1. 下列条件能判定$△ ABC$与$△ DEF$相似的是（）。

A.$∠ A=∠ D,\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{BC}{EF}$
B.$∠ A=∠ D,\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$
C.$∠ A=∠ D=90°,\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$
D.$∠ A=∠ D=90°,∠ C=55°,∠ F=25°$

1.C

【分析】
要判断两个三角形是否相似，需结合相似三角形的判定定理逐一分析选项：首先明确核心判定规则：①两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，此处的角必须是两组对应边的夹角，而非对边所对的角；②两角分别相等的两个三角形相似；③直角三角形中，若一组直角边和斜边对应成比例，则两个三角形相似。我们按照上述规则逐个验证选项即可得出结论。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
选项A：$∠ A=∠ D$，但给出的比例是$\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{BC}{EF}$，其中BC是$∠ A$的对边，EF是$∠ D$的对边，相等的角不是两组成比例边的夹角，不符合相似三角形的SAS判定规则，无法判定两三角形相似。
选项B：$∠ A=∠ D$，但给出的比例是$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$，其中BC是$∠ A$的对边，EF是$∠ D$的对边，相等的角不是两组成比例边的夹角，不符合SAS判定规则，无法判定两三角形相似。
选项C：$∠ A=∠ D=90°$，说明$△ ABC$和$△ DEF$都是直角三角形，给出的$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{EF}$中，AB、DE是直角边，BC、EF是斜边，符合直角三角形“直角边与斜边对应成比例则两三角形相似”的判定规则，可以判定两三角形相似。
选项D：$∠ A=∠ D=90°$，$△ ABC$中$∠ C=55°$，可算出$∠ B=180°-90°-55°=35°$；$△ DEF$中$∠ F=25°$，可算出$∠ E=180°-90°-25°=65°$，两个三角形的锐角不对应相等，不符合AA判定规则，无法判定两三角形相似。
综上，只有选项C可以判定两三角形相似。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、直角三角形相似的判定
【点评】
本题易错点是误用“两边成比例且一角相等”的判定，忽略该角必须是两组对应边的夹角，做题时要注意对应边和对应角的匹配关系，对于直角三角形的相似判定可以结合全等的HL判定思路理解记忆。
【难度系数】
0.7

2. 已知等腰三角形ABC的底角为75°,则下列三角形一定与△ABC相似的是()。

A.顶角为30°的等腰三角形
B.顶角为40°的等腰三角形
C.等边三角形
D.顶角为75°的等腰三角形

2.A

【分析】
解题时首先要计算出已知等腰△ABC的三个内角度数，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），逐一计算每个选项中等腰三角形的内角度数，对比角度是否对应相等即可判断是否相似。
第一步：根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，计算△ABC的顶角；第二步：分别计算各选项中等腰三角形的三个内角；第三步：对比角度，三个角对应相等的三角形即为相似三角形。
【解析】
已知等腰△ABC的底角为75°，根据三角形内角和为180°，可得△ABC的顶角为：
$180° - 2×75° = 30°$
即△ABC的三个内角分别为$30°$、$75°$、$75°$。
逐一分析选项：
A. 顶角为30°的等腰三角形，其底角为$\frac{180° - 30°}{2}=75°$，三个内角为$30°$、$75°$、$75°$，与△ABC的三个角对应相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知两三角形相似；
B. 顶角为40°的等腰三角形，底角为$\frac{180° - 40°}{2}=70°$，三个内角为$40°$、$70°$、$70°$，角度不对应相等，不相似；
C. 等边三角形的三个内角均为$60°$，角度不对应相等，不相似；
D. 顶角为75°的等腰三角形，底角为$\frac{180° - 75°}{2}=52.5°$，三个内角为$75°$、$52.5°$、$52.5°$，角度不对应相等，不相似。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等腰三角形的角度计算和相似三角形的判定，解题的关键是先求出已知三角形的所有内角度数，再通过角度对比即可快速得出结论，不容易出错。
【难度系数】
0.8

3. 如图 3-3-11, 在 $△ ABC$ 中,点 D 在 AB 边上,添加一个条件使 $△ ACD ∽ △ ABC$,则这个条件可以是:。
（不添加辅助线,写出一种情况即可）

3.$∠ ACD=∠ B$(答案不唯一)

【分析】
要判定△ACD∽△ABC，首先观察两个三角形的公共角：∠A是△ACD和△ABC的公共角，即天然满足∠A=∠A。结合相似三角形的判定定理：已知一组角相等时，可补充另一组角相等，或补充夹这组等角的两边对应成比例，即可证明两三角形相似。
【解析】
在△ACD和△ABC中，∠A为公共角，即∠A=∠A。
根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，若添加条件∠ACD=∠B，可得：
$\begin{cases}∠A=∠A \\∠ACD=∠B\end{cases}$
因此△ACD∽△ABC。
（也可添加∠ADC=∠ACB、$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$等条件，任选其一即可）
【答案】
∠ACD=∠B（答案不唯一）
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的性质
【点评】
本题为开放型基础题，重点考查相似三角形判定的灵活应用，解题时先找到两个三角形已有的公共角相等的条件，再结合判定定理补充缺失的条件即可，答案不唯一。
【难度系数】
0.8

4. 如图3-3-12，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，M，N分别为AD，BC上的点。若AM=3，BN=6，∠MEN=90°，则MN的长为。

图3-3-12 图3-3-13

4.9

【分析】
解题时首先结合正方形的直角性质和∠MEN=90°的条件，通过同角的余角相等推导角相等，证明△AEM与△BNE相似；再利用E是AB中点的条件，结合相似三角形对应边成比例求出AE²的值，进而得到正方形边长的平方；最后过M作BC的垂线构造直角三角形，用勾股定理计算MN的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AME + ∠AEM = 90°，
∵∠MEN=90°，
∴∠AEM + ∠BEN = 180° - 90° = 90°，
∴∠AME = ∠BEN，
∴△AEM ∽ △BNE（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，设AE=BE=x，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{AM}{BE}=\frac{AE}{BN}$，
代入AM=3，BN=6，得$\frac{3}{x}=\frac{x}{6}$，解得$x^2=18$。
过点M作MH⊥BC于点H，
∵∠A=∠B=∠MHB=90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴MH=AB=2x，NH=BN - AM=6 - 3=3。
在Rt△MHN中，由勾股定理得：
$MN^2=MH^2 + NH^2=(2x)^2 + 3^2=4x^2 + 9$，
将$x^2=18$代入得：$MN^2=4×18 + 9=81$，
∵MN为线段长度，取正值，
∴MN=9。
【答案】
9
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过直角的性质推导角相等证明三角形相似，再结合勾股定理求线段长度，解题时不需要求出边长的具体值，整体代入计算更简便。
【难度系数】
0.7

5. 如图3-3-13，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=8，则DE=。

5.$2\sqrt{3}$

【分析】
解题时先从矩形的性质入手，矩形四个内角为直角、对角线相等且互相平分。第一步结合已知的角度比例求出∠EDC、∠EDA的度数；第二步利用DE⊥AC的垂直关系，推导得出∠ACD的度数；第三步根据矩形对角线平分且相等的性质，判定△OCD为等边三角形，得到CD的长度；最后在直角三角形CDE中，结合30°直角三角形的性质和勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，对角线$OC=OD=\frac{1}{2}AC$，
已知$AC=8$，
∴$OC=OD=4$，
∵$∠ EDC:∠ EDA=1:2$，且$∠ EDC+∠ EDA=∠ ADC=90°$，
∴$∠ EDC=30°$，$∠ EDA=60°$，
∵$DE⊥ AC$，
∴$∠ DEC=90°$，
在$Rt△ DEC$中，$∠ DCE=90°-∠ EDC=60°$，
又
∵$OD=OC$，$∠ DCE=60°$，
∴$△ OCD$是等边三角形，
∴$CD=OC=4$，
在$Rt△ CDE$中，$∠ EDC=30°$，
∴$CE=\frac{1}{2}CD=2$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是矩形与特殊三角形结合的基础综合题，解题核心是通过角度关系推导得到等边三角形，再结合直角三角形的性质计算线段长度，解题时要熟练掌握特殊几何图形的性质，灵活转化边角关系。
【难度系数】
0.7

6. 如图 3-3-14,在矩形 $ABCD$ 中,$AB=6,BC=4$。若 $E$ 是边 $AB$ 的中点,连接 $DE$,过点 $C$ 作 $CF ⊥ DE$ 于点 $F$,则 $CF$ 的长为。

6.$\dfrac{24}{5}$

【分析】
要求CF的长度，我们可以从已知条件逐步推导：首先根据矩形的性质得到各边长度，先利用勾股定理求出DE的长度，再结合三角形面积的两种不同表示方法（等面积法）建立关于CF的方程，即可求解；也可通过证明△ADE和△FCD相似，利用相似三角形对应边成比例求解，其中等面积法计算更简便。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，
∴AD=BC=4，CD=AB=6，∠A=90°，
∵E是边AB的中点，
∴AE = $\frac{1}{2}$AB = 3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
观察△CDE的面积：
一方面，△CDE以CD为底时，高等于BC的长度，因此$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× CD× BC=\frac{1}{2}×6×4=12$；
另一方面，△CDE以DE为底时，高就是CF，因此$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× DE× CF$，
联立得：$\frac{1}{2}×5× CF=12$，
解得：$CF=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；等面积法求线段长
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是灵活选择合适的方法，等面积法可以避免证明相似的步骤，简化计算过程，是求解垂线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.7

7. 如图 3-3-15，在△ABC 中，D，E 分别是边AC 和 AB 上的点，其中 AE＝2，AD＝3，AC＝4，AB＝6。求证：△ADE∽△ABC。

图 3-3-15

证明:$\because AE=2,AD=3,AC=4,AB=6$,
$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2},\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$。
又$\because ∠ BAC=∠ DAE,\therefore △ ADE∽△ ABC$。

【分析】
要证明△ADE∽△ABC，首先观察到两个三角形有公共角∠A（即∠DAE与∠BAC是同一个角），结合相似三角形的判定定理，若能证明夹该公共角的两组对应边成比例，即可证明两三角形相似。因此解题步骤为：先计算两组对应边的比值，验证比值相等，再结合公共角的性质，使用对应判定定理完成证明。
【解析】
证明：已知AE＝2，AD＝3，AC＝4，AB＝6，
先计算夹公共角∠A的两组边的比值：
$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$，
由此可得$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$。
又
∵∠BAC和∠DAE是公共角，即∠BAC=∠DAE，
根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，可证得△ADE∽△ABC。
【答案】
证明:$\because AE=2,AD=3,AC=4,AB=6$,
$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2},\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$。
又$\because ∠ BAC=∠ DAE,\therefore △ ADE∽△ ABC$。
【知识点】
1. 相似三角形判定定理
2. 比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是找准两个三角形的公共夹角，再验证夹公共角的两组对应边比值相等，需要注意对应边不要找错，避免出现比例计算错误的问题。
【难度系数】
0.8