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8. 如图 3-3-16,已知矩形 ABCD 的边长 $AB=3\ \mathrm{cm},BC=6\ \mathrm{cm}$。某一时刻,动点 M 从点 A 出发沿 AB 方向以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 B 运动,同时动点 N 从点 D 出发沿 DA 方向以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 A 匀速运动。设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$,以 A,M,N 为顶点的三角形能与 $△ ACD$ 相似? 若能,求出 $t$ 的值;若不能,说明理由。
图 3-3-16
图 3-3-16
答案
解:能。由已知得 $AM=t,NA=6-2t$。
由$△ ACD$ 和$△ NAM$ 相似,得$\dfrac{t}{6-2t}=\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{t}{6-2t}=2$,
解得 $t=\dfrac{3}{2}$ 或 $t=\dfrac{12}{5}$。
经检验,$t=\dfrac{3}{2}$ 或 $t=\dfrac{12}{5}$符合题意,
故经过$\dfrac{3}{2}$ s 和$\dfrac{12}{5}$ s 时,以 A,M,N 为顶点的三角形与$△ ACD$ 相似。
由$△ ACD$ 和$△ NAM$ 相似,得$\dfrac{t}{6-2t}=\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{t}{6-2t}=2$,
解得 $t=\dfrac{3}{2}$ 或 $t=\dfrac{12}{5}$。
经检验,$t=\dfrac{3}{2}$ 或 $t=\dfrac{12}{5}$符合题意,
故经过$\dfrac{3}{2}$ s 和$\dfrac{12}{5}$ s 时,以 A,M,N 为顶点的三角形与$△ ACD$ 相似。
解析
【分析】
本题属于动点背景下的相似三角形存在性问题，解题思路如下：首先，矩形的内角均为直角，可得△ACD和△AMN都是直角三角形，直角对应相等，因此相似需分两种对应边成比例的情况讨论；其次，先根据动点的速度和运动时间，用含t的代数式表示出AM、AN的长度；再结合△ACD的两条直角边的长度，分两种相似的对应情况列比例式求解；最后检验所求t是否符合运动的取值范围，确定最终结果。
【解析】
能，求解过程如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$CD=AB=3\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ D=∠ MAN=90°$。
运动$t\ \mathrm{s}$时，动点M的路程$AM=1× t = t\ \mathrm{cm}$，动点N的路程$DN=2× t=2t\ \mathrm{cm}$，
∴$AN=AD-DN=(6-2t)\ \mathrm{cm}$。
∵$∠ D=∠ MAN=90°$，以A、M、N为顶点的三角形与$△ ACD$相似时分两种情况：
① 当$\frac{AM}{CD}=\frac{AN}{AD}$时，$\frac{t}{3}=\frac{6-2t}{6}$，化简得$\frac{t}{6-2t}=\frac{1}{2}$，
解得：$t=\frac{3}{2}$；
② 当$\frac{AM}{AD}=\frac{AN}{CD}$时，$\frac{t}{6}=\frac{6-2t}{3}$，化简得$\frac{t}{6-2t}=2$，
解得：$t=\frac{12}{5}$。
检验：$t=\frac{3}{2}$和$t=\frac{12}{5}$均满足$0＜t≤3$（符合M未到达B、N未到达A的运动范围），符合题意。
【答案】
能，经过$\frac{3}{2}\ \mathrm{s}$和$\frac{12}{5}\ \mathrm{s}$时，以A、M、N为顶点的三角形与$△ ACD$相似。
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，动点分类讨论
【点评】
本题是动态几何的常规题型，核心是抓住直角三角形相似时直角固定、锐角对应不确定的特征分类讨论，要注意用含t的代数式准确表示线段长度，求解后需验证解是否符合运动的实际情况，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
本题属于动点背景下的相似三角形存在性问题，解题思路如下：首先，矩形的内角均为直角，可得△ACD和△AMN都是直角三角形，直角对应相等，因此相似需分两种对应边成比例的情况讨论；其次，先根据动点的速度和运动时间，用含t的代数式表示出AM、AN的长度；再结合△ACD的两条直角边的长度，分两种相似的对应情况列比例式求解；最后检验所求t是否符合运动的取值范围，确定最终结果。
【解析】
能，求解过程如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$CD=AB=3\ \mathrm{cm}$，$AD=BC=6\ \mathrm{cm}$，$∠ D=∠ MAN=90°$。
运动$t\ \mathrm{s}$时，动点M的路程$AM=1× t = t\ \mathrm{cm}$，动点N的路程$DN=2× t=2t\ \mathrm{cm}$，
∴$AN=AD-DN=(6-2t)\ \mathrm{cm}$。
∵$∠ D=∠ MAN=90°$，以A、M、N为顶点的三角形与$△ ACD$相似时分两种情况：
① 当$\frac{AM}{CD}=\frac{AN}{AD}$时，$\frac{t}{3}=\frac{6-2t}{6}$，化简得$\frac{t}{6-2t}=\frac{1}{2}$，
解得：$t=\frac{3}{2}$；
② 当$\frac{AM}{AD}=\frac{AN}{CD}$时，$\frac{t}{6}=\frac{6-2t}{3}$，化简得$\frac{t}{6-2t}=2$，
解得：$t=\frac{12}{5}$。
检验：$t=\frac{3}{2}$和$t=\frac{12}{5}$均满足$0＜t≤3$（符合M未到达B、N未到达A的运动范围），符合题意。
【答案】
能，经过$\frac{3}{2}\ \mathrm{s}$和$\frac{12}{5}\ \mathrm{s}$时，以A、M、N为顶点的三角形与$△ ACD$相似。
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，动点分类讨论
【点评】
本题是动态几何的常规题型，核心是抓住直角三角形相似时直角固定、锐角对应不确定的特征分类讨论，要注意用含t的代数式准确表示线段长度，求解后需验证解是否符合运动的实际情况，避免出现不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
9. 如图3-3-17,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,在其内部放置边长分别为2,5,$x$的三个正方形,则$x$的值为
7
。答案
9.7
解析
【分析】
观察图形可知，△ABC是直角三角形，内部三个正方形的边均与△ABC的直角边平行，因此正方形上方的两个小直角三角形都和△ABC相似，即这两个小直角三角形也相似。我们可以利用相似三角形对应边成比例的性质，建立关于x的一元二次方程，求解后结合边长为正的实际意义舍去不合理解，即可得到x的值。
【解析】
解：由题意得，三个正方形上方的两个小直角三角形相似。
左边小直角三角形的两条直角边长度分别为2、$x-2$；
右边小直角三角形的两条直角边长度分别为$x-5$、5。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{x-2}{5}=\frac{2}{x-5}$
交叉相乘得：
$(x-2)(x-5)=10$
展开整理得：
$x^2-7x=0$
因式分解得：
$x(x-7)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=0$，
因为正方形边长为正数，所以$x=0$不符合题意，舍去。
【答案】
7
【知识点】
相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形与方程结合的典型几何题，解题的核心是准确找到图中的相似三角形，根据对应边的比例关系建立方程，同时要注意结合实际情况筛选方程的解。
【难度系数】
0.65
观察图形可知，△ABC是直角三角形，内部三个正方形的边均与△ABC的直角边平行，因此正方形上方的两个小直角三角形都和△ABC相似，即这两个小直角三角形也相似。我们可以利用相似三角形对应边成比例的性质，建立关于x的一元二次方程，求解后结合边长为正的实际意义舍去不合理解，即可得到x的值。
【解析】
解：由题意得，三个正方形上方的两个小直角三角形相似。
左边小直角三角形的两条直角边长度分别为2、$x-2$；
右边小直角三角形的两条直角边长度分别为$x-5$、5。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{x-2}{5}=\frac{2}{x-5}$
交叉相乘得：
$(x-2)(x-5)=10$
展开整理得：
$x^2-7x=0$
因式分解得：
$x(x-7)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=0$，
因为正方形边长为正数，所以$x=0$不符合题意，舍去。
【答案】
7
【知识点】
相似三角形的判定与性质，一元二次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形与方程结合的典型几何题，解题的核心是准确找到图中的相似三角形，根据对应边的比例关系建立方程，同时要注意结合实际情况筛选方程的解。
【难度系数】
0.65
10. 在学习全等三角形的证明中，我们有“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，这个定理可以推广到相似三角形的证明吗？
已知:如图 3-3-18,在 $Rt△ ABC$ 和 $Rt△ DEF$ 中,$∠ C=∠ D=90°,\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{EF}$。
求证:$△ ABC ∽ △ EFD$。
已知:如图 3-3-18,在 $Rt△ ABC$ 和 $Rt△ DEF$ 中,$∠ C=∠ D=90°,\frac{AC}{DE}=\frac{AB}{EF}$。
求证:$△ ABC ∽ △ EFD$。
答案
证明:已知$\dfrac{AC}{DE}=\dfrac{AB}{EF}$,设$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{EF}{DE}=k$,由勾股定理得
$BC^2=AB^2-AC^2=k^2AC^2-AC^2=(k^2-1)AC^2$,
$DF^2=EF^2-DE^2=k^2DE^2-DE^2=(k^2-1)DE^2$,
故$\dfrac{BC}{DF}=\dfrac{\sqrt{k^2-1}AC}{\sqrt{k^2-1}DE}=\dfrac{AC}{DE}$。
又$∠ C=∠ D,\therefore △ ABC∽△ EFD$。
$BC^2=AB^2-AC^2=k^2AC^2-AC^2=(k^2-1)AC^2$,
$DF^2=EF^2-DE^2=k^2DE^2-DE^2=(k^2-1)DE^2$,
故$\dfrac{BC}{DF}=\dfrac{\sqrt{k^2-1}AC}{\sqrt{k^2-1}DE}=\dfrac{AC}{DE}$。
又$∠ C=∠ D,\therefore △ ABC∽△ EFD$。
解析
【分析】
要证明两个直角三角形相似，已知一组直角相等，且斜边和一条直角边对应成比例，我们可以通过设比例系数，结合勾股定理推导另一条直角边的比值也等于已知的边的比值，进而利用相似三角形的判定定理完成证明。具体思路：首先设出已知成比例边的比值为k，将两个三角形的斜边分别用对应的直角边和k表示，再用勾股定理分别求出两个三角形的另一条直角边，计算它们的比值，验证该比值也等于已知的边的比值，最后结合直角相等即可判定相似。
【解析】
证明：已知$\dfrac{AC}{DE}=\dfrac{AB}{EF}$，设$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{EF}{DE}=k$，则$AB=kAC$，$EF=kDE$。
由勾股定理可得：
$BC^2=AB^2-AC^2=k^2AC^2-AC^2=(k^2-1)AC^2$，
$DF^2=EF^2-DE^2=k^2DE^2-DE^2=(k^2-1)DE^2$，
因此$\dfrac{BC}{DF}=\dfrac{\sqrt{k^2-1}· AC}{\sqrt{k^2-1}· DE}=\dfrac{AC}{DE}$。
又$\because ∠ C=∠ D=90°$，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证得$△ ABC ∽ △ EFD$。
【答案】
证明:已知$\dfrac{AC}{DE}=\dfrac{AB}{EF}$,设$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{EF}{DE}=k$,由勾股定理得
$BC^2=AB^2-AC^2=k^2AC^2-AC^2=(k^2-1)AC^2$,
$DF^2=EF^2-DE^2=k^2DE^2-DE^2=(k^2-1)DE^2$,
故$\dfrac{BC}{DF}=\dfrac{\sqrt{k^2-1}AC}{\sqrt{k^2-1}DE}=\dfrac{AC}{DE}$。
又$∠ C=∠ D,\therefore △ ABC∽△ EFD$。
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，比例的性质
【点评】
本题类比全等三角形的HL判定定理，推导得出直角三角形相似的特殊判定方法，帮助我们理解直角三角形相似与全等的关联，可简化后续直角三角形相似的证明步骤。
【难度系数】
0.7
要证明两个直角三角形相似，已知一组直角相等，且斜边和一条直角边对应成比例，我们可以通过设比例系数，结合勾股定理推导另一条直角边的比值也等于已知的边的比值，进而利用相似三角形的判定定理完成证明。具体思路：首先设出已知成比例边的比值为k，将两个三角形的斜边分别用对应的直角边和k表示，再用勾股定理分别求出两个三角形的另一条直角边，计算它们的比值，验证该比值也等于已知的边的比值，最后结合直角相等即可判定相似。
【解析】
证明：已知$\dfrac{AC}{DE}=\dfrac{AB}{EF}$，设$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{EF}{DE}=k$，则$AB=kAC$，$EF=kDE$。
由勾股定理可得：
$BC^2=AB^2-AC^2=k^2AC^2-AC^2=(k^2-1)AC^2$，
$DF^2=EF^2-DE^2=k^2DE^2-DE^2=(k^2-1)DE^2$，
因此$\dfrac{BC}{DF}=\dfrac{\sqrt{k^2-1}· AC}{\sqrt{k^2-1}· DE}=\dfrac{AC}{DE}$。
又$\because ∠ C=∠ D=90°$，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证得$△ ABC ∽ △ EFD$。
【答案】
证明:已知$\dfrac{AC}{DE}=\dfrac{AB}{EF}$,设$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{EF}{DE}=k$,由勾股定理得
$BC^2=AB^2-AC^2=k^2AC^2-AC^2=(k^2-1)AC^2$,
$DF^2=EF^2-DE^2=k^2DE^2-DE^2=(k^2-1)DE^2$,
故$\dfrac{BC}{DF}=\dfrac{\sqrt{k^2-1}AC}{\sqrt{k^2-1}DE}=\dfrac{AC}{DE}$。
又$∠ C=∠ D,\therefore △ ABC∽△ EFD$。
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理，比例的性质
【点评】
本题类比全等三角形的HL判定定理，推导得出直角三角形相似的特殊判定方法，帮助我们理解直角三角形相似与全等的关联，可简化后续直角三角形相似的证明步骤。
【难度系数】
0.7
