 5 × 400 = 2000 \, \mathrm{m} $，据此列方程：
$ (150 + 100)t = 2000 $
化简得：$ 250t = 2000 $
解得：$ t = 8 $
6时加上8分钟为6时08分。
【答案】
(1) 甲跑步的速度为150 m/min，乙跑步的速度为100 m/min；
(2) 第五次相遇是6时08分。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 环形跑道追及问题
3. 环形跑道相遇问题
【点评】
本题结合环形跑道的实际运动场景设题，重点考查行程问题中追及、相遇的核心等量关系，要求学生能将实际问题转化为数学方程求解，有效锻炼运算能力和实际应用意识。
【难度系数】
0.7
