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某冷冻厂的一个冷库现在的室温是$-2°\mathrm{C}$，现在一批食品需要在$-30°\mathrm{C}$下冷藏，如果每小时能升温$-4°\mathrm{C}$，需要几小时才能达到所需温度？
答案
7 h.
解析
【分析】
解题时首先要明确正负数表示相反意义的量，“升温$-4℃$”实际是每小时降温$4℃$，即每小时温度变化量为$-4℃$。第一步先计算从当前室温到目标温度的总变化量：用目标温度减去初始室温，得到总共需要改变的温度；第二步用总温度变化量除以每小时的温度变化量，就能算出所需时间，计算时注意有理数运算的符号规则。
【解析】
解：先计算温度总变化量：
$(-30) - (-2) = -30 + 2 = -28(℃)$
已知每小时温度变化为$-4℃$，则所需时间为：
$(-28) ÷ (-4) = 7(h)$
【答案】
$\boldsymbol{7\ \mathrm{h}}$
【知识点】
正负数的实际意义、有理数的减法、有理数的除法
【点评】
本题结合生活实际场景考查有理数的运算，解题核心是正确理解正负数的相反意义，准确求出温度总变化量，运算时注意符号的处理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正负数表示相反意义的量，“升温$-4℃$”实际是每小时降温$4℃$，即每小时温度变化量为$-4℃$。第一步先计算从当前室温到目标温度的总变化量：用目标温度减去初始室温，得到总共需要改变的温度；第二步用总温度变化量除以每小时的温度变化量，就能算出所需时间，计算时注意有理数运算的符号规则。
【解析】
解：先计算温度总变化量：
$(-30) - (-2) = -30 + 2 = -28(℃)$
已知每小时温度变化为$-4℃$，则所需时间为：
$(-28) ÷ (-4) = 7(h)$
【答案】
$\boldsymbol{7\ \mathrm{h}}$
【知识点】
正负数的实际意义、有理数的减法、有理数的除法
【点评】
本题结合生活实际场景考查有理数的运算，解题核心是正确理解正负数的相反意义，准确求出温度总变化量，运算时注意符号的处理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
1. 如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为－1时，输出的数值为
-2
。答案
$-2$.
解析
【分析】
首先观察数值运算程序的运算顺序：输入x后，先计算x乘4的积，再用所得的积减去2，最后用得到的差除以3，即可得到输出值。我们可以先根据运算顺序列出对应的代数式，再将x=-1代入代数式，按照有理数的运算规则逐步计算就能得到结果。
【解析】
根据运算程序，输出的数值对应的表达式为$\frac{4x - 2}{3}$。
当$x=-1$时，代入表达式计算：
第一步：计算分子部分$4x-2$，将$x=-1$代入得$4×(-1) - 2 = -4 - 2 = -6$；
第二步：计算除法：$-6÷3 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
代数式求值，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的关键是理清运算程序的先后顺序，代入数值计算时注意符号的处理，按照有理数运算规则准确计算即可。
【难度系数】
0.9
首先观察数值运算程序的运算顺序：输入x后，先计算x乘4的积，再用所得的积减去2，最后用得到的差除以3，即可得到输出值。我们可以先根据运算顺序列出对应的代数式，再将x=-1代入代数式，按照有理数的运算规则逐步计算就能得到结果。
【解析】
根据运算程序，输出的数值对应的表达式为$\frac{4x - 2}{3}$。
当$x=-1$时，代入表达式计算：
第一步：计算分子部分$4x-2$，将$x=-1$代入得$4×(-1) - 2 = -4 - 2 = -6$；
第二步：计算除法：$-6÷3 = -2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
代数式求值，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的关键是理清运算程序的先后顺序，代入数值计算时注意符号的处理，按照有理数运算规则准确计算即可。
【难度系数】
0.9
2. 伍伍同学购买某种粽子，每5个花费15元，若花费45元则可购买这种粽子的个数为（
A.3
B.10
C.15
D.135
C
）A.3
B.10
C.15
D.135
答案
C.
解析
【分析】
这是一道生活场景的应用题，解题核心是理清购物问题中单价、数量、总价三者的数量关系。我们可以有两种思路：第一种，先根据“5个粽子花费15元”算出单个粽子的单价，再用总花费45元除以单价，得到可购买的粽子数量；第二种，先算出45元是15元的几倍，对应的粽子数量就是5个的几倍，两种思路都符合当前学段的运算要求。
【解析】
方法一：先求单个粽子的单价
单个粽子价格：$15÷5=3$（元/个）
45元可购买的粽子数量：$45÷3=15$（个）
方法二：先求总花费的倍数关系
45元是15元的倍数：$45÷15=3$
对应可购买的粽子数量：$3×5=15$（个）
【答案】
C
【知识点】
有理数的除法；总价问题
【点评】
本题是基础的运算应用题，只要熟练掌握乘除法的运算规则，理清三个数量之间的对应关系，就能轻松解题，计算时注意不要粗心出错即可。
【难度系数】
0.9
这是一道生活场景的应用题，解题核心是理清购物问题中单价、数量、总价三者的数量关系。我们可以有两种思路：第一种，先根据“5个粽子花费15元”算出单个粽子的单价，再用总花费45元除以单价，得到可购买的粽子数量；第二种，先算出45元是15元的几倍，对应的粽子数量就是5个的几倍，两种思路都符合当前学段的运算要求。
【解析】
方法一：先求单个粽子的单价
单个粽子价格：$15÷5=3$（元/个）
45元可购买的粽子数量：$45÷3=15$（个）
方法二：先求总花费的倍数关系
45元是15元的倍数：$45÷15=3$
对应可购买的粽子数量：$3×5=15$（个）
【答案】
C
【知识点】
有理数的除法；总价问题
【点评】
本题是基础的运算应用题，只要熟练掌握乘除法的运算规则，理清三个数量之间的对应关系，就能轻松解题，计算时注意不要粗心出错即可。
【难度系数】
0.9
3. $(-1)÷(-3)×\frac{1}{3}$的结果是 （
A.$-1$
B.$\frac{1}{9}$
C.$1$
D.$-9$
B
）A.$-1$
B.$\frac{1}{9}$
C.$1$
D.$-9$
答案
B.
解析
【分析】
本题考查有理数乘除混合运算，解题思路如下：首先明确乘除属于同级运算，需按照从左到右的顺序依次计算，不能优先计算右侧的乘法；其次计算每一步时，先根据“同号得正，异号得负”确定运算结果的符号，再计算绝对值的商或乘积即可。
【解析】
解：有理数乘除为同级运算，按从左到右的顺序计算：
1. 先计算除法：$(-1)÷(-3)$，根据有理数除法法则，同号两数相除得正，再将绝对值相除，可得$(-1)÷(-3)=\frac{1}{3}$；
2. 再计算乘法：$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘除混合运算、有理数除法法则、有理数乘法法则
【点评】
本题是基础运算类题目，易错点是违背运算顺序先计算后两个数的乘法，导致结果出错，做题时要牢记同级运算从左到右的运算规则，同时准确判断运算结果的符号。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数乘除混合运算，解题思路如下：首先明确乘除属于同级运算，需按照从左到右的顺序依次计算，不能优先计算右侧的乘法；其次计算每一步时，先根据“同号得正，异号得负”确定运算结果的符号，再计算绝对值的商或乘积即可。
【解析】
解：有理数乘除为同级运算，按从左到右的顺序计算：
1. 先计算除法：$(-1)÷(-3)$，根据有理数除法法则，同号两数相除得正，再将绝对值相除，可得$(-1)÷(-3)=\frac{1}{3}$；
2. 再计算乘法：$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘除混合运算、有理数除法法则、有理数乘法法则
【点评】
本题是基础运算类题目，易错点是违背运算顺序先计算后两个数的乘法，导致结果出错，做题时要牢记同级运算从左到右的运算规则，同时准确判断运算结果的符号。
【难度系数】
0.8
4. 下列运算有错误的是（
A.$\frac{1}{3} ÷ (-3) = 3 × (-3)$
B.$-5 ÷ (-\frac{1}{2}) = -5 × (-2)$
C.$8 - (-2) = 8 + 2$
D.$2 - 7 = (+2) + (-7)$
A
）A.$\frac{1}{3} ÷ (-3) = 3 × (-3)$
B.$-5 ÷ (-\frac{1}{2}) = -5 × (-2)$
C.$8 - (-2) = 8 + 2$
D.$2 - 7 = (+2) + (-7)$
答案
A.
解析
【分析】
本题要求选出运算错误的选项，解题核心是熟练掌握有理数的除法法则和减法法则：1. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即$a÷ b = a× \frac{1}{b}（b≠0）$；2. 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即$a-b=a+(-b)$。我们只需要用这两个法则逐一验证每个选项的运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据有理数除法法则，$\frac{1}{3}÷(-3)=\frac{1}{3}×(-\frac{1}{3})$，而选项中写为$3×(-3)$，运算错误，符合题意。
选项B：$-\frac{1}{2}$的倒数是$-2$，所以$-5÷(-\frac{1}{2})=-5×(-2)$，运算正确，不符合题意。
选项C：根据有理数减法法则，$8-(-2)=8+2$，运算正确，不符合题意。
选项D：根据有理数减法法则，$2-7=(+2)+(-7)$，运算正确，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
有理数的除法法则、有理数的减法法则
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查有理数运算中减法、除法的转化规则，做题时只要牢记法则，逐项核对即可快速得出答案，需注意除法转化为乘法时，要准确计算除数的倒数。
【难度系数】
0.9
本题要求选出运算错误的选项，解题核心是熟练掌握有理数的除法法则和减法法则：1. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即$a÷ b = a× \frac{1}{b}（b≠0）$；2. 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即$a-b=a+(-b)$。我们只需要用这两个法则逐一验证每个选项的运算是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据有理数除法法则，$\frac{1}{3}÷(-3)=\frac{1}{3}×(-\frac{1}{3})$，而选项中写为$3×(-3)$，运算错误，符合题意。
选项B：$-\frac{1}{2}$的倒数是$-2$，所以$-5÷(-\frac{1}{2})=-5×(-2)$，运算正确，不符合题意。
选项C：根据有理数减法法则，$8-(-2)=8+2$，运算正确，不符合题意。
选项D：根据有理数减法法则，$2-7=(+2)+(-7)$，运算正确，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
有理数的除法法则、有理数的减法法则
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查有理数运算中减法、除法的转化规则，做题时只要牢记法则，逐项核对即可快速得出答案，需注意除法转化为乘法时，要准确计算除数的倒数。
【难度系数】
0.9
5. 下列结论错误的是 （
A.若$a,b$异号，则$ab＜0,\dfrac{a}{b}＜0$
B.若$a,b$同号，则$ab＞0,\dfrac{a}{b}＞0$
C.$\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}$
D.$\dfrac{-a}{-b}=-\dfrac{a}{b}$
D
）A.若$a,b$异号，则$ab＜0,\dfrac{a}{b}＜0$
B.若$a,b$同号，则$ab＞0,\dfrac{a}{b}＞0$
C.$\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}$
D.$\dfrac{-a}{-b}=-\dfrac{a}{b}$
答案
D.
解析
【分析】
这道题考查有理数乘除法的符号规则以及分数的符号化简规律，解题时我们可以依据有理数乘除“同号得正，异号得负”的法则，逐个判断每个选项的正确性，最终选出错误的结论即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：若a、b异号，根据有理数乘除法的符号法则，异号相乘、相除结果均为负，因此$ab＜0$，$\dfrac{a}{b}＜0$，该选项结论正确。
B选项：若a、b同号，根据有理数乘除法的符号法则，同号相乘、相除结果均为正，因此$ab＞0$，$\dfrac{a}{b}＞0$，该选项结论正确。
C选项：根据分数的符号规则，分子的负号、分母的负号都可以移到分数线前方，因此$\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}$，该选项结论正确。
D选项：$\dfrac{-a}{-b}$中分子、分母都带负号，负负得正，化简结果为$\dfrac{a}{b}$，不等于$-\dfrac{a}{b}$，该选项结论错误。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘除符号法则；分数符号化简
【点评】
本题侧重考查有理数运算的基础规则，熟练掌握乘除运算的符号规律是解题的关键，属于基础常考题。
【难度系数】
0.9
这道题考查有理数乘除法的符号规则以及分数的符号化简规律，解题时我们可以依据有理数乘除“同号得正，异号得负”的法则，逐个判断每个选项的正确性，最终选出错误的结论即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A选项：若a、b异号，根据有理数乘除法的符号法则，异号相乘、相除结果均为负，因此$ab＜0$，$\dfrac{a}{b}＜0$，该选项结论正确。
B选项：若a、b同号，根据有理数乘除法的符号法则，同号相乘、相除结果均为正，因此$ab＞0$，$\dfrac{a}{b}＞0$，该选项结论正确。
C选项：根据分数的符号规则，分子的负号、分母的负号都可以移到分数线前方，因此$\dfrac{-a}{b}=\dfrac{a}{-b}=-\dfrac{a}{b}$，该选项结论正确。
D选项：$\dfrac{-a}{-b}$中分子、分母都带负号，负负得正，化简结果为$\dfrac{a}{b}$，不等于$-\dfrac{a}{b}$，该选项结论错误。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘除符号法则；分数符号化简
【点评】
本题侧重考查有理数运算的基础规则，熟练掌握乘除运算的符号规律是解题的关键，属于基础常考题。
【难度系数】
0.9
6. 计算：
(1) $\frac{1}{8} ÷ ( \frac{1}{2} - \frac{7}{8} ) × ( -\frac{1}{3} )$；
(2) $19 ÷ (-7) - 5 ÷ (-7)$。
(1) $\frac{1}{8} ÷ ( \frac{1}{2} - \frac{7}{8} ) × ( -\frac{1}{3} )$；
(2) $19 ÷ (-7) - 5 ÷ (-7)$。
答案
(1) $\frac{1}{9}$；(2) $-2$.
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题思路如下：
(1) 按照有理数混合运算顺序，先计算小括号内的减法，再将除法转化为乘法，同级运算从左到右依次计算，计算过程中注意先判断符号再计算数值。
(2) 观察算式特点，两个除法运算的除数相同，可先将被除数合并再进行除法运算，也可将除法转化为乘法后逆用乘法分配律简化计算，避免分别计算带来的符号错误。
【解析】
(1) 先计算括号内的减法：
$\frac{1}{2} - \frac{7}{8} = \frac{4}{8} - \frac{7}{8} = -\frac{3}{8}$
将除法转化为乘法，原式变为：
$\frac{1}{8} ÷ (-\frac{3}{8}) × (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{8} × (-\frac{8}{3}) × (-\frac{1}{3})$
判断符号：两个负因数相乘结果为正，再计算数值：
$\frac{1}{8} × \frac{8}{3} × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
(2) 合并被除数简化计算：
$19 ÷ (-7) - 5 ÷ (-7) = (19 - 5) ÷ (-7) = 14 ÷ (-7) = -2$
【答案】
(1) $\frac{1}{9}$；(2) $-2$
【知识点】
有理数混合运算，有理数除法法则，乘法分配律逆用
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，第一题需注意遵守运算顺序，不要跳过运算步骤先计算后方的乘法，同时要准确判断运算过程中的符号；第二题要主动观察算式特征，合理运用运算律简化计算，提升运算的准确率和效率。
【难度系数】
0.75
本题考查有理数的混合运算，解题思路如下：
(1) 按照有理数混合运算顺序，先计算小括号内的减法，再将除法转化为乘法，同级运算从左到右依次计算，计算过程中注意先判断符号再计算数值。
(2) 观察算式特点，两个除法运算的除数相同，可先将被除数合并再进行除法运算，也可将除法转化为乘法后逆用乘法分配律简化计算，避免分别计算带来的符号错误。
【解析】
(1) 先计算括号内的减法：
$\frac{1}{2} - \frac{7}{8} = \frac{4}{8} - \frac{7}{8} = -\frac{3}{8}$
将除法转化为乘法，原式变为：
$\frac{1}{8} ÷ (-\frac{3}{8}) × (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{8} × (-\frac{8}{3}) × (-\frac{1}{3})$
判断符号：两个负因数相乘结果为正，再计算数值：
$\frac{1}{8} × \frac{8}{3} × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
(2) 合并被除数简化计算：
$19 ÷ (-7) - 5 ÷ (-7) = (19 - 5) ÷ (-7) = 14 ÷ (-7) = -2$
【答案】
(1) $\frac{1}{9}$；(2) $-2$
【知识点】
有理数混合运算，有理数除法法则，乘法分配律逆用
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，第一题需注意遵守运算顺序，不要跳过运算步骤先计算后方的乘法，同时要准确判断运算过程中的符号；第二题要主动观察算式特征，合理运用运算律简化计算，提升运算的准确率和效率。
【难度系数】
0.75
