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1. (临沂郯城县期中)已知二次函数$y=x^2+bx+c$.
(1)若点$P(-2,c)$在该函数图象上,求此函数图象的对称轴.
(2)在(1)的基础上,若$c=-3$,当$-5≤x≤1$时,求二次函数的最大值.
(3)若该函数在$x≤1$时,$y$随$x$增大而减小,在$x≥3$时,$y$随$x$增大而增大,请求出$b$的取值范围.
(1)若点$P(-2,c)$在该函数图象上,求此函数图象的对称轴.
(2)在(1)的基础上,若$c=-3$,当$-5≤x≤1$时,求二次函数的最大值.
(3)若该函数在$x≤1$时,$y$随$x$增大而减小,在$x≥3$时,$y$随$x$增大而增大,请求出$b$的取值范围.
答案
解:(1)
∵ 二次函数$y=x^2+bx+c$,
∴ 当$x=0$时,$y=c$,即二次函数$y=x^2+bx+c$的图象过点$(0,c)$.
又点$P(-2,c)$在该函数图象上,
∴ 此函数图象的对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$.
(2)由(1)可知对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}=-1$,
∴ $b=2$.
又$c=-3$,
∴ $y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$.
∵ $1＞0$,
∴ 该二次函数图象开口向上.
又$|-5-(-1)|＞|1-(-1)|$,
∴ 当$-5≤x≤1$时,二次函数的最大值为$(-5)^2+2×(-5)-3=12$.
(3)
∵ 二次函数为$y=x^2+bx+c$,
∴ 此函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}$.
∵ $1＞0$,
∴ 抛物线开口向上.
∵ 在$x≤1$时,$y$随$x$的增大而减小,
∴ $-\frac{b}{2}≥1$,解得$b≤-2$.
∵ 在$x≥3$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴ $-\frac{b}{2}≤3$,解得$b≥-6$,
∴ $-6≤b≤-2$.
∵ 二次函数$y=x^2+bx+c$,
∴ 当$x=0$时,$y=c$,即二次函数$y=x^2+bx+c$的图象过点$(0,c)$.
又点$P(-2,c)$在该函数图象上,
∴ 此函数图象的对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$.
(2)由(1)可知对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}=-1$,
∴ $b=2$.
又$c=-3$,
∴ $y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$.
∵ $1＞0$,
∴ 该二次函数图象开口向上.
又$|-5-(-1)|＞|1-(-1)|$,
∴ 当$-5≤x≤1$时,二次函数的最大值为$(-5)^2+2×(-5)-3=12$.
(3)
∵ 二次函数为$y=x^2+bx+c$,
∴ 此函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}$.
∵ $1＞0$,
∴ 抛物线开口向上.
∵ 在$x≤1$时,$y$随$x$的增大而减小,
∴ $-\frac{b}{2}≥1$,解得$b≤-2$.
∵ 在$x≥3$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴ $-\frac{b}{2}≤3$,解得$b≥-6$,
∴ $-6≤b≤-2$.
2. 在二次函数$y=x^2 -2tx +3(t＞0)$中.
(1)若它的图象过点$(2,1)$,则$t$的值为多少?
(2)当$0≤x≤3$时,$y$的最小值为$-4$,求出$t$的值.
(3)如果$A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)$都在这个二次函数的图象上,且$a＜b≤3$,求$m$的取值范围.
(1)若它的图象过点$(2,1)$,则$t$的值为多少?
(2)当$0≤x≤3$时,$y$的最小值为$-4$,求出$t$的值.
(3)如果$A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)$都在这个二次函数的图象上,且$a＜b≤3$,求$m$的取值范围.
答案
解:(1)把点$(2,1)$的坐标代入二次函数解析式中,得$2^2-2t×2+3=1$,解得$t=\frac{3}{2}$.
(2)
∵ $y=x^2-2tx+3=(x-t)^2+3-t^2$,
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=t$.
当$t≥3$,$0≤x≤3$时,函数值随自变量的增大而减小,函数在$x=3$时取得最小值$-4$,
∴ $3^2-2t×3+3=-4$,解得$t=\frac{8}{3}$,
但$\frac{8}{3}＜3$,故不符合题意.
当$0＜t＜3$,$0≤x≤3$时,函数在顶点处取得最小值$-4$,
∴ $3-t^2=-4$,解得$t=±\sqrt{7}$.
∵ $t＞0$,
∴ $t=\sqrt{7}$.
综上所述,$t=\sqrt{7}$.
(3)根据$A,C$两点的坐标知,$A,C$关于抛物线的对称轴对称,
则$t=\frac{m-2+m}{2}=m-1$,且点$A$在抛物线对称轴的左侧,点$C$在抛物线对称轴的右侧.
∵ 当$x=0$时,$y=3$,
∴ 抛物线与$y$轴的交点为$(0,3)$,此点关于抛物线对称轴的对称点为$(2t,3)$.
当$t＞4$时,$A,B$两点在抛物线对称轴的左侧,
∴ $4＜m-2＜t$,即$4＜m-2＜m-1$,
解得$m＞6$;
当$0＜t≤4$时,$C,B$两点在抛物线对称轴的右侧,
∴ $m＜4≤2t$,即$m＜4≤2(m-1)$,
解得$3≤m＜4$.
综上,$m＞6$或$3≤m＜4$.
(2)
∵ $y=x^2-2tx+3=(x-t)^2+3-t^2$,
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=t$.
当$t≥3$,$0≤x≤3$时,函数值随自变量的增大而减小,函数在$x=3$时取得最小值$-4$,
∴ $3^2-2t×3+3=-4$,解得$t=\frac{8}{3}$,
但$\frac{8}{3}＜3$,故不符合题意.
当$0＜t＜3$,$0≤x≤3$时,函数在顶点处取得最小值$-4$,
∴ $3-t^2=-4$,解得$t=±\sqrt{7}$.
∵ $t＞0$,
∴ $t=\sqrt{7}$.
综上所述,$t=\sqrt{7}$.
(3)根据$A,C$两点的坐标知,$A,C$关于抛物线的对称轴对称,
则$t=\frac{m-2+m}{2}=m-1$,且点$A$在抛物线对称轴的左侧,点$C$在抛物线对称轴的右侧.
∵ 当$x=0$时,$y=3$,
∴ 抛物线与$y$轴的交点为$(0,3)$,此点关于抛物线对称轴的对称点为$(2t,3)$.
当$t＞4$时,$A,B$两点在抛物线对称轴的左侧,
∴ $4＜m-2＜t$,即$4＜m-2＜m-1$,
解得$m＞6$;
当$0＜t≤4$时,$C,B$两点在抛物线对称轴的右侧,
∴ $m＜4≤2t$,即$m＜4≤2(m-1)$,
解得$3≤m＜4$.
综上,$m＞6$或$3≤m＜4$.
3. (日照东港区月考)已知抛物线$y=x^2-(a+2)x+2a+1$.
(1)若$a=2$,直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标.
(2)若抛物线对称轴为直线$x=-1$.
①点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$在这条抛物线上,当$-2＜x_1＜-1$且$1＜x_2＜2$时,请判断$y_1$与$y_2$的大小关系,并说明理由.
②点$C(m,p)$,$D(n,q)$是这条抛物线上不同的两点,点$E(m,n)$在直线$y=-x+2$上,求$p+q$的取值范围.
(1)若$a=2$,直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标.
(2)若抛物线对称轴为直线$x=-1$.
①点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$在这条抛物线上,当$-2＜x_1＜-1$且$1＜x_2＜2$时,请判断$y_1$与$y_2$的大小关系,并说明理由.
②点$C(m,p)$,$D(n,q)$是这条抛物线上不同的两点,点$E(m,n)$在直线$y=-x+2$上,求$p+q$的取值范围.
答案
解:(1)当$a=2$时,抛物线为$y=x^2-4x+5$,
∴ $y=(x-2)^2+1$,
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,1)$.
(2)①
∵ $-2＜x_1＜-1$,$1＜x_2＜2$,对称轴为直线$x=-1$,
∴ $-1＜x_1-(-1)＜0$,$2＜x_2-(-1)＜3$,
∴ $0＜|x_1-(-1)|＜1$,$2＜|x_2-(-1)|＜3$,
∴ $|x_1-(-1)|＜|x_2-(-1)|$.
∵ $1＞0$,
∴ 抛物线上的点离对称轴越近,则函数值越小,
∴ $y_1＜y_2$.
②
∵ 点$E(m,n)$在直线$y=-x+2$上,
∴ $n=-m+2$.
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$,
∴ $-\frac{-(a+2)}{2×1}=-1$,解得$a=-4$,
∴ 抛物线为$y=x^2+2x-7$.
∵ 点$C(m,p)$,$D(n,q)$是这条抛物线上不同的两点,
∴ $p=m^2+2m-7$,$q=n^2+2n-7$,
∴ $p+q=m^2+2m-7+n^2+2n-7$
$=m^2+2m-7+(-m+2)^2+2(-m+2)-7$
$=2m^2-4m-6$
$=2(m-1)^2-8$.
∵ 点$C(m,p)$,$D(n,q)$是这条抛物线上不同的两点,
∴ $n≠m$,即$m≠-m+2$,
∴ $m≠1$,
∴ 对于任意$m≠1$都有$(m-1)^2＞0$,
∴ $2(m-1)^2-8＞-8$,
∴ $p+q＞-8$.
∴ $y=(x-2)^2+1$,
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,1)$.
(2)①
∵ $-2＜x_1＜-1$,$1＜x_2＜2$,对称轴为直线$x=-1$,
∴ $-1＜x_1-(-1)＜0$,$2＜x_2-(-1)＜3$,
∴ $0＜|x_1-(-1)|＜1$,$2＜|x_2-(-1)|＜3$,
∴ $|x_1-(-1)|＜|x_2-(-1)|$.
∵ $1＞0$,
∴ 抛物线上的点离对称轴越近,则函数值越小,
∴ $y_1＜y_2$.
②
∵ 点$E(m,n)$在直线$y=-x+2$上,
∴ $n=-m+2$.
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=-1$,
∴ $-\frac{-(a+2)}{2×1}=-1$,解得$a=-4$,
∴ 抛物线为$y=x^2+2x-7$.
∵ 点$C(m,p)$,$D(n,q)$是这条抛物线上不同的两点,
∴ $p=m^2+2m-7$,$q=n^2+2n-7$,
∴ $p+q=m^2+2m-7+n^2+2n-7$
$=m^2+2m-7+(-m+2)^2+2(-m+2)-7$
$=2m^2-4m-6$
$=2(m-1)^2-8$.
∵ 点$C(m,p)$,$D(n,q)$是这条抛物线上不同的两点,
∴ $n≠m$,即$m≠-m+2$,
∴ $m≠1$,
∴ 对于任意$m≠1$都有$(m-1)^2＞0$,
∴ $2(m-1)^2-8＞-8$,
∴ $p+q＞-8$.
