1. 若$△ ABC ∽ △ DEF$，且相似比是$\frac{2}{3}$，则它们对应高的比是（）。

A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{9}{4}$

1.B

【分析】
拿到题目后，首先明确已知条件是两个三角形相似且给出了相似比，要求对应高的比。我们需要先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比，明确这一性质后，直接对应已知的相似比即可得到结果，解题时注意不要和相似三角形的面积比（相似比的平方）混淆。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比。
已知$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$\frac{2}{3}$，因此二者对应高的比等于相似比$\frac{2}{3}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对相似三角形对应线段与相似比关系的掌握，只要牢记相关性质就能快速解答，解题时注意区分对应线段比和面积比的差异，避免混淆性质失分。
【难度系数】
0.9

2. 如图 3-4-1,用放大镜看$△ ABC$,若边 BC 的长变为原来的 2 倍,那么下列说法不正确的是()。


A.BC边上的中线的长也变为原来的2倍
B.$∠ A$的平分线的长也变为原来的2倍
C.AC边上的高也变为原来的2倍
D.$∠ BAC$的度数也变为原来的2倍

2.D

【分析】
用放大镜观察三角形的过程属于相似变换，得到的新三角形与原△ABC相似，相似比为2:1。解题时先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应中线、对应角平分线、对应高的比都等于相似比，对应角大小保持相等。再逐一验证各选项的说法是否符合上述性质，就能找到错误选项。
【解析】
用放大镜放大△ABC后，所得新三角形与原△ABC相似，且相似比为2:1。
根据相似三角形的性质：
1. 相似三角形的对应中线、对应角平分线、对应高的比均等于相似比，因此BC边上的中线、∠A的平分线、AC边上的高的长度都变为原来的2倍，A、B、C选项的说法正确；
2. 相似三角形的对应角相等，因此∠BAC的度数和原角度数相等，不会变为原来的2倍，D选项的说法错误。
题目要求选择不正确的选项，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似变换，相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似变换的本质和相似三角形的性质，需注意相似变换只改变图形的边长等线段长度，不会改变角的大小，易错点是误以为角的大小也会随放大操作成比例变化。
【难度系数】
0.8

3. 下列结论不一定成立的是()。

A.相似三角形对应中线的比等于相似比
B.两个等边三角形的角平分线之比等于边之比
C.相似三角形的高之比等于相似比
D.两个等腰直角三角形的相似比等于底边上的中线之比

3.C

【分析】
解题时首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，注意性质的前提是线段为对应线段。接下来逐个分析选项，判断每个选项是否满足性质的前提条件，同时注意等边三角形、等腰直角三角形属于固定相似的特殊三角形，它们的同类线段均为对应线段。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A. 相似三角形对应中线的比等于相似比，是相似三角形的基本性质，明确标注“对应中线”，结论一定成立，不符合题意；
B. 所有等边三角形都相似，角平分线属于对应线段，因此两个等边三角形的角平分线之比等于边长之比（即相似比），结论一定成立，不符合题意；
C. 相似三角形的高之比等于相似比的前提是高为对应边上的高，选项未说明是对应高，因此结论不一定成立，符合题意；
D. 所有等腰直角三角形都相似，底边上的中线属于对应线段，因此两个等腰直角三角形的相似比等于底边上的中线之比，结论一定成立，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质，特殊三角形的相似性
【点评】
本题是相似三角形性质的典型易错题，易错点在于忽略性质中“对应”的前提要求，解题时要注意区分是否明确为对应线段，同时牢记等边三角形、等腰直角三角形都属于全局相似的特殊三角形，同类线段的比都等于相似比。
【难度系数】
0.6

4. 如图 3-4-2，电灯 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影长为 CD，AB//CD，AB=2 m，CD=5 m，点 P 到 CD 的距离是 3 m，则点 P 到 AB 的距离是 m。


图 3-4-2
图 3-4-3

4.$\frac{6}{5}$

【分析】
首先由AB平行于CD，可判定△PAB与△PCD相似，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于对应边的相似比。本题中点P到AB的距离、点P到CD的距离就是这两个相似三角形的对应高，已知AB、CD的长度和点P到CD的距离，设未知距离为x，列比例式即可求解。
【解析】
设点P到AB的距离为$ x \, \mathrm{m} $。
因为$ AB // CD $，所以$ △ PAB ∽ △ PCD $。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{\mathrm{点P到AB的距离}}{\mathrm{点P到CD的距离}} = \frac{AB}{CD}$
代入已知数据$ AB=2\,\mathrm{m} $，$ CD=5\,\mathrm{m} $，点P到CD的距离为$ 3\,\mathrm{m} $，得：
$\frac{x}{3} = \frac{2}{5}$
解得：$ x = \frac{6}{5} $。
【答案】
$\frac{6}{5}$
【知识点】
平行线判定相似三角形；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题的关键是根据平行条件得到相似三角形，准确找到对应高和对应边的比例关系，代入数据计算即可。
【难度系数】
0.8

5. 如图3-4-3，在平行四边形ABCD中，M为AB边上一点，AC，DM交于点N，PQ经过点N，且分别交AB，CD于点P，Q。若$\frac{QN}{PN}=\frac{7}{5}$，则$\frac{AM}{AB}=$。

5.$\frac{5}{7}$

【分析】
解题时先利用平行四边形对边平行的性质，找到两组相似三角形：首先由AB//CD可证△MPN∽△DQN，将已知的$\frac{QN}{PN}=\frac{7}{5}$转化为$\frac{MN}{DN}=\frac{5}{7}$；再证△AMN∽△CDN，得到$\frac{AM}{CD}=\frac{MN}{DN}$，最后结合平行四边形对边相等AB=CD，即可求出$\frac{AM}{AB}$的比值。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵AB//CD，
∴∠MPN=∠DQN，∠PMN=∠QDN，
∴△MPN∽△DQN，
∴$\frac{MN}{DN}=\frac{PN}{QN}$。
已知$\frac{QN}{PN}=\frac{7}{5}$，则$\frac{PN}{QN}=\frac{5}{7}$，即$\frac{MN}{DN}=\frac{5}{7}$。
又
∵AB//CD，
∴∠MAN=∠DCN，∠AMN=∠CDN，
∴△AMN∽△CDN，
∴$\frac{AM}{CD}=\frac{MN}{DN}=\frac{5}{7}$。
∵CD=AB，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形的综合应用题，解题核心是通过平行线找到对应相似三角形，借助中间比例$\frac{MN}{DN}$关联已知条件和待求结论，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

6. 如图 3-4-4，$△ ABC ∽ △ DEF$，相似比为 $k$，$∠ BAM=\dfrac{1}{4}∠ BAC$，$∠ EDN=\dfrac{1}{4}∠ EDF$，求证：$\dfrac{AM}{DN}=k$。

图 3-4-4

6. 证明:$\because △ABC∽ △DEF$,相似比为$k$,
$\therefore ∠BAC=∠EDF,∠B=∠E,\frac{AB}{DE}=k$。
$\because ∠BAM=\frac{1}{4}∠BAC,∠EDN=\frac{1}{4}∠EDF$,
$\therefore ∠BAM=∠EDN,\therefore △ABM∽ △DEN$,
$\therefore \frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}=k$。

【分析】
要证明$\frac{AM}{DN}=k$，可通过证明线段AM、DN所在的三角形相似，结合相似三角形对应边成比例的性质推导结论。首先利用已知的$△ ABC ∽ △ DEF$，得到对应角相等、对应边的比为相似比$k$；再根据$∠ BAM$、$∠ EDN$分别为对应顶角的$\frac{1}{4}$，推导出$∠ BAM=∠ EDN$；最后结合两个三角形中已有的$∠ B=∠ E$，用两角分别相等的判定定理证明$△ ABM ∽ △ DEN$，即可得到对应边的比值等于相似比$k$。
【解析】
证明：$\because △ ABC ∽ △ DEF$，相似比为$k$，
$\therefore ∠ BAC=∠ EDF$，$∠ B=∠ E$，$\frac{AB}{DE}=k$。
$\because ∠ BAM=\frac{1}{4}∠ BAC$，$∠ EDN=\frac{1}{4}∠ EDF$，
$\therefore ∠ BAM=∠ EDN$，
$\therefore △ ABM ∽ △ DEN$，
$\therefore \frac{AM}{DN}=\frac{AB}{DE}=k$。
【答案】
证明过程如上，$\frac{AM}{DN}=k$得证。
【知识点】
相似三角形的性质，相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定与性质的基础应用题型，解题核心是从已知的相似关系出发，推导得到小三角形的等角条件，进而证明小三角形相似，从而得到对应线段的比例关系，解题思路清晰，只要熟练掌握相似相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7. 如图 3-4-5，在$△ ABC$中，AD 是高，$EF // BC$，EF 分别交 AB，AC，AD 于点 E，F，G，$\frac{AG}{GD}=\frac{3}{2}$，求$\frac{EF}{BC}$的值。

7. 解:$\because EF// BC,\therefore ∠AEF=∠B,∠AFE=∠C$,
$\therefore △AEF∽ △ABC,\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AD}=\frac{EF}{BC}$。
$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AG+GD}=\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5}$,
$\therefore \frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{3}{5}$。

【分析】
解题思路如下：第一步，看到EF平行于BC，可通过两直线平行同位角相等，判定△AEF与△ABC相似；第二步，AD是△ABC的高，EF平行BC，因此AG是△AEF的高，根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，即$\frac{EF}{BC}=\frac{AG}{AD}$；第三步，已知$\frac{AG}{GD}=\frac{3}{2}$，可推出AG与AD的比值，代入即可得到$\frac{EF}{BC}$的值。
【解析】
解：$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ B$，$∠ AFE=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{AG}{AD}$。
$\because \frac{AG}{GD}=\frac{3}{2}$，$AD=AG+GD$，
$\therefore \frac{AG}{AD}=\frac{AG}{AG+GD}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}$，
$\therefore \frac{EF}{BC}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题关键是先利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形对应高的比等于相似比的性质求解线段比值，熟练掌握相似的相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8