4. (枣庄峄城区月考)二次函数$y=x^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$A(m,0),B(n,0)$且$m≠n.$
(1)当$m=-4$,且$n=2$时,
①求$b,c$的值.
②当$t≤x≤2$时,二次函数$y=x^2+bx+c$的最大值与最小值的差为10,求$t$的值.
(2)若$m=4n$,求$2b+c$的最小值.

解:(1)①当$m=-4$,$n=2$时,$A(-4,0)$,$B(2,0)$.
将$A(-4,0)$,$B(2,0)$的坐标分别代入$y=x^2+bx+c$,
得$\begin{cases}16-4b+c=0,\\4+2b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=-8.\end{cases}$
②由①,得二次函数解析式为$y=x^2+2x-8$,
∴ 二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-9)$.
当$x=2$时,$y=0$.
∵ 当$t≤x≤2$时,二次函数的最大值与最小值的差为10,
∴ 当$x=t≤2$时,$y=10-9=1$,即$t^2+2t-8=1$,解得$t_1=-1-\sqrt{10}$,$t_2=-1+\sqrt{10}$(舍去),
∴ $t=-1-\sqrt{10}$.
(2)
∵ $m=4n$,
∴ $A(4n,0)$,
∴ 二次函数解析式为$y=(x-4n)(x-n)=x^2-5nx+4n^2$,
∴ $b=-5n$,$c=4n^2$,
∴ $2b+c=4n^2-10n=4(n^2-\frac{5}{2}n)=4(n-\frac{5}{4})^2-\frac{25}{4}$,
∴ 当$n=\frac{5}{4}$时,$2b+c$取得最小值,为$-\frac{25}{4}$.

5. (临沂河东区期中)已知二次函数$y=x^2 -2mx+m^2+m-3$($m$为常数).
(1)求该函数图象的对称轴.
(2)若函数在$-1≤x≤2$时的最小值为-4,求$m$的值.
(3)若点$A(a,y_1),B(a+1,y_2),C(a+2,y_3)$均在该函数图象上,是否存在实数$m$使得$y_1+y_3=2y_2$?

解:(1)
∵ $a=1$,$b=-2m$,
∴ 对称轴为直线$x=-\frac{-2m}{2}=m$.
(2)①当$m≤-1$时,
∵ 当$-1≤x≤2$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴ 最小值在$x=-1$处取得,
∴ $y_{\mathrm{min}}=(-1-m)^2+m-3=m^2+3m-2$,
∴ $m^2+3m-2=-4$,即$m^2+3m+2=0$,
解得$m=-1$或$m=-2$.
②当$-1＜m＜2$时,最小值在对称轴$x=m$处取得,
∴ $y_{\mathrm{min}}=m-3=-4$,解得$m=-1$(舍去).
③当$m≥2$时,
∵ 当$-1≤x≤2$时,$y$随$x$的增大而减小,
∴ 最小值在$x=2$处取得,
∴ $y_{\mathrm{min}}=(2-m)^2+m-3=m^2-3m+1$,
∴ $m^2-3m+1=-4$,即$m^2-3m+5=0$.
∵ $\Delta=9-20=-11＜0$,
∴ 该方程无实数根.
综上所述,$m$的值为$-1$或$-2$.
(3)将点$A(a,y_1)$,$B(a+1,y_2)$,$C(a+2,y_3)$的坐标分别代入函数解析式,得$y_1=(a-m)^2+m-3$,$y_2=(a+1-m)^2+m-3$,$y_3=(a+2-m)^2+m-3$.
∵ $y_1+y_3=2y_2$,
∴ $(a-m)^2+(a+2-m)^2=2(a+1-m)^2$.
令$t=a-m$,
∴ $t^2+(t+2)^2=2(t+1)^2$,
整理,得$t^2+t^2+4t+4=2t^2+4t+2$,
∴ $4=2$,显然矛盾,
因此,不存在实数$m$使得$y_1+y_3=2y_2$.

6. (威海荣成市期中)在平面直角坐标系中,设二次函数$y=x^2 -2ax +1$($a$是常数).
(1)函数图象的顶点坐标为.(用含$a$的代数式表示)
(2)若函数图象经过点$(1,p),(-1,q)$,求证:$pq≤4$.
(3)已知函数图象经过点$A(-4,y_1),B(a+2,y_2),C(m,y_3)$,若对于任意的$5≤m≤8$都满足$y_1＞y_3＞y_2$,求$a$的取值范围.

解:(1)$y=x^2-2ax+1=(x-a)^2-a^2+1$,
∴ 顶点坐标为$(a,-a^2+1)$.
答案:$(a,-a^2+1)$
(2)证明:把点$(1,p)$,$(-1,q)$的坐标分别代入函数解析式$y=x^2-2ax+1$中,
得$p=2-2a$,$q=2+2a$,
∴ $pq=(2-2a)(2+2a)=4-4a^2$.
∵ $4a^2≥0$,
∴ $4-4a^2≤4$,
∴ $pq≤4$.
(3)解:
∵ 抛物线的对称轴为直线$x=a$,而$a+2＞a$,
∴ 点$B$总在抛物线对称轴的右边.
∵ $5≤m≤8$,
∴ 点$A$总在点$C$的左边,
∴ 对于任意$5≤m≤8$都满足$y_1＞y_3＞y_2$,$A$,$B$,$C$三点存在两种情况:
①如图所示,
当$-4＜a+2＜m$时,$\frac{-4+m}{2}＜a$,
∴ $\frac{-4+m}{2}＜a＜m-2$,其中$5≤m≤8$,
解得$2＜a＜3$.
②如图所示,
当$-4＜m＜a+2$时,$\frac{a+m+2}{2}＜a$,
∴ $\begin{cases}a＞m-2,\\a＞m+2,\end{cases}$即$a＞m+2$,其中$5≤m≤8$,
解得$a＞10$.
综上,$a$的取值范围为$2＜a＜3$或$a＞10$.