1.已知AB，CD是$\odot O$的两条弦，下列说法：①若$∠ AOB=∠ COD$，则$AB=CD$；②若$AB=CD$，则$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；③若$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，则$∠ AOB=∠ COD$.其中正确的是().

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

1.D

【分析】
这道题考查同圆中圆心角、弧、弦三者的等量关系，解题首先确定前提：AB、CD都是⊙O的弦，讨论范围为同圆，符合三者关系定理的适用条件。接下来只需结合定理逐一判断三个说法即可：①相等的圆心角对应相等的弦，可判断①正确；②相等的弦对应相等的弧（初中阶段默认该类题目中所指弧为对应劣弧），可判断②正确；③相等的弧对应相等的圆心角，可判断③正确，最终确定正确选项。
【解析】
已知AB、CD均为⊙O的弦，所有讨论均在同圆中进行，满足圆心角、弧、弦关系定理的适用条件：
1. 对说法①：根据同圆中相等的圆心角所对的弦相等，已知∠AOB=∠COD（圆心角相等），因此AB=CD，①正确；
2. 对说法②：根据同圆中相等的弦所对的劣弧相等，本题默认$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CD}$均为劣弧，已知AB=CD，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，②正确；
3. 对说法③：根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，因此∠AOB=∠COD，③正确。
综上，①②③均正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆心角弧弦的关系
【点评】
本题属于圆的性质的基础考查题，解题核心是明确圆心角、弧、弦的等价关系仅在同圆或等圆中成立，本题隐含同圆的前提，直接利用关系判断即可。
【难度系数】
0.8

2.如图，AB，CD是$\odot O$的直径，弦$CE ⊥ AB$，垂足为H，则下列结论不成立的是().

A.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$
B.$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$
C.$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$
D.$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$

2.C

【分析】
解题时先结合已知条件联想圆的相关性质：首先由CE垂直于直径AB，可运用垂径定理得到弧的等量关系，判断A、D选项是否成立；再利用直径形成的对顶角相等，结合“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”，推导得到弧的等量关系，判断B选项是否成立；最后验证C选项是否有对应的成立依据，即可选出答案。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
1. 已知AB是$\odot O$的直径，且$CE ⊥ AB$，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BE}$，因此A、D结论成立。
2. 因为AB、CD都是$\odot O$的直径，$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，故$∠ AOC=∠ BOD$。同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，结合$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$可推出$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BD}$，故B结论成立。
3. 题干中没有能证明$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$的条件，该结论无法推出，因此C不成立。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，需要熟练掌握垂径定理和同圆中圆心角与弧的对应关系，结合图形特征逐一推导即可完成判断。
【难度系数】
0.7

3.下列各图中，$∠ 1=∠ 2$，可以得到$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$相等的是().

3.D

【分析】
要判断哪一选项中$∠1=∠2$可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，首先要明确弧相等的判定条件：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。解题时首先判断$∠1$、$∠2$是否为圆心角（顶点在圆心的角），再判断角所在的圆是否为同圆或等圆，逐一排除不符合要求的选项即可。
【解析】
依据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”这一定理分析各选项：
选项A：$∠1$、$∠2$的顶点均不在圆心$O$，不属于圆心角，即使角度相等，也无法推出所对的弧相等，排除；
选项B：$∠1$的顶点不在圆心$O$，不是圆心角，不符合定理的前提要求，排除；
选项C：$∠1$、$∠2$所在的圆是同心圆，半径不相等，不属于同圆或等圆，即使两个角是相等的圆心角，所对的弧也不相等，排除；
选项D：$∠1$和$∠2$的顶点都在圆心$O$，属于同圆中的圆心角，已知$∠1=∠2$，根据定理可推出它们所对的$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
圆心角的定义，圆心角与弧的关系，等弧的判定
【点评】
本题主要考查圆中圆心角和对应弧的关系应用，解题的关键是牢记弧相等的两个前提：一是对应的角为圆心角，二是角所在的圆为同圆或等圆，两个条件缺一不可，是圆有关性质部分的基础常考题。
【难度系数】
0.7

4.如图,在$\odot O$中,若C是$\overset{\frown}{AB}$的中点,$∠ A=50°$,则$∠ BOC$的度数是().

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$60°$

4.A

【分析】
首先，⊙O中OA、OB都是半径，可得OA=OB，△OAB为等腰三角形，已知∠A的度数，可先求出△OAB的顶角∠AOB的度数；再结合C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据等弧对应的圆心角相等，可知OC平分∠AOB，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB，△OAB为等腰三角形
∴∠B=∠A=50°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠A-∠B=180°-50°-50°=80°
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
∴∠BOC=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×80°=40°$
故本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的性质相关的基础题，将等腰三角形的性质和圆心角、弧的关系结合考查，解题的关键是先求出∠AOB的度数，再利用弧中点的性质推导角的倍分关系。
【难度系数】
0.8

5.如图,点$A,B,C$在$\odot O$上,且$∠ AOB=2∠ BOC$,则下列结论成立的是().

A.$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$
B.$AB=2BC$
C.$\overset{\frown}{AB}＞2\overset{\frown}{BC}$
D.$AB＞2BC$

5.A

【分析】
解题时先结合同圆中圆心角与弧的对应关系判断弧的大小关系，再通过作辅助线拆分弧，结合三角形三边关系判断弦的大小关系即可。第一步，根据圆心角和所对弧的度数相等，由已知的∠AOB=2∠BOC推导弧AB和弧BC的关系；第二步，拆分弧AB为两段等弧，对应得到相等的弦，再用三角形三边关系判断弦AB和2BC的大小，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
在同圆中，圆心角的度数等于它所对弧的度数。
∵∠AOB=2∠BOC，∠AOB对应$\overset{\frown}{AB}$，∠BOC对应$\overset{\frown}{BC}$
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数=2×$\overset{\frown}{BC}$的度数，即$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$，故A选项正确，C选项错误。
取$\overset{\frown}{AB}$的中点D，连接AD、BD，
则$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$，同圆中等弧对等弦，
∴AD=BD=BC。
在△ABD中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，得AB＜AD+BD=BC+BC=2BC，即AB＜2BC，故B、D选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
圆心角与弧的关系，同圆中弧弦的关系，三角形三边关系
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，易错点是混淆圆心角、弧、弦的关系，不能直接由圆心角的倍数关系得到弦的同倍数关系，需结合三角形三边关系验证弦的大小。
【难度系数】
0.7

6.如图，在$\odot O$中，$AC=BD$，$∠ 1=28°$，则$∠ 2$的度数为。

6.28°

【分析】
本题可结合同圆中弦与圆心角的关系求解。首先回忆相关性质：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等。先由AC=BD推出它们所对的圆心角相等，再观察两个圆心角的组成，发现都包含公共角∠BOC，通过角的和差运算消去公共角，即可得到∠1和∠2的数量关系，进而求出∠2的度数。
【解析】
∵ 在⊙O中，弦AC=BD，
∴ 弦AC、BD所对的圆心角相等，即$∠ AOC=∠ BOD$。
又
∵ $∠ AOC = ∠ 1 + ∠ BOC$，$∠ BOD = ∠ 2 + ∠ BOC$，
∴ $∠ 1 + ∠ BOC = ∠ 2 + ∠ BOC$，
等式两边同时减去$∠ BOC$，可得$∠ 2 = ∠ 1$。
已知$∠ 1=28°$，
∴ $∠ 2=28°$。
【答案】
$28°$
【知识点】
圆心角与弦的关系；角的和差运算
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题关键是熟练掌握同圆中相等的弦对应相等的圆心角这一性质，结合简单的角的和差推导即可得出结果，考查对基础性质的理解和运用能力。
【难度系数】
0.85

7.已知点A，B在$\odot O$上，$∠ AOB=120°$，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点.若$\odot O$的半径为2 cm，则弦AC的长是.

7.2 cm

【分析】
解题时首先从已知条件“C是$\overset{\frown}{AB}$的中点”入手，弧中点的核心性质是平分对应弧、平分弧对应的圆心角，因此优先考虑连接辅助线OC，将已知的∠AOB拆分得到∠AOC的度数；再结合圆的半径相等，可判断△AOC的形状，进而求出弦AC的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$，
∵$∠ AOB=120°$，
∴$∠ AOC=60°$，
又
∵OA、OC都是$\odot O$的半径，$\odot O$半径为2cm，
∴OA=OC=2cm，
∴△AOC是有一个内角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴AC=OA=2cm。
【答案】
2 cm
【知识点】
弧与圆心角的关系；等边三角形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是正确作出辅助线OC，将弧中点的性质与特殊三角形的判定结合，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8