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二、拓展性作业
9. 如图3-3-9，E为ABCD边CD的延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F。求证：$OB^2＝OE·OF$。
图3-3-9
9. 如图3-3-9，E为ABCD边CD的延长线上的一点，连接BE，交AC于点O，交AD于点F。求证：$OB^2＝OE·OF$。
图3-3-9
答案
9. 证明:$\because AB//CD$,
$\therefore ∠ ABO=∠ CEO,∠ BAO=∠ ECO$,
$\therefore △ AOB∽△ COE,\therefore OE:OB=OC:OA$。
$\because AD//BC,\therefore ∠ OAF=∠ OCB,∠ OFA=∠ OBC$,
$\therefore △ AOF∽△ COB,\therefore OB:OF=OC:OA$。
$\therefore OB:OF=OE:OB,即OB^2=OF· OE$。
$\therefore ∠ ABO=∠ CEO,∠ BAO=∠ ECO$,
$\therefore △ AOB∽△ COE,\therefore OE:OB=OC:OA$。
$\because AD//BC,\therefore ∠ OAF=∠ OCB,∠ OFA=∠ OBC$,
$\therefore △ AOF∽△ COB,\therefore OB:OF=OC:OA$。
$\therefore OB:OF=OE:OB,即OB^2=OF· OE$。
解析
【分析】
要证明等积式$OB^2=OE· OF$，首先可将其转化为比例式$\frac{OB}{OE}=\frac{OF}{OB}$，只需证明两组比例的比值相等即可，通常可通过找中间比完成等量代换。结合平行四边形对边平行的性质，可得到两组相似三角形，分别得出对应边的比例式，再通过公共中间比代换即可推导出结论。
【解析】
证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABO=∠ CEO$，$∠ BAO=∠ ECO$，
$\therefore △ AOB∽△ COE$，$\therefore OE:OB=OC:OA$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ OAF=∠ OCB$，$∠ OFA=∠ OBC$，
$\therefore △ AOF∽△ COB$，$\therefore OB:OF=OC:OA$。
$\therefore OB:OF=OE:OB$，即$OB^2=OF· OE$。
【答案】
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABO=∠ CEO$，$∠ BAO=∠ ECO$，
$\therefore △ AOB∽△ COE$，$\therefore OE:OB=OC:OA$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ OAF=∠ OCB$，$∠ OFA=∠ OBC$，
$\therefore △ AOF∽△ COB$，$\therefore OB:OF=OC:OA$。
$\therefore OB:OF=OE:OB$，即$OB^2=OF· OE$，原式得证。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，核心是将等积式转化为比例式，通过寻找中间比结合平行关系证明三角形相似完成推导，考查了转化思想的应用，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明等积式$OB^2=OE· OF$，首先可将其转化为比例式$\frac{OB}{OE}=\frac{OF}{OB}$，只需证明两组比例的比值相等即可，通常可通过找中间比完成等量代换。结合平行四边形对边平行的性质，可得到两组相似三角形，分别得出对应边的比例式，再通过公共中间比代换即可推导出结论。
【解析】
证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABO=∠ CEO$，$∠ BAO=∠ ECO$，
$\therefore △ AOB∽△ COE$，$\therefore OE:OB=OC:OA$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ OAF=∠ OCB$，$∠ OFA=∠ OBC$，
$\therefore △ AOF∽△ COB$，$\therefore OB:OF=OC:OA$。
$\therefore OB:OF=OE:OB$，即$OB^2=OF· OE$。
【答案】
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABO=∠ CEO$，$∠ BAO=∠ ECO$，
$\therefore △ AOB∽△ COE$，$\therefore OE:OB=OC:OA$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ OAF=∠ OCB$，$∠ OFA=∠ OBC$，
$\therefore △ AOF∽△ COB$，$\therefore OB:OF=OC:OA$。
$\therefore OB:OF=OE:OB$，即$OB^2=OF· OE$，原式得证。
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，核心是将等积式转化为比例式，通过寻找中间比结合平行关系证明三角形相似完成推导，考查了转化思想的应用，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 已知:如图3-3-10,在菱形ABCD中,BE=DF,DE和CB的延长线相交于G。
求证:(1)△ADE≌△CBF;(2)$\frac{GE}{BF}=\frac{GB}{CD}$。
图3-3-10
求证:(1)△ADE≌△CBF;(2)$\frac{GE}{BF}=\frac{GB}{CD}$。
图3-3-10
答案
10. 证明:(1)在菱形ABCD中,$AD=BC,∠ A=∠ C$,
$AB=CD$,
又$\because BE=DF,\therefore AE=CF,\therefore △ ADE≌△ CBF(SAS)$。
(2)$\because △ ADE≌△ CBF,\therefore DE=BF$。
$\because$ 在菱形ABCD中,$BC=CD,AB//CD$,
$\therefore \frac{GE}{DE}=\frac{GB}{BC},\therefore \frac{GE}{BF}=\frac{GB}{CD}$。
$AB=CD$,
又$\because BE=DF,\therefore AE=CF,\therefore △ ADE≌△ CBF(SAS)$。
(2)$\because △ ADE≌△ CBF,\therefore DE=BF$。
$\because$ 在菱形ABCD中,$BC=CD,AB//CD$,
$\therefore \frac{GE}{DE}=\frac{GB}{BC},\therefore \frac{GE}{BF}=\frac{GB}{CD}$。
解析
【分析】
本题分两小问，解题思路如下：
(1)要证△ADE≌△CBF，先从菱形性质出发，可得到AD=BC、∠A=∠C，结合已知BE=DF和菱形AB=CD的性质，推导得出AE=CF，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2)要证比例式$\frac{GE}{BF}=\frac{GB}{CD}$，先由第一问的全等结论得到DE=BF，再结合菱形BC=CD、AB//CD的性质，利用平行线分线段成比例得到$\frac{GE}{DE}=\frac{GB}{BC}$，通过等线段替换即可得到待证结论。
【解析】
(1)在菱形ABCD中，菱形对边相等、对角相等，因此$AD=BC$，$∠A=∠C$，$AB=CD$。
又$\because BE=DF$，$\therefore AB-BE=CD-DF$，即$AE=CF$。
根据SAS全等判定定理，可得$△ ADE≌△ CBF$。
(2)$\because △ ADE≌△ CBF$，$\therefore DE=BF$。
在菱形ABCD中，$BC=CD$，且$AB// CD$，根据平行线分线段成比例的性质可得$\frac{GE}{DE}=\frac{GB}{BC}$。
将DE替换为BF、BC替换为CD，即可得$\frac{GE}{BF}=\frac{GB}{CD}$。
【答案】
(1)在菱形ABCD中,$AD=BC,∠ A=∠ C$,$AB=CD$,又$\because BE=DF,\therefore AE=CF,\therefore △ ADE≌△ CBF(SAS)$。
(2)$\because △ ADE≌△ CBF,\therefore DE=BF$。$\because$ 在菱形ABCD中,$BC=CD,AB//CD$,$\therefore \frac{GE}{DE}=\frac{GB}{BC},\therefore \frac{GE}{BF}=\frac{GB}{CD}$。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定；平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础综合题，第一问侧重考查全等判定和菱形性质的结合应用，第二问需要结合全等结论做等线段替换，再利用平行线的比例性质推导，整体逻辑清晰，侧重对基础几何性质的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7
本题分两小问，解题思路如下：
(1)要证△ADE≌△CBF，先从菱形性质出发，可得到AD=BC、∠A=∠C，结合已知BE=DF和菱形AB=CD的性质，推导得出AE=CF，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2)要证比例式$\frac{GE}{BF}=\frac{GB}{CD}$，先由第一问的全等结论得到DE=BF，再结合菱形BC=CD、AB//CD的性质，利用平行线分线段成比例得到$\frac{GE}{DE}=\frac{GB}{BC}$，通过等线段替换即可得到待证结论。
【解析】
(1)在菱形ABCD中，菱形对边相等、对角相等，因此$AD=BC$，$∠A=∠C$，$AB=CD$。
又$\because BE=DF$，$\therefore AB-BE=CD-DF$，即$AE=CF$。
根据SAS全等判定定理，可得$△ ADE≌△ CBF$。
(2)$\because △ ADE≌△ CBF$，$\therefore DE=BF$。
在菱形ABCD中，$BC=CD$，且$AB// CD$，根据平行线分线段成比例的性质可得$\frac{GE}{DE}=\frac{GB}{BC}$。
将DE替换为BF、BC替换为CD，即可得$\frac{GE}{BF}=\frac{GB}{CD}$。
【答案】
(1)在菱形ABCD中,$AD=BC,∠ A=∠ C$,$AB=CD$,又$\because BE=DF,\therefore AE=CF,\therefore △ ADE≌△ CBF(SAS)$。
(2)$\because △ ADE≌△ CBF,\therefore DE=BF$。$\because$ 在菱形ABCD中,$BC=CD,AB//CD$,$\therefore \frac{GE}{DE}=\frac{GB}{BC},\therefore \frac{GE}{BF}=\frac{GB}{CD}$。
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定；平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础综合题，第一问侧重考查全等判定和菱形性质的结合应用，第二问需要结合全等结论做等线段替换，再利用平行线的比例性质推导，整体逻辑清晰，侧重对基础几何性质的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7
