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8. 如图 3-4-6，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD，BE分别是$△ ABC$的角平分线和中线，$A'D'$，$B'E'$分别是$△ A'B'C'$的角平分线和中线，且$AD=4$，$A'D'=3$，$BE=6$，求$B'E'$的长。
图 3-4-6
图 3-4-6
答案
8. 解:$\because △ABC∽ △A'B'C'$,AD,A'D'为对应的角平分线,
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{4}{3}$。
$\because △ABC∽ △A'B'C'$,BE,B'E'为对应的中线,
$\therefore \frac{BE}{B'E'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{3}$。
$\because BE=6,\therefore B'E'=\frac{9}{2}$。
$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{4}{3}$。
$\because △ABC∽ △A'B'C'$,BE,B'E'为对应的中线,
$\therefore \frac{BE}{B'E'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{3}$。
$\because BE=6,\therefore B'E'=\frac{9}{2}$。
解析
【分析】
已知△ABC与△A'B'C'相似，同时给出了两个三角形的一组对应角平分线长度、一组对应中线的其中一条长度，要求另一条对应中线的长。解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。因此我们可以先通过已知的对应角平分线求出两个三角形的相似比，再利用对应中线的比等于相似比，代入已知的BE长度，即可求出B'E'的长。
【解析】
解：$\because △ABC∽ △A'B'C'$，AD、$A'D'$为两个三角形的对应角平分线，
$\therefore$ 两个三角形的相似比 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{4}{3}$。
$\because △ABC∽ △A'B'C'$，BE、$B'E'$为两个三角形的对应中线，
$\therefore$ 对应中线的比等于相似比，即 $\frac{BE}{B'E'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{3}$。
将$BE=6$代入比例式，得 $\frac{6}{B'E'}=\frac{4}{3}$，
解得 $B'E'=\frac{6×3}{4}=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
1. 相似三角形的性质 2. 比例计算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是明确相似三角形的对应特殊线段（角平分线、中线等）的比都等于相似比，计算时注意找准对应线段，避免比例关系写反即可。
【难度系数】
0.85
已知△ABC与△A'B'C'相似，同时给出了两个三角形的一组对应角平分线长度、一组对应中线的其中一条长度，要求另一条对应中线的长。解题时首先回忆相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。因此我们可以先通过已知的对应角平分线求出两个三角形的相似比，再利用对应中线的比等于相似比，代入已知的BE长度，即可求出B'E'的长。
【解析】
解：$\because △ABC∽ △A'B'C'$，AD、$A'D'$为两个三角形的对应角平分线，
$\therefore$ 两个三角形的相似比 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AD}{A'D'}=\frac{4}{3}$。
$\because △ABC∽ △A'B'C'$，BE、$B'E'$为两个三角形的对应中线，
$\therefore$ 对应中线的比等于相似比，即 $\frac{BE}{B'E'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{3}$。
将$BE=6$代入比例式，得 $\frac{6}{B'E'}=\frac{4}{3}$，
解得 $B'E'=\frac{6×3}{4}=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
1. 相似三角形的性质 2. 比例计算
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，解题核心是明确相似三角形的对应特殊线段（角平分线、中线等）的比都等于相似比，计算时注意找准对应线段，避免比例关系写反即可。
【难度系数】
0.85
二、拓展性作业
9. 如图3-4-7,在锐角三角形OAB中,点M,N分别在边OB,OA上,OG⊥AB于点G,OH⊥MN于点H,∠NOH=∠BOG。
(1)求证:△OMN∽△OAB；
(2)若OM=3,OA=7,求$\frac{OH}{OG}$的值。
图3-4-7
9. 如图3-4-7,在锐角三角形OAB中,点M,N分别在边OB,OA上,OG⊥AB于点G,OH⊥MN于点H,∠NOH=∠BOG。
(1)求证:△OMN∽△OAB；
(2)若OM=3,OA=7,求$\frac{OH}{OG}$的值。
图3-4-7
答案
9.(1)证明:在$△OHN$ 和$△OGB$ 中,
$\because ∠OHN=∠OGB=90°,∠NOH=∠BOG$,
$\therefore △OHN∽ △OGB,\therefore ∠ONH=∠B$。
$\because ∠AOB=∠MON,\therefore △OMN∽ △OAB$。
(2)解:由(1)得$△OMN∽ △OAB$,
$\because OM=3,OA=7,OG⊥AB$于点G,$OH⊥MN$于点H,
$\therefore \frac{OH}{OG}=\frac{OM}{OA}=\frac{3}{7}$。
$\because ∠OHN=∠OGB=90°,∠NOH=∠BOG$,
$\therefore △OHN∽ △OGB,\therefore ∠ONH=∠B$。
$\because ∠AOB=∠MON,\therefore △OMN∽ △OAB$。
(2)解:由(1)得$△OMN∽ △OAB$,
$\because OM=3,OA=7,OG⊥AB$于点G,$OH⊥MN$于点H,
$\therefore \frac{OH}{OG}=\frac{OM}{OA}=\frac{3}{7}$。
解析
【分析】
(1)要证明△OMN∽△OAB，已知两三角形有公共角∠MON=∠AOB，只需再证一组对应角相等即可。结合已知∠NOH=∠BOG，OH⊥MN、OG⊥AB的垂直条件，可先证Rt△OHN∽Rt△OGB，得到∠ONH=∠B，即可利用两角分别相等的判定定理证明△OMN∽△OAB。
(2)由(1)已得△OMN∽△OAB，OH和OG分别是两个相似三角形对应边上的高，根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，代入已知OM、OA的长度即可求出$\frac{OH}{OG}$的比值。
【解析】
(1)证明：在$△ OHN$ 和$△ OGB$ 中,
$\because OH⊥ MN, OG⊥ AB$，$\therefore ∠ OHN=∠ OGB=90°$,
又$\because ∠ NOH=∠ BOG$,
$\therefore △ OHN ∽ △ OGB$,
$\therefore ∠ ONH=∠ B$。
又$\because ∠ MON=∠ AOB$（公共角）,
$\therefore △ OMN ∽ △ OAB$。
(2)解：由(1)得$△ OMN ∽ △ OAB$，
$\because OM=3,OA=7$，$OG⊥ AB$于点G，$OH⊥ MN$于点H，
$\therefore$ 相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{OH}{OG}=\frac{OM}{OA}=\frac{3}{7}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{7}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定与性质的综合应用，解题的关键是先借助直角和等角证小三角形相似，得到对应角相等后证明目标三角形相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比求解，是相似三角形模块的典型基础题型，能很好地巩固相似的相关核心知识点。
【难度系数】
0.6
(1)要证明△OMN∽△OAB，已知两三角形有公共角∠MON=∠AOB，只需再证一组对应角相等即可。结合已知∠NOH=∠BOG，OH⊥MN、OG⊥AB的垂直条件，可先证Rt△OHN∽Rt△OGB，得到∠ONH=∠B，即可利用两角分别相等的判定定理证明△OMN∽△OAB。
(2)由(1)已得△OMN∽△OAB，OH和OG分别是两个相似三角形对应边上的高，根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，代入已知OM、OA的长度即可求出$\frac{OH}{OG}$的比值。
【解析】
(1)证明：在$△ OHN$ 和$△ OGB$ 中,
$\because OH⊥ MN, OG⊥ AB$，$\therefore ∠ OHN=∠ OGB=90°$,
又$\because ∠ NOH=∠ BOG$,
$\therefore △ OHN ∽ △ OGB$,
$\therefore ∠ ONH=∠ B$。
又$\because ∠ MON=∠ AOB$（公共角）,
$\therefore △ OMN ∽ △ OAB$。
(2)解：由(1)得$△ OMN ∽ △ OAB$，
$\because OM=3,OA=7$，$OG⊥ AB$于点G，$OH⊥ MN$于点H，
$\therefore$ 相似三角形对应高的比等于相似比，即$\frac{OH}{OG}=\frac{OM}{OA}=\frac{3}{7}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{7}}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形判定与性质的综合应用，解题的关键是先借助直角和等角证小三角形相似，得到对应角相等后证明目标三角形相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比求解，是相似三角形模块的典型基础题型，能很好地巩固相似的相关核心知识点。
【难度系数】
0.6
10. 如图3-4-8①，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120 mm，高AD=80 mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。
(1)加工成的正方形零件的边长是多少？
(2)小颖善于反思，她又提出了如下的问题：如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的，如图3-4-8②，那么，这个矩形零件的两条邻边的长分别为多少？
图3-4-8
(1)加工成的正方形零件的边长是多少？
(2)小颖善于反思，她又提出了如下的问题：如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的，如图3-4-8②，那么，这个矩形零件的两条邻边的长分别为多少？
图3-4-8
答案
10. 解:(1)设正方形的边长为$x$ mm,则$PN=PQ=ED=$$x$,$\therefore AE=AD-ED=80-x$。
$\because PN// BC,\therefore ∠APN=∠B,∠ANP=∠C$,
$\therefore △APN∽ △ABC$,
$\therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$,解得$x=48$。
$\therefore$ 加工成的正方形零件的边长是 48 mm。
(2)设$PQ=x'$,则$PN=2x',AE=80-x'$。
$\because PN// BC$,
$\therefore ∠APN=∠B,∠ANP=∠C$,
$\therefore △APN∽ △ABC$,
$\therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即$\frac{2x'}{120}=\frac{80-x'}{80}$,解得$x'=\frac{240}{7}$。
$\therefore 2x'=\frac{480}{7}$。
$\therefore$ 这个矩形零件的两条邻边的长分别为$\frac{240}{7}$mm,$\frac{480}{7}$mm。
$\because PN// BC,\therefore ∠APN=∠B,∠ANP=∠C$,
$\therefore △APN∽ △ABC$,
$\therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$,解得$x=48$。
$\therefore$ 加工成的正方形零件的边长是 48 mm。
(2)设$PQ=x'$,则$PN=2x',AE=80-x'$。
$\because PN// BC$,
$\therefore ∠APN=∠B,∠ANP=∠C$,
$\therefore △APN∽ △ABC$,
$\therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即$\frac{2x'}{120}=\frac{80-x'}{80}$,解得$x'=\frac{240}{7}$。
$\therefore 2x'=\frac{480}{7}$。
$\therefore$ 这个矩形零件的两条邻边的长分别为$\frac{240}{7}$mm,$\frac{480}{7}$mm。
解析
【分析】
这道题是相似三角形在实际加工问题中的应用，解题核心是利用“平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的三角形与原三角形相似”得到相似三角形，再结合相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质列方程求解。(1)问中正方形的边PN平行于BC，可得△APN∽△ABC，正方形的边长既是PN的长度，也是高AD上ED的长度，因此设边长为x，分别表示出相似比和对应高的比列方程即可求解。(2)问中矩形由两个并排正方形组成，因此矩形的长是宽的2倍，同理利用相似三角形的对应高的比等于相似比，设宽为x'，表示出长和对应的高，列方程求解即可。
【解析】
(1)设正方形的边长为$x$ mm，则$PN=PQ=ED=x$，因此$AE=AD-ED=80-x$。
$\because PN// BC$，$\therefore ∠ APN=∠ B$，$∠ ANP=∠ C$，$\therefore △ APN ∽ △ ABC$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，
解得$x=48$。
(2)设矩形的宽$PQ=x'$ mm，由于矩形由两个并排放置的正方形组成，因此矩形的长$PN=2x'$ mm，此时$AE=AD-ED=80-x'$。
$\because PN// BC$，$\therefore ∠ APN=∠ B$，$∠ ANP=∠ C$，$\therefore △ APN ∽ △ ABC$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{2x'}{120}=\frac{80-x'}{80}$，
解得$x'=\frac{240}{7}$，则$2x'=\frac{480}{7}$。
【答案】
(1)加工成的正方形零件的边长是$\boxed{48\ \mathrm{mm}}$；
(2)这个矩形零件的两条邻边的长分别为$\boxed{\frac{240}{7}\ \mathrm{mm}}$和$\boxed{\frac{480}{7}\ \mathrm{mm}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质；矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际几何问题中的典型应用，解题的关键是通过平行关系找到相似三角形，明确相似三角形对应高的比等于相似比，再结合图形的边长关系设未知数列方程求解，掌握该类模型可以快速解决三角形内接矩形、正方形类的问题。
【难度系数】
0.7
这道题是相似三角形在实际加工问题中的应用，解题核心是利用“平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的三角形与原三角形相似”得到相似三角形，再结合相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质列方程求解。(1)问中正方形的边PN平行于BC，可得△APN∽△ABC，正方形的边长既是PN的长度，也是高AD上ED的长度，因此设边长为x，分别表示出相似比和对应高的比列方程即可求解。(2)问中矩形由两个并排正方形组成，因此矩形的长是宽的2倍，同理利用相似三角形的对应高的比等于相似比，设宽为x'，表示出长和对应的高，列方程求解即可。
【解析】
(1)设正方形的边长为$x$ mm，则$PN=PQ=ED=x$，因此$AE=AD-ED=80-x$。
$\because PN// BC$，$\therefore ∠ APN=∠ B$，$∠ ANP=∠ C$，$\therefore △ APN ∽ △ ABC$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{x}{120}=\frac{80-x}{80}$，
解得$x=48$。
(2)设矩形的宽$PQ=x'$ mm，由于矩形由两个并排放置的正方形组成，因此矩形的长$PN=2x'$ mm，此时$AE=AD-ED=80-x'$。
$\because PN// BC$，$\therefore ∠ APN=∠ B$，$∠ ANP=∠ C$，$\therefore △ APN ∽ △ ABC$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，即$\frac{2x'}{120}=\frac{80-x'}{80}$，
解得$x'=\frac{240}{7}$，则$2x'=\frac{480}{7}$。
【答案】
(1)加工成的正方形零件的边长是$\boxed{48\ \mathrm{mm}}$；
(2)这个矩形零件的两条邻边的长分别为$\boxed{\frac{240}{7}\ \mathrm{mm}}$和$\boxed{\frac{480}{7}\ \mathrm{mm}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质；矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际几何问题中的典型应用，解题的关键是通过平行关系找到相似三角形，明确相似三角形对应高的比等于相似比，再结合图形的边长关系设未知数列方程求解，掌握该类模型可以快速解决三角形内接矩形、正方形类的问题。
【难度系数】
0.7
