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8. 某网店为推销某种农副产品，在试销售的 30天中，第 $ x $ 天($ 1 ≤ x ≤ 30 $ 且 $ x $ 为整数)的售价为 $ y $(元/kg)。当 $ 1 ≤ x ≤ 20 $ 时，$ y = -x + 30 $；当 $ 20 ＜ x ≤ 30 $ 时，$ y = 15 $。销量 $ z $(kg)与 $ x $ 的关系式为 $ z = x + 10 $，设第 $ x $ 天的销售额为 $ M $(元)。
(1)写出第 $ x $ 天的销售额 $ M $ 与 $ x $ 之间的关系式；
(2)在试销售的 30 天中，共有多少天销售额超过 500 元？
(1)写出第 $ x $ 天的销售额 $ M $ 与 $ x $ 之间的关系式；
(2)在试销售的 30 天中，共有多少天销售额超过 500 元？
答案
8. 解:(1)由题意知，当 $ 1≤ x≤20 $ 时，$ y=-x+30 $，
所以 $ M=(x+10)(-x+30)=-x^2+20x+300 $。
当 $ 20＜x≤30 $ 时，$ y=15 $，
所以 $ M=15(x+10)=15x+150 $。
所以 $ M=\begin{cases}-x^2+20x+300(1≤ x≤20),\\15x+150(20＜x≤30)。\end{cases}$
(2)由题意知，当 $ 1≤ x≤20 $ 时，
$ M=-x^2+20x+300=-(x-10)^2+400 $。
因为 $ -1＜0 $，所以当 $ x=10 $ 时，$ M $ 取最大值，为 400，
所以此时销售额不超过 500 元。
当 $ 20＜x≤30 $ 时，令 $ M=15x+150＞500 $，所以 $ x＞23\frac{1}{3} $，
且 $ x $ 为正整数，所以共有 7 天销售额超过 500 元。
所以 $ M=(x+10)(-x+30)=-x^2+20x+300 $。
当 $ 20＜x≤30 $ 时，$ y=15 $，
所以 $ M=15(x+10)=15x+150 $。
所以 $ M=\begin{cases}-x^2+20x+300(1≤ x≤20),\\15x+150(20＜x≤30)。\end{cases}$
(2)由题意知，当 $ 1≤ x≤20 $ 时，
$ M=-x^2+20x+300=-(x-10)^2+400 $。
因为 $ -1＜0 $，所以当 $ x=10 $ 时，$ M $ 取最大值，为 400，
所以此时销售额不超过 500 元。
当 $ 20＜x≤30 $ 时，令 $ M=15x+150＞500 $，所以 $ x＞23\frac{1}{3} $，
且 $ x $ 为正整数，所以共有 7 天销售额超过 500 元。
解析
【分析】
本题考查函数在实际销售问题中的应用，解题思路如下：1. 明确销售额计算公式：销售额=售价×销量，题目中售价是关于x的分段函数，销量表达式统一，因此需分$1≤x≤20$和$20＜x≤30$两段分别计算销售额$M$，整理得到$M$与$x$的分段函数关系式。2. 求解销售额超过500元的天数时，同样分段讨论：先对$1≤x≤20$对应的二次函数求最大值，判断该区间是否存在$M＞500$的情况；再对$20＜x≤30$对应的一次函数列不等式求解，结合$x$为正整数的条件统计符合要求的天数即可。
【解析】
(1) 根据“销售额=售价×销量”，分情况计算：
① 当 $1≤ x≤20$ 时，售价 $y=-x+30$，销量 $z=x+10$，
因此 $M = y· z = (x+10)(-x+30) = -x^2 + 20x + 300$；
② 当 $20＜x≤30$ 时，售价 $y=15$，销量 $z=x+10$，
因此 $M = y· z = 15(x+10) = 15x + 150$。
综上，销售额$M$与$x$的关系式为：
$M=\begin{cases}-x^2+20x+300&(1≤ x≤20且x为整数)\\15x+150&(20＜x≤30且x为整数)\end{cases}$
(2) 分两段求解$M＞500$的$x$的取值：
① 当 $1≤ x≤20$ 时，将$M$的表达式配方得：
$M=-x^2+20x+300=-(x-10)^2+400$，
由于二次项系数$-1＜0$，因此该二次函数开口向下，当$x=10$时$M$取得最大值$400$，$400＜500$，因此该区间内没有销售额超过500元的天数。
② 当 $20＜x≤30$ 时，令 $15x + 150 ＞ 500$，
解不等式得：$15x ＞ 350$，即 $x ＞ 23\frac{1}{3}$，
结合$x$的取值范围$20＜x≤30$且$x$为整数，可知$x$可取24、25、26、27、28、29、30，共7个值。
【答案】
(1) $M=\begin{cases}-x^2+20x+300&(1≤ x≤20且x为整数)\\15x+150&(20＜x≤30且x为整数)\end{cases}$
(2) 7天
【知识点】
分段函数应用，二次函数最值，不等式求解
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的实际应用，解题的核心是根据自变量的取值范围分段讨论，注意不要忽略$x$为正整数的隐含条件，属于函数实际应用的常规题型，能够锻炼学生分类讨论的能力。
【难度系数】
0.7
本题考查函数在实际销售问题中的应用，解题思路如下：1. 明确销售额计算公式：销售额=售价×销量，题目中售价是关于x的分段函数，销量表达式统一，因此需分$1≤x≤20$和$20＜x≤30$两段分别计算销售额$M$，整理得到$M$与$x$的分段函数关系式。2. 求解销售额超过500元的天数时，同样分段讨论：先对$1≤x≤20$对应的二次函数求最大值，判断该区间是否存在$M＞500$的情况；再对$20＜x≤30$对应的一次函数列不等式求解，结合$x$为正整数的条件统计符合要求的天数即可。
【解析】
(1) 根据“销售额=售价×销量”，分情况计算：
① 当 $1≤ x≤20$ 时，售价 $y=-x+30$，销量 $z=x+10$，
因此 $M = y· z = (x+10)(-x+30) = -x^2 + 20x + 300$；
② 当 $20＜x≤30$ 时，售价 $y=15$，销量 $z=x+10$，
因此 $M = y· z = 15(x+10) = 15x + 150$。
综上，销售额$M$与$x$的关系式为：
$M=\begin{cases}-x^2+20x+300&(1≤ x≤20且x为整数)\\15x+150&(20＜x≤30且x为整数)\end{cases}$
(2) 分两段求解$M＞500$的$x$的取值：
① 当 $1≤ x≤20$ 时，将$M$的表达式配方得：
$M=-x^2+20x+300=-(x-10)^2+400$，
由于二次项系数$-1＜0$，因此该二次函数开口向下，当$x=10$时$M$取得最大值$400$，$400＜500$，因此该区间内没有销售额超过500元的天数。
② 当 $20＜x≤30$ 时，令 $15x + 150 ＞ 500$，
解不等式得：$15x ＞ 350$，即 $x ＞ 23\frac{1}{3}$，
结合$x$的取值范围$20＜x≤30$且$x$为整数，可知$x$可取24、25、26、27、28、29、30，共7个值。
【答案】
(1) $M=\begin{cases}-x^2+20x+300&(1≤ x≤20且x为整数)\\15x+150&(20＜x≤30且x为整数)\end{cases}$
(2) 7天
【知识点】
分段函数应用，二次函数最值，不等式求解
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数的实际应用，解题的核心是根据自变量的取值范围分段讨论，注意不要忽略$x$为正整数的隐含条件，属于函数实际应用的常规题型，能够锻炼学生分类讨论的能力。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况进行了如下调查，结果发现每月销售量$ y $（瓶）与销售单价$ x $（元）满足一次函数关系。所调查的部分数据如表5-3-2。（已知每瓶进价为4元，每瓶利润＝销售单价－进价）
表5-3-2
(1)求$ y $关于$ x $的函数表达式。
(2)该新型饮料每月的总利润为$ w $（元），求$ w $关于$ x $的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元。
(3)由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价。此时超市发现进价提高了$ a $元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问中的函数关系，当销售单价不超过14元时，利润$ w $随着$ x $的增大而增大，求$ a $的最小值。
9. 某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况进行了如下调查，结果发现每月销售量$ y $（瓶）与销售单价$ x $（元）满足一次函数关系。所调查的部分数据如表5-3-2。（已知每瓶进价为4元，每瓶利润＝销售单价－进价）
表5-3-2
(1)求$ y $关于$ x $的函数表达式。
(2)该新型饮料每月的总利润为$ w $（元），求$ w $关于$ x $的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元。
(3)由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价。此时超市发现进价提高了$ a $元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问中的函数关系，当销售单价不超过14元时，利润$ w $随着$ x $的增大而增大，求$ a $的最小值。
答案
9. 解:(1)设 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y=kx+b(k≠0) $。
由题意得 $\begin{cases}150=5k+b,\\140=6k+b,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-10,\\b=200。\end{cases}$
所以 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y=-10x+200 $。
(2)由题意得，$ w=(x-4)(-10x+200)=-10x^2+240x-800=-10(x-12)^2+640 $，
因为 $ -10＜0 $，所以当 $ x=12 $ 时，$ w $ 有最大值 640。
所以 $ w $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ w=-10x^2+240x-800 $，销售单价为 12 元时利润最大，最大利润是 640 元。
(3)由题意得，
$ w=(x-4-a)(-10x+200) $
$ =-10x^2+(240+10a)x-800-200a $，
二次函数图象的对称轴为直线 $ x=12+\frac{a}{2} $，
因为 $ -10＜0 $，当销售单价不超过 14 元时，利润 $ w $ 随着 $ x $ 的增大而增大，所以 $ 12+\frac{a}{2}≥14 $，所以 $ a≥4 $，所以 $ a $ 的最小值为 4。
由题意得 $\begin{cases}150=5k+b,\\140=6k+b,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=-10,\\b=200。\end{cases}$
所以 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y=-10x+200 $。
(2)由题意得，$ w=(x-4)(-10x+200)=-10x^2+240x-800=-10(x-12)^2+640 $，
因为 $ -10＜0 $，所以当 $ x=12 $ 时，$ w $ 有最大值 640。
所以 $ w $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ w=-10x^2+240x-800 $，销售单价为 12 元时利润最大，最大利润是 640 元。
(3)由题意得，
$ w=(x-4-a)(-10x+200) $
$ =-10x^2+(240+10a)x-800-200a $，
二次函数图象的对称轴为直线 $ x=12+\frac{a}{2} $，
因为 $ -10＜0 $，当销售单价不超过 14 元时，利润 $ w $ 随着 $ x $ 的增大而增大，所以 $ 12+\frac{a}{2}≥14 $，所以 $ a≥4 $，所以 $ a $ 的最小值为 4。
解析
【分析】
(1) 已知y是x的一次函数，采用待定系数法求解：设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入表格中两组x、y的对应值得到二元一次方程组，解出k、b即可得到函数表达式。
(2) 总利润=单瓶利润×销售量，单瓶利润为$(x-4)$元，销售量为第(1)问求出的y，代入后整理得到w关于x的二次函数，将其配方为顶点式，结合二次项系数小于0、开口向下的性质，即可求出最大利润及对应单价。
(3) 进价提高a元后，单瓶利润变为$(x-4-a)$元，结合销售量得到新的二次函数，先求函数对称轴；由于二次函数开口向下，要使$x≤14$时w随x增大而增大，对称轴需在$x=14$或其右侧，据此列不等式求解即可得到a的最小值。
【解析】
(1) 设$ y $关于$ x $的函数表达式为 $ y=kx+b(k≠0) $，由题意得：
$\begin{cases}150=5k+b\\140=6k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10\\b=200\end{cases}$
所以$ y $关于$ x $的函数表达式为 $ y=-10x+200 $。
(2) 由题意得：
$w=(x-4)(-10x+200)=-10x^2+240x-800=-10(x-12)^2+640$
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，$\therefore$当$ x=12 $时，$ w $有最大值640。
(3) 由题意得，进价提高a元后：
$w=(x-4-a)(-10x+200)=-10x^2+(240+10a)x-800-200a$
该二次函数图象的对称轴为直线 $ x=12+\frac{a}{2} $，
$\because -10＜0$，且当销售单价不超过14元时，利润$ w $随着$ x $的增大而增大，
$\therefore 12+\frac{a}{2}≥14$，解得$a≥4$，即$a$的最小值为4。
【答案】
(1) $y=-10x+200$
(2) $w=-10x^2+240x-800$，销售单价为12元时利润最大，最大利润是640元
(3) $a$的最小值为4
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二次函数利润最值，二次函数增减性
【点评】
本题是销售类典型应用题，融合了一次函数、二次函数的性质应用，需要结合实际意义列函数关系式，重点考查对二次函数增减性、最值的理解和运用。
【难度系数】
0.65
(1) 已知y是x的一次函数，采用待定系数法求解：设解析式为$y=kx+b(k≠0)$，代入表格中两组x、y的对应值得到二元一次方程组，解出k、b即可得到函数表达式。
(2) 总利润=单瓶利润×销售量，单瓶利润为$(x-4)$元，销售量为第(1)问求出的y，代入后整理得到w关于x的二次函数，将其配方为顶点式，结合二次项系数小于0、开口向下的性质，即可求出最大利润及对应单价。
(3) 进价提高a元后，单瓶利润变为$(x-4-a)$元，结合销售量得到新的二次函数，先求函数对称轴；由于二次函数开口向下，要使$x≤14$时w随x增大而增大，对称轴需在$x=14$或其右侧，据此列不等式求解即可得到a的最小值。
【解析】
(1) 设$ y $关于$ x $的函数表达式为 $ y=kx+b(k≠0) $，由题意得：
$\begin{cases}150=5k+b\\140=6k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10\\b=200\end{cases}$
所以$ y $关于$ x $的函数表达式为 $ y=-10x+200 $。
(2) 由题意得：
$w=(x-4)(-10x+200)=-10x^2+240x-800=-10(x-12)^2+640$
$\because -10＜0$，二次函数开口向下，$\therefore$当$ x=12 $时，$ w $有最大值640。
(3) 由题意得，进价提高a元后：
$w=(x-4-a)(-10x+200)=-10x^2+(240+10a)x-800-200a$
该二次函数图象的对称轴为直线 $ x=12+\frac{a}{2} $，
$\because -10＜0$，且当销售单价不超过14元时，利润$ w $随着$ x $的增大而增大，
$\therefore 12+\frac{a}{2}≥14$，解得$a≥4$，即$a$的最小值为4。
【答案】
(1) $y=-10x+200$
(2) $w=-10x^2+240x-800$，销售单价为12元时利润最大，最大利润是640元
(3) $a$的最小值为4
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，二次函数利润最值，二次函数增减性
【点评】
本题是销售类典型应用题，融合了一次函数、二次函数的性质应用，需要结合实际意义列函数关系式，重点考查对二次函数增减性、最值的理解和运用。
【难度系数】
0.65
10.【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量$x_0=m$时，其对应的函数值$y_0=m$，那么我们称该函数为“不动点函数”，点$(m,m)$为该函数图象上的一个不动点。例如：在函数$y=x^2$中，当$x=1$时，$y=1$，则我们称函数$y=x^2$为“不动点函数”，点$(1,1)$为该函数图象上的一个不动点。某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究。
【探究1】
(1)对一次函数$y=kx+b$进行探究后，得出下列结论：
①$y=x+2$是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②$y=-3x+2$是“不动点函数”，且不动点是$(\dfrac{1}{2},0)$；
③$y=x$是“不动点函数”，且有无数个不动点。
以上结论中，正确的是________。（填序号）
(2)若一次函数$y=kx+b$是“不动点函数”，请直接写出$k,b$应满足的条件。
【探究2】
对二次函数$y=ax^2+bx+c$进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答。
(3)若抛物线$y=x^2-2bx+c$的顶点为该函数图象上的一个不动点，求$b,c$满足的关系式。
【探究3】
(4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件$x$元出售，可卖出$(12-x)$件，获得利润$y$元。请写出$y$关于$x$的函数表达式，判断该函数是不是“不动点函数”，并说明理由。若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义。
【探究1】
(1)对一次函数$y=kx+b$进行探究后，得出下列结论：
①$y=x+2$是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②$y=-3x+2$是“不动点函数”，且不动点是$(\dfrac{1}{2},0)$；
③$y=x$是“不动点函数”，且有无数个不动点。
以上结论中，正确的是________。（填序号）
(2)若一次函数$y=kx+b$是“不动点函数”，请直接写出$k,b$应满足的条件。
【探究2】
对二次函数$y=ax^2+bx+c$进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答。
(3)若抛物线$y=x^2-2bx+c$的顶点为该函数图象上的一个不动点，求$b,c$满足的关系式。
【探究3】
(4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件$x$元出售，可卖出$(12-x)$件，获得利润$y$元。请写出$y$关于$x$的函数表达式，判断该函数是不是“不动点函数”，并说明理由。若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义。
答案
10. 解:(1)③
(2)因为一次函数 $ y=kx+b $ 是“不动点函数”，
所以代入 $(m,m)$，得 $ m=mk+b $，
整理得 $ (1-k)m=b $。
当 $ 1-k≠0 $，即 $ k≠1 $ 时，$ b $ 为任意实数；
当 $ 1-k=0 $，即 $ k=1 $ 时，$ b=0 $。
综上，当 $ k≠1 $ 且 $ k≠0 $ 时，$ b $ 为任意实数；当 $ k=1 $ 时，$ b=0 $。
(3)由抛物线 $ y=x^2-2bx+c=(x-b)^2+c-b^2 $ 得，
顶点坐标为 $ (b,c-b^2) $。
因为抛物线 $ y=x^2-2bx+c $ 的顶点为该函数图象上的一个不动点，所以 $ b=c-b^2 $。
(4)根据题意得，$ y=(x-6)(12-x)=-x^2+18x-72 $，
所以令 $ x=-x^2+18x-72 $，整理得 $ x^2-17x+72=0 $，
解得 $ x_1=8,x_2=9 $。
所以该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等。
(2)因为一次函数 $ y=kx+b $ 是“不动点函数”，
所以代入 $(m,m)$，得 $ m=mk+b $，
整理得 $ (1-k)m=b $。
当 $ 1-k≠0 $，即 $ k≠1 $ 时，$ b $ 为任意实数；
当 $ 1-k=0 $，即 $ k=1 $ 时，$ b=0 $。
综上，当 $ k≠1 $ 且 $ k≠0 $ 时，$ b $ 为任意实数；当 $ k=1 $ 时，$ b=0 $。
(3)由抛物线 $ y=x^2-2bx+c=(x-b)^2+c-b^2 $ 得，
顶点坐标为 $ (b,c-b^2) $。
因为抛物线 $ y=x^2-2bx+c $ 的顶点为该函数图象上的一个不动点，所以 $ b=c-b^2 $。
(4)根据题意得，$ y=(x-6)(12-x)=-x^2+18x-72 $，
所以令 $ x=-x^2+18x-72 $，整理得 $ x^2-17x+72=0 $，
解得 $ x_1=8,x_2=9 $。
所以该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等。
解析
【分析】
解题核心是紧扣“不动点函数”的定义：函数存在自变量$x$使得函数值$y=x$，即可转化为方程$y=x$有实数解来逐一求解各小问。
(1) 对三个结论逐一验证：将每个一次函数代入$y=x$解方程，判断解的情况是否符合结论描述即可。
(2) 一次函数$y=kx+b$（$k≠0$，一次函数定义）是不动点函数，即方程$x=kx+b$有实数解，整理为$(1-k)x=b$后分$1-k≠0$、$1-k=0$两种情况讨论，即可得到$k$、$b$的取值条件。
(3) 先通过配方法求出二次函数的顶点坐标，再根据不动点定义“顶点横纵坐标相等”代入列式，即可得到$b$、$c$的关系式。
(4) 先根据“总利润=每件利润×销售量”列出利润的函数表达式，再代入$y=x$得到一元二次方程，判断方程有实根即可确定是不动点函数，最后结合销售场景解释根的实际意义即可。
【解析】
(1) 逐一验证结论：
① 对$y=x+2$，令$x=x+2$，得$0=2$，方程无解，不是不动点函数，①错误；
② 对$y=-3x+2$，令$x=-3x+2$，解得$x=\frac{1}{2}$，对应$y=\frac{1}{2}$，不动点为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，不是$(\frac{1}{2},0)$，②错误；
③ 对$y=x$，任意$x$都满足$y=x$，有无数个不动点，③正确。
(2)
∵ 一次函数$y=kx+b$是“不动点函数”，
∴ 存在$x$使得$x=kx+b$，整理得$(1-k)x=b$。
∵ 一次函数中$k≠0$，
∴ 当$1-k≠0$即$k≠1$时，方程有唯一解$x=\frac{b}{1-k}$，此时$b$为任意实数；
当$1-k=0$即$k=1$时，方程变为$0·x=b$，仅当$b=0$时方程有无数解。
(3) 将抛物线解析式配方得：$y=x^2-2bx+c=(x-b)^2 + c - b^2$，
∴ 抛物线的顶点坐标为$(b, c - b^2)$。
∵ 顶点是函数的不动点，
∴ 顶点的横纵坐标相等，即$b = c - b^2$。
(4) 根据总利润的计算公式：
$y = (每件售价 - 每件进价)×销售量 = (x - 6)(12 - x)$，
展开得$y = -x^2 + 18x - 72$。
令$y=x$，得$x = -x^2 + 18x - 72$，
整理得$x^2 - 17x + 72 = 0$，
解得$x_1=8$，$x_2=9$，方程有两个不相等的实根，因此该函数是“不动点函数”。
实际意义：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润的数值与销售单价的数值相等。
【答案】
(1) $\boxed{③}$
(2) 当$k≠1$且$k≠0$时，$b$为任意实数；当$k=1$时，$b=0$
(3) $\boxed{c = b^2 + b}$（或$b=c-b^2$）
(4) $y=-x^2+18x-72$，是“不动点函数”，不动点的实际意义为：当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价数值相等
【知识点】
新定义问题求解；二次函数顶点式；一元二次方程的应用
【点评】
本题以新定义“不动点函数”为载体，综合考查一次函数、二次函数的性质与方程思想的应用，题型灵活创新，既要求学生准确理解新定义，也考查学生将新知识迁移到熟悉的函数、方程问题中解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
解题核心是紧扣“不动点函数”的定义：函数存在自变量$x$使得函数值$y=x$，即可转化为方程$y=x$有实数解来逐一求解各小问。
(1) 对三个结论逐一验证：将每个一次函数代入$y=x$解方程，判断解的情况是否符合结论描述即可。
(2) 一次函数$y=kx+b$（$k≠0$，一次函数定义）是不动点函数，即方程$x=kx+b$有实数解，整理为$(1-k)x=b$后分$1-k≠0$、$1-k=0$两种情况讨论，即可得到$k$、$b$的取值条件。
(3) 先通过配方法求出二次函数的顶点坐标，再根据不动点定义“顶点横纵坐标相等”代入列式，即可得到$b$、$c$的关系式。
(4) 先根据“总利润=每件利润×销售量”列出利润的函数表达式，再代入$y=x$得到一元二次方程，判断方程有实根即可确定是不动点函数，最后结合销售场景解释根的实际意义即可。
【解析】
(1) 逐一验证结论：
① 对$y=x+2$，令$x=x+2$，得$0=2$，方程无解，不是不动点函数，①错误；
② 对$y=-3x+2$，令$x=-3x+2$，解得$x=\frac{1}{2}$，对应$y=\frac{1}{2}$，不动点为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，不是$(\frac{1}{2},0)$，②错误；
③ 对$y=x$，任意$x$都满足$y=x$，有无数个不动点，③正确。
(2)
∵ 一次函数$y=kx+b$是“不动点函数”，
∴ 存在$x$使得$x=kx+b$，整理得$(1-k)x=b$。
∵ 一次函数中$k≠0$，
∴ 当$1-k≠0$即$k≠1$时，方程有唯一解$x=\frac{b}{1-k}$，此时$b$为任意实数；
当$1-k=0$即$k=1$时，方程变为$0·x=b$，仅当$b=0$时方程有无数解。
(3) 将抛物线解析式配方得：$y=x^2-2bx+c=(x-b)^2 + c - b^2$，
∴ 抛物线的顶点坐标为$(b, c - b^2)$。
∵ 顶点是函数的不动点，
∴ 顶点的横纵坐标相等，即$b = c - b^2$。
(4) 根据总利润的计算公式：
$y = (每件售价 - 每件进价)×销售量 = (x - 6)(12 - x)$，
展开得$y = -x^2 + 18x - 72$。
令$y=x$，得$x = -x^2 + 18x - 72$，
整理得$x^2 - 17x + 72 = 0$，
解得$x_1=8$，$x_2=9$，方程有两个不相等的实根，因此该函数是“不动点函数”。
实际意义：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润的数值与销售单价的数值相等。
【答案】
(1) $\boxed{③}$
(2) 当$k≠1$且$k≠0$时，$b$为任意实数；当$k=1$时，$b=0$
(3) $\boxed{c = b^2 + b}$（或$b=c-b^2$）
(4) $y=-x^2+18x-72$，是“不动点函数”，不动点的实际意义为：当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价数值相等
【知识点】
新定义问题求解；二次函数顶点式；一元二次方程的应用
【点评】
本题以新定义“不动点函数”为载体，综合考查一次函数、二次函数的性质与方程思想的应用，题型灵活创新，既要求学生准确理解新定义，也考查学生将新知识迁移到熟悉的函数、方程问题中解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
