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一、基础性作业
1. 小深画了一个函数$y=x^2+ax+b$的图象（如图5-4-1所示），则关于$x$的方程$x^2+ax+b=0$的根是（
A.无实数根
B.$x=1$
C.$x=-2$
D.$x_1=-1,x_2=2$
1. 小深画了一个函数$y=x^2+ax+b$的图象（如图5-4-1所示），则关于$x$的方程$x^2+ax+b=0$的根是（
D
）。A.无实数根
B.$x=1$
C.$x=-2$
D.$x_1=-1,x_2=2$
答案
1.D
解析
【分析】
解题首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$x^2+ax+b=0$的根，就是二次函数$y=x^2+ax+b$的函数值为0时对应的x的取值，对应到函数图像上就是图像与x轴交点的横坐标。所以只需要从给出的函数图像中找到它与x轴交点的横坐标，即可得到方程的根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关联可知：二次函数$y=x^2+ax+b$的图像与x轴交点的横坐标就是方程$x^2+ax+b=0$的根。
由题图可得，函数$y=x^2+ax+b$的图像与x轴交于点$(-1,0)$和$(2,0)$，因此方程$x^2+ax+b=0$的根为$x_1=-1,x_2=2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.二次函数图像与x轴交点
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查二次函数图像和对应一元二次方程的内在联系，牢记二者的对应规则就能快速得出答案，是二次函数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$x^2+ax+b=0$的根，就是二次函数$y=x^2+ax+b$的函数值为0时对应的x的取值，对应到函数图像上就是图像与x轴交点的横坐标。所以只需要从给出的函数图像中找到它与x轴交点的横坐标，即可得到方程的根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关联可知：二次函数$y=x^2+ax+b$的图像与x轴交点的横坐标就是方程$x^2+ax+b=0$的根。
由题图可得，函数$y=x^2+ax+b$的图像与x轴交于点$(-1,0)$和$(2,0)$，因此方程$x^2+ax+b=0$的根为$x_1=-1,x_2=2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.二次函数图像与x轴交点
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查二次函数图像和对应一元二次方程的内在联系，牢记二者的对应规则就能快速得出答案，是二次函数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图5-4-2所示，下面结论正确的是（
A.$a＞0,c＞0,b^2-4ac＞0$
B.$a＞0,c＞0,b^2-4ac＜0$
C.$a＞0,c＜0,b^2-4ac＞0$
D.$a＞0,c＜0,b^2-4ac＜0$
C
）。A.$a＞0,c＞0,b^2-4ac＞0$
B.$a＞0,c＞0,b^2-4ac＜0$
C.$a＞0,c＜0,b^2-4ac＞0$
D.$a＞0,c＜0,b^2-4ac＜0$
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题需要结合二次函数的图像性质，分三步判断参数的符号：第一步根据抛物线开口方向判断a的正负；第二步根据抛物线与y轴的交点位置判断c的正负；第三步根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式$b^2-4ac$的符号，最后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 判断$a$的符号：二次函数图象开口向上，因此$a＞0$；
2. 判断$c$的符号：当$x=0$时，$y=c$，图象与$y$轴交于负半轴，因此$c＜0$；
3. 判断$b^2-4ac$的符号：抛物线与$x$轴有2个不同的交点，说明对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此$b^2-4ac＞0$。
综上，$a＞0$、$c＜0$、$b^2-4ac＞0$，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；判别式的几何意义；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查二次函数图像特征和参数、判别式的对应关系，熟练掌握图像性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合二次函数的图像性质，分三步判断参数的符号：第一步根据抛物线开口方向判断a的正负；第二步根据抛物线与y轴的交点位置判断c的正负；第三步根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式$b^2-4ac$的符号，最后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 判断$a$的符号：二次函数图象开口向上，因此$a＞0$；
2. 判断$c$的符号：当$x=0$时，$y=c$，图象与$y$轴交于负半轴，因此$c＜0$；
3. 判断$b^2-4ac$的符号：抛物线与$x$轴有2个不同的交点，说明对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此$b^2-4ac＞0$。
综上，$a＞0$、$c＜0$、$b^2-4ac＞0$，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；判别式的几何意义；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题，核心考查二次函数图像特征和参数、判别式的对应关系，熟练掌握图像性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 若二次函数$y=a(x-1)^2 +k$的图象与$x$轴交于点$(-2,0)$，则该图象与$x$轴的另一个交点为(
A.$(0,0)$
B.$(2,0)$
C.$(3,0)$
D.$(4,0)$
D
)。A.$(0,0)$
B.$(2,0)$
C.$(3,0)$
D.$(4,0)$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先观察二次函数的表达式为顶点式，可直接得出抛物线的对称轴；再根据二次函数的对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点坐标，即可通过对称关系计算出另一个交点的坐标。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$，因此二次函数$y=a(x-1)^2 +k$的对称轴为直线$x=1$。
2. 利用对称性求另一个交点：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个与x轴的交点坐标为$(m,0)$，则两个交点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，即$\frac{-2+m}{2}=1$。
3. 解方程得：$-2+m=2$，即$m=4$，因此另一个交点坐标为$(4,0)$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；二次函数与x轴交点
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，无需代入点坐标求解参数a和k，利用对称性质可快速得出结果，是二次函数章节的基础常考题型，掌握抛物线的对称特性能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察二次函数的表达式为顶点式，可直接得出抛物线的对称轴；再根据二次函数的对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点坐标，即可通过对称关系计算出另一个交点的坐标。
【解析】
1. 求抛物线对称轴：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$，因此二次函数$y=a(x-1)^2 +k$的对称轴为直线$x=1$。
2. 利用对称性求另一个交点：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设另一个与x轴的交点坐标为$(m,0)$，则两个交点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，即$\frac{-2+m}{2}=1$。
3. 解方程得：$-2+m=2$，即$m=4$，因此另一个交点坐标为$(4,0)$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；二次函数与x轴交点
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，无需代入点坐标求解参数a和k，利用对称性质可快速得出结果，是二次函数章节的基础常考题型，掌握抛物线的对称特性能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)$如图5-4-3所示，则关于$x$的方程$ax^2 + bx + c - 2 = 0$的根的情况为
有两个不相等的实数根
。答案
4. 有两个不相等的实数根
解析
【分析】
要判断方程$ax^2 + bx + c - 2 = 0$的根的情况，可先将方程变形为$ax^2 + bx + c = 2$，该方程的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为2时的自变量$x$的值，也就是抛物线与直线$y=2$的交点横坐标。接下来观察抛物线的图像：抛物线开口向上，顶点纵坐标在0到1之间，小于2，因此直线$y=2$在抛物线顶点的上方，可推出两者的交点个数，进而得到方程根的情况。
【解析】
将方程$ax^2 + bx + c - 2 = 0$整理为$ax^2 + bx + c = 2$，该方程的实数根等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=2$交点的横坐标。
观察图像可知：抛物线开口向上，顶点的纵坐标介于0和1之间，小于2，因此直线$y=2$与抛物线有2个不同的交点，对应方程$ax^2 + bx + c - 2 = 0$有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的图象性质
【点评】
本题核心是将方程根的个数问题转化为二次函数图象与直线交点的个数问题，考查数形结合思想的应用，解题关键是准确理解二次函数与对应一元二次方程的关系。
【难度系数】
0.7
要判断方程$ax^2 + bx + c - 2 = 0$的根的情况，可先将方程变形为$ax^2 + bx + c = 2$，该方程的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为2时的自变量$x$的值，也就是抛物线与直线$y=2$的交点横坐标。接下来观察抛物线的图像：抛物线开口向上，顶点纵坐标在0到1之间，小于2，因此直线$y=2$在抛物线顶点的上方，可推出两者的交点个数，进而得到方程根的情况。
【解析】
将方程$ax^2 + bx + c - 2 = 0$整理为$ax^2 + bx + c = 2$，该方程的实数根等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=2$交点的横坐标。
观察图像可知：抛物线开口向上，顶点的纵坐标介于0和1之间，小于2，因此直线$y=2$与抛物线有2个不同的交点，对应方程$ax^2 + bx + c - 2 = 0$有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 二次函数的图象性质
【点评】
本题核心是将方程根的个数问题转化为二次函数图象与直线交点的个数问题，考查数形结合思想的应用，解题关键是准确理解二次函数与对应一元二次方程的关系。
【难度系数】
0.7
5. 抛物线 $ y = x^2 - x + 1 $ 与直线 $ y = 3x - 2 $ 的交点坐标是
(1,1),(3,7)
。答案
5. (1,1),(3,7)
解析
【分析】
要求抛物线与直线的交点坐标，核心思路是：函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此只需将两个函数的解析式联立得到方程组，求解方程组得到的每一组x、y的值，对应的就是一个交点的坐标。首先联立消去y得到关于x的一元二次方程，解出x的取值后，再代入解析式求出对应的y值，即可得到交点坐标。
【解析】
联立两个函数的解析式，可得方程组：
$\begin{cases} y = x^2 - x + 1 \\ y = 3x - 2 \end{cases}$
将$y = 3x - 2$代入$y = x^2 - x + 1$，消去y得：
$x^2 - x + 1 = 3x - 2$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 4x + 3 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 3) = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
将$x_1 = 1$代入$y = 3x - 2$，得$y_1 = 3×1 - 2 = 1$；
将$x_2 = 3$代入$y = 3x - 2$，得$y_2 = 3×3 - 2 = 7$。
【答案】
(1,1),(3,7)
【知识点】
函数交点求解；一元二次方程解法
【点评】
本题是函数交点问题的基础题型，解题核心是掌握联立解析式转化为方程求解的思路，计算难度低，是函数方程对应关系的基础应用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
要求抛物线与直线的交点坐标，核心思路是：函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此只需将两个函数的解析式联立得到方程组，求解方程组得到的每一组x、y的值，对应的就是一个交点的坐标。首先联立消去y得到关于x的一元二次方程，解出x的取值后，再代入解析式求出对应的y值，即可得到交点坐标。
【解析】
联立两个函数的解析式，可得方程组：
$\begin{cases} y = x^2 - x + 1 \\ y = 3x - 2 \end{cases}$
将$y = 3x - 2$代入$y = x^2 - x + 1$，消去y得：
$x^2 - x + 1 = 3x - 2$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 4x + 3 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 3) = 0$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
将$x_1 = 1$代入$y = 3x - 2$，得$y_1 = 3×1 - 2 = 1$；
将$x_2 = 3$代入$y = 3x - 2$，得$y_2 = 3×3 - 2 = 7$。
【答案】
(1,1),(3,7)
【知识点】
函数交点求解；一元二次方程解法
【点评】
本题是函数交点问题的基础题型，解题核心是掌握联立解析式转化为方程求解的思路，计算难度低，是函数方程对应关系的基础应用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
6. 在体育课训练期间，小亮练习实心球项目时，发现实心球的飞行路线是一条抛物线的一部分(不计空气阻力)，实心球飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)之间满足以下函数关系：$y=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2 + 3$。请根据如图 5-4-4所示的图象解答下列问题：
(1)小亮在训练过程中实心球飞行的最远距离为
(2)求出 $y=\dfrac{11}{12}$时对应的 x，并说说它的实际意义。
(1)小亮在训练过程中实心球飞行的最远距离为
10
m；(2)求出 $y=\dfrac{11}{12}$时对应的 x，并说说它的实际意义。
答案
(1)10
(2)当 $y=\dfrac{11}{12}$时，$\dfrac{11}{12}=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3$，
解得 $x_1=-1$(不合题意，舍去)，$x_2=9$。
故当水平距离为 9 m 时，实心球的飞行高度为$\dfrac{11}{12}$ m。
(2)当 $y=\dfrac{11}{12}$时，$\dfrac{11}{12}=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3$，
解得 $x_1=-1$(不合题意，舍去)，$x_2=9$。
故当水平距离为 9 m 时，实心球的飞行高度为$\dfrac{11}{12}$ m。
解析
【分析】
(1) 实心球飞行的最远距离是落地时对应的水平距离，此时高度y=0，将y=0代入函数解析式求解x，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果；(2) 求y=11/12对应的x，只需将y=11/12代入二次函数解析式，转化为一元二次方程求解，舍去负根后，结合x、y的实际含义说明其意义即可。
【解析】
(1) 实心球落地时飞行高度y=0，代入函数解析式$y=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2 + 3$得：
$0=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2 +3$
移项得：$\dfrac{1}{12}(x-4)^2=3$
两边同乘12得：$(x-4)^2=36$
开平方得：$x-4=\pm6$
解得$x_1=10$，$x_2=-2$
∵ 水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$
∴ 实心球飞行的最远距离为10m。
(2) 将$y=\dfrac{11}{12}$代入解析式得：
$\dfrac{11}{12}=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3$
两边同乘12消去分母得：$11=-(x-4)^2+36$
移项整理得：$(x-4)^2=25$
开平方得：$x-4=\pm5$
解得$x_1=9$，$x_2=-1$
∵ 水平距离不能为负，舍去$x_2=-1$，即$x=9$。
实际意义：当实心球的水平飞行距离为9m时，实心球的飞行高度为$\dfrac{11}{12}$m。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) 对应的$x$为$\boxed{9}$，实际意义：当水平距离为9 m时，实心球的飞行高度为$\dfrac{11}{12}$ m。
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数与一元二次方程、解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是明确函数变量的实际含义，能将函数值的求解问题转化为一元二次方程的求解问题，注意求解后要结合实际场景对根进行取舍，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.75
(1) 实心球飞行的最远距离是落地时对应的水平距离，此时高度y=0，将y=0代入函数解析式求解x，舍去不符合实际意义的负根即可得到结果；(2) 求y=11/12对应的x，只需将y=11/12代入二次函数解析式，转化为一元二次方程求解，舍去负根后，结合x、y的实际含义说明其意义即可。
【解析】
(1) 实心球落地时飞行高度y=0，代入函数解析式$y=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2 + 3$得：
$0=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2 +3$
移项得：$\dfrac{1}{12}(x-4)^2=3$
两边同乘12得：$(x-4)^2=36$
开平方得：$x-4=\pm6$
解得$x_1=10$，$x_2=-2$
∵ 水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$
∴ 实心球飞行的最远距离为10m。
(2) 将$y=\dfrac{11}{12}$代入解析式得：
$\dfrac{11}{12}=-\dfrac{1}{12}(x-4)^2+3$
两边同乘12消去分母得：$11=-(x-4)^2+36$
移项整理得：$(x-4)^2=25$
开平方得：$x-4=\pm5$
解得$x_1=9$，$x_2=-1$
∵ 水平距离不能为负，舍去$x_2=-1$，即$x=9$。
实际意义：当实心球的水平飞行距离为9m时，实心球的飞行高度为$\dfrac{11}{12}$m。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) 对应的$x$为$\boxed{9}$，实际意义：当水平距离为9 m时，实心球的飞行高度为$\dfrac{11}{12}$ m。
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数与一元二次方程、解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的实际应用，解题核心是明确函数变量的实际含义，能将函数值的求解问题转化为一元二次方程的求解问题，注意求解后要结合实际场景对根进行取舍，是二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.75
7. 如图5-4-5，抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于原点和点A(2,0)，顶点为M(1,-1)。
（1）求抛物线的表达式。
（2）当x为何值时$y=3$？
（3）根据图象回答：①当x满足
（1）求抛物线的表达式。
（2）当x为何值时$y=3$？
（3）根据图象回答：①当x满足
$x＜0$或$x＞2$
时，$y＞0$；②当x满足$0＜x＜2$
时，$y＜0$；③当x满足$x=0$或$x=2$
时，$y=0$。答案
(1)根据题意得 $y=a(x-1)^2-1$，
将(2,0)代入，得 $a-1=0$，即 $a=1$，
则抛物线的表达式为 $y=x^2-2x$。
(2)由题中图象知，当 $x=3$ 或 $x=-1$ 时，$y=3$。
(3)①$x＜0$ 或 $x＞2$ ②$0＜x＜2$ ③$x=0$ 或 $x=2$
将(2,0)代入，得 $a-1=0$，即 $a=1$，
则抛物线的表达式为 $y=x^2-2x$。
(2)由题中图象知，当 $x=3$ 或 $x=-1$ 时，$y=3$。
(3)①$x＜0$ 或 $x＞2$ ②$0＜x＜2$ ③$x=0$ 或 $x=2$
解析
【分析】
（1）已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，再代入已知点坐标求解参数a，即可得到抛物线表达式；（2）求y=3时x的值，可令函数值等于3，解一元二次方程即可，也可结合图像直接读取；（3）根据抛物线与x轴的交点坐标，结合开口方向，观察图像不同位置对应的x的取值范围，即可得到y＞0、y＜0、y=0时x的取值。
【解析】
（1）
∵抛物线顶点为M(1,-1)，
∴设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2-1$，
将点A(2,0)代入解析式得：$a×(2-1)^2-1=0$，
解得$a=1$，
∴解析式为$y=(x-1)^2-1=x^2-2x$。
（2）令$y=3$，则$x^2-2x=3$，
整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x=3$或$x=-1$，
即当x=3或x=-1时，y=3。
（3）由图像可知，抛物线与x轴交于点(0,0)和(2,0)，且开口向上：
①当图像在x轴上方时，y＞0，对应x的范围是$x＜0$或$x＞2$；
②当图像在x轴下方时，y＜0，对应x的范围是$0＜x＜2$；
③当图像与x轴相交时，y=0，对应x的取值是$x=0$或$x=2$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x$
(2) $x=-1$或$x=3$
(3) ①$x＜0$或$x＞2$；②$0＜x＜2$；③$x=0$或$x=2$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数与一元二次方程
3. 二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查顶点式求解析式、二次函数与方程及不等式的关系，解题时结合数形结合的方法能快速确定自变量的取值范围，需熟练掌握相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
（1）已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，再代入已知点坐标求解参数a，即可得到抛物线表达式；（2）求y=3时x的值，可令函数值等于3，解一元二次方程即可，也可结合图像直接读取；（3）根据抛物线与x轴的交点坐标，结合开口方向，观察图像不同位置对应的x的取值范围，即可得到y＞0、y＜0、y=0时x的取值。
【解析】
（1）
∵抛物线顶点为M(1,-1)，
∴设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2-1$，
将点A(2,0)代入解析式得：$a×(2-1)^2-1=0$，
解得$a=1$，
∴解析式为$y=(x-1)^2-1=x^2-2x$。
（2）令$y=3$，则$x^2-2x=3$，
整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x=3$或$x=-1$，
即当x=3或x=-1时，y=3。
（3）由图像可知，抛物线与x轴交于点(0,0)和(2,0)，且开口向上：
①当图像在x轴上方时，y＞0，对应x的范围是$x＜0$或$x＞2$；
②当图像在x轴下方时，y＜0，对应x的范围是$0＜x＜2$；
③当图像与x轴相交时，y=0，对应x的取值是$x=0$或$x=2$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x$
(2) $x=-1$或$x=3$
(3) ①$x＜0$或$x＞2$；②$0＜x＜2$；③$x=0$或$x=2$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数与一元二次方程
3. 二次函数图像性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查顶点式求解析式、二次函数与方程及不等式的关系，解题时结合数形结合的方法能快速确定自变量的取值范围，需熟练掌握相关基础知识点。
【难度系数】
0.8
